И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 6

считают расстояния г от диполя до интересующих нас точек поля значительно больше 1. Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же и вектор Е лежит в этой плоскости. Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность. Согласно (!.25) потенциал поля диполя в точке Р (рис. !.(4, а) определяется как 1 г 4 д! 1 Ч(г — г,) ч 4лее (, г-, г / 4лез Так как г >) 1, то, как видно из рис. !.(4, а, г = 1 сов 6 и г 4г = г', где г — расстояние от точки Р до диполя (он точечный!).

С учетом этого 1 рсоза Ч' = 4лез гз (1.34) где р=д1 — электрический момент ди пол я. Этой величине сопоставляют вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному: Р = 4), (!.35) где д ) О и ! — вектор, направленный в ту же сторону, что и р. Из формулы (!.34) видно, что поле диполя зависит от его электрического момента р. Как мы увидим далее, и поведение диполя во внешнем поле также зависит от р. Следовательно, р является важной характеристикой диполя.

Следует также обратить внимание на то, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием г быстрее, чем потенциал поля точечного заряда ( (/г' вместо (/г) . Для нахождения поля диполя воспользуемся формулой (!.32), вычислив с помощью нее проекции вектора Е иа два взаимно перпендикулярных направления— вдольортове,ие (рис. !.(4,б): дя 1 2р соза ди ! р Мло Е, = — — = — —, Е~ = — — = — —, (1.36) дг 4лез гз ' гда 4лез гз Отсюда модуль вектора Е ~=Л зл= — ' (1.37) 4лез В частности, при О= О и б = и/2 мы получим выра- Рис.

!.!4 жения для напряженности поля соответственно на оси диполя (е!) н перпендикулярно ей (е4): 1 2р ! р Е = — — Е 4иее гз ' е 4иео е" ' т. е. при одном и том же г напряженность Е! вдвое больше Е,. Сила, действующая на диполь. Поместим диполь во внешнее неоднородное электрическое поле. Пусть Е+ и Š— напряженности внешнего поля в точках, где расположены положительный и отрицательный заряды дипо. ля. Тогда результирующая сила Г, действующая на диполь, равна (рис. !.!5, а): Г=де„— де =д!е„— е ).

Разность Е4 — Š— это приращение ЬЕ вектора Е на отрезке, равном длине диполя !, в направлении вектора !. Вследствие малости этого отрезка можно записать ЛЕ дЕ ЛЕ= Š— Е = — != — !. д! После подстановки этого выражения в формулу для Г получим, что сила, действующая на диполь: Е::) Р=р —, дЕ д! ' (1.39) где р = д1 — электрический момент диполя.

Входящую в это выражение производную принято называть производной вектора по направлению. Знак частной производной подчеркивает, что эта производная берется по опре- 31 Г у е — --С== и Р !7 ~р р' ув— /Р Рис. !.!6 Рис. !.17 деленному направлению — направлению, совпадающему с вектором 1 или р. Простота формулы (!.39), к сожалению, обманчива: производная дЕ/д1 является довольно сложной математической операцией.

Мы не будем останавливаться на этом более подробно, а обратим внимание на существо полученного результата. Прежде всего отметим, что в однородном поле дЕ/д)=0, поэтому и Г= О. Значит, сила действует на диполь, вообще говоря, только в неоднородном поле. Далее, направление вектора Г в общем случае не совпадает ни с вектором Е, ни с вектором р. Вектор Г совпадает по направлению лишь с элементарным приращением вектора Е, взятым в направлении вектора 1 или р (рис. 1.!5, б).

На рис. ! !6 показаны направления силы Р, действующей на диполь в поле положительного точечного заряда д, при трех разных рас. положениях диполн. Убедиться самостоятельно, что эта действительна так. Если нас интересует проекция силы Г на некоторое направление Х, то достаточно записать равенство 11,39) в проекциях на это направление, и мы получим дЕ„ г" =р — *, д! ' 11лв) где дЕ,/д! — производная соответствующей проекции вектора Е опять же по направлению вектора ! или р.

Пусть диполь с моментом р расположен вдоль оси симметрии некоторого неоднородного поля Е. Возьмем положительное направление оси Х, например, как показано на рис. 1.17. Так как в направлении вектора р при- ращение проекции Е, будет отрицательным, то Г, ( О, а значит, вектор Г направлен влево — в сторону, где напряженность поля больше. Если же вектор р на этом рисунке повернуть на 90' так, чтобы центр диполя совпадал с осью симметрии поля, то нетрудно сообразить, что в таком положении Г, = О. Момент сил, действующих на диполь.

Рассмотрим, как ведет себя диполь во внешнем электрическом поле в своей системе центра масс — будет он поворачиваться или нет. Для этого мы должны найти момент внешних сил относительно центра масс диполя*. По определению момент сил Гт= дЕе и Г = — дЕ относительно центра масс С (рис.

1.!8) равен М = [ с+Ге] + [ г Г [ = [ г+, дЕ„[ — [ г, дЕ [, где гч и г — радиусы-векторы зарядов + д и — д относительно точки С. При достаточно малом расстоянии между зарядами диполя Е+ - Е и М = [г+ — г, дЕ~. Остается учесть, что г+ — г =! и 41 = р, тогда М = [рЕ). (1.41) Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент р установился по направлению г, Г, внешнего поля Е. Такое г положение диполя явля- и. ется устойчивым. Ч Итак, в неоднородном ис. электрическом поле диполь будет вести себя следующим образом: под действием момента сил (1.41) диполь будет стремиться установиться по полю (р)) Е), