И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 8

верхности поле Е направлено по нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды пришли бы в движение по поверхности проводника, т. е. равновесие зарядов было бы невозможным. Я2 Пример. Найти потенциал незаряженного нроеодясцего шара, на расстоянии г от центра которого раслоложен точечный заряд и (рис.

2.1). Потенциал ст всех точек шара одинаков. Раз так, вычислим его и центре шара О, ибо только для этой точки расчет оказывается наиболее простым: 1 д 'р= — — + ~' 4иео где первое слагаемое — это потенциал от заряда о, а второе— потенциал от зарядов, нндуцированных на поверхности шара. Но так как все нндуцнроваииые заряды находятся на одном н том же расстоянии а от точки О н суммарный иидуцированный заряд равен нулю, то ~р' = О. Таким образом, в данном случае потенциал шара будет определяться только первым слагаемым в (! ) .

На рис. 2.2 изображено поле и распределение зарядов для системы, состоящей из двух проводящих шаров, один из которых (левый) заряжен. Вследствие электрической Рис. 2.2 Рис. 2.1 индукции на поверхности правого незаряженного шара появились заряды противоположного знака. Поле этих зарядов в свою очередь вызовет некоторое перераспределение зарядов на поверхности левого шара — их распределение по поверхности станет неравномерным.

Сплошными линиями на рисунке показаны линии вектора Е, пунктирными — пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью рисунка. По мере удаления от этой системы эквипотенциальные поверхности становятся все более близкими к сферическим, а линии вектора Е приближаются к радиальным, и само поле становится все более близким к полю точечного заряда о — полному заряду данной системы. 43 системы в месте нахождения заряда аб5. Сразу же заметим, что Е, не равно напряженности Е поля вблизи данного элемента поверхности проводника, однако между ними имеется простая связь.

Найдем ее, т. е. выразим Е, через Е. Е=2Ец Пусть Е, — напряженность и поля, создаваемого зарядом на плошадке /х5 в точках, очень близких к этой площадке— здесь она ведет себя как бесконечная равномерно заряженная плоскость. Тогда согласно (1.10) Е,= а/2е .

Рез льти ю ее поле как Ео= Е/2 и уравнение (2,3) примет вид ЛГ = '/еаЛ5 ° Е. (2.5) Разделив обе части этого уравнения на Л5, получим выражение для силы, действующей на единицу поверхности проводника: (2.4) Г„„= '/еаЕ. (2.6) Это выражение можно переписать и в другой форме, ибо входящие в него величины а и Е являются взаимно связанными. Действительно согласно (2.2) Е„= а/е, или Е = (а/ее) п, где п — внешняя нормаль к элементу по- верхности в данной точке проводника.

Поэтому ееб' Г = —,п= — и, 2 ее 2 (2.7) где учтено, что а = е,Е„и Е'„= Е'. Величину Г„назы- вают поверхностной плотностью сил. Не- Е=й У РУ пт внутри, так и вне проводника (вблизи площадки Л5) являетРис. 2Л ся суперпозицией полей Е, и Е,. По разные стороны площадки Л5 поле Е, практически одинаково, поле же Е, имеет противоположные направления (рис, 2.4, где для определенности взято а) 0). Из условия Е = 0 в проводнике следует, что Е„= Е,, тогда снаружи проводника у его поверхности Е = Ее+ Е,= 2Е,. Итак, зависимо от знака о, а значит, и направления Е,сила Г„ всегда направлена, как видно из (2.7), наружу проводника, стремясь его растянуть, Пример.

Найти выражение для электрической силы, действуюи4ей в вакууме на проводник в целом, полагая, что известна напряженность Е поля во всех точках у поверхности проводника. Умножив (2.7) на 65, получим выражение для силы йр, действующей на элемент поверхности й5: аг = /геена где д5= пд5.

Результирующая сила, действующая на весь проводник, определяется интегрированием этого уравнения по всей поверхности проводника: 4 ЗЛ. СВОЙСТВА ЗАМКНУТОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ ОБОЛОЧКИ Мы выяснили, что в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет — вещество внутри проводника электрически нейтрально, А поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри проводника (создание замкнутой полости) поля нигде не изменит, т.

е. никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Это значит, что избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью так же, как н на сплошном — по его наружной поверхности. Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней равно нулю, Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не создают в полости внутри проводника никакого электрического поля. Именно на этом основана эл е к трос т а т и ч ес к а я з а шит а — экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Практически сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической сеткой.

Доказать отсутствие электрического поля в пустой полости можно и иначе. Возьмем замкнутую поверхность 5, которая охватывает полость и целиком находится в веществе проводника. Так как поле Е всюду в проводнике равно нулю, то и поток вектора Е через 5 тоже равен нулю. Отсюда согласно теореме Гаусса равен нулю и суммарный заряд внутри 5.

Это, правда, не исключает ситуации, показанной на рис. 2.5, когда на поверхности самой полости имеются равные количества поло- жительного и отрицательного зарядов. Такое предположение, однако, запрещает другая теорема — теорема о циркуляции вектора Е. В самом деле, пусть контур Г пересекает полость по одной из линий вектора Е и замыкается в веществе проводника.

Ясно, что линейный интеграл вектора Е вдоль этого контура не равен нулю, чего согласно теореме о циркуляции быть не может. Теперь обратимся к случаю, когда полость не пустая, а в ней есть какой-то электрический заряд и (может быть и не один). Представим себе также, что все внешнее пространство заполнено проводящей средой. Поле в ней прн равновесии равно нулю, значит, среда электрически нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов. Рис. 2Д Рис. 2.6 Так как всюду в проводнике Е = О, то равным нулю будет и поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую полость.

По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности также будет равна нулю. Таким образом, алгебраическая сумма индуцированных зарядов на поверхности полости равна по модулю и противоположна по знаку алгебраической сумме зарядов внутри этой полости.

При равновесии заряды, нндуцированные иа поверхности полости, располагаются так, чтобы полностью скомпенсировать снаружи полости поле зарядов, находящихся внутри полости. Поскольку проводящая среда внутри всюду электрически нейтральна, то она не оказывает никакого влияния на электрическое поле. Поэтому, если ее удалить, оставив только проводящую оболочку вокруг полости, от этого поле нигде не изменится и вне оболочки оно останется равным нулю. Таким образом, поле зарядов, окруженных проводящей оболочкой, и зарядов, индуцированных на поверхности полости (на внутренней поверхности оболочки), равно нулю во всем внешнем пространстве.

Мы приходим к следующему важному выводу: замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от друга. Это надо понимать так: после любого перемещения зарядов внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет, а значит, распределение зарядов на внешней поверхности оболочки останется прежним. То же относится и к полю внутри полости (если там есть заряды) и к распределению индуцированных на стенках полости зарядов — они также останутся неизменными в результате перемещения зарядов вне оболочки. Все сказанное справедливо, разумеется, только в рамках электростатики.

Пример. Точечный заряд д находится внутри электрически нейтральной оболочки, наружной поверхностью которой является сфера (рнс. 2.6). Найти потенциал ч в точке Р, находящейся вне оболочки на расстоянии г от центра О наружной поверхности. Поле в точке Р определяется только зарядами, индуцированными иа наружной поверхности оболочки — сфере, ибо, как было показано, поле точечного заряда д и зарядов, нндуиироваииых иа внутренней поверхности оболочки, равно всюду нулю вие полости. Далее, заряд на наружной оболочке вследствие ее симметрии распределяется равномерно, поэтому 1 д гр = 4печ г Частным случаем замкнутой проводящей оболочки является безграничная проводящая плоскость.

Все пространство с одной стороны такой плоскости в электрическом отношении независимо от пространства с другой стороны ее. Указанным свойством замкнутой проводящей оболочки мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. й 2.5. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЗЛЕКТРОСТАТИКИ. МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ Очень часто приходится встречаться с задачами, в которых распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительгюе расположение. И требуется определить потенциал р (г) 4В в любой точке поля между проводниками.

Напомним, что, зная ~р(г), можно легко восстановить само ноле Е (г) и по значению Е непосредственно у поверхности проводников найти распределение поверхностных зарядов на них. Уравнения Пуассона и Лапласа. Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция гр — потенциал. Для этого подставим в левую часть (!.20) вместо Е его выражение через гр, т.

е. Е = — С' Ч. В результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала — у р а в и е н и е Г! у а с с о н а; (2.8) где ту ' — о п е р а т о р Л а п л а с а (л а п л а с и а и). В декартовых координатах он имеет вид гр г)г ср 2 ! )„ дхе ду' дзз т. е. представляет собой сиалярное произведение зу Хг (см (! )9) ) . Если между проводниками нет зарядов (р =- О), та уравнение (2.8) переходи г в более простое — у р а в и е и и е Л а и л а с а: (т73= 0.

(2.9) Определение потенциала сводится к нахождению такой функции гр, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям (2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения гв. Ч, и т. д. В теории доказывается, что эта задача имеет единственное решение. Это утверждение называют т е о р е м о й е д и н с т в е н н о с т и. С физической точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не одно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поле Е, вообше говоря, не однозначно — мы пришли к физическому абсурду. По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже единственным образом.

Действительно, между зарядами на проводнике и электрическим полем вблизи его поверхности имеется однозначная связь (2.2): о = е вЕ„. Отсюда сразу и следует, что единственность поля Е определяет и единственность распределения заряда на поверхности проводника. Решение уравнений (2.8) и (2.9) в обшем случае — задача сложная и кропотливая, Аналитические решения этих уравнений получены лишь для немногих частных случаев.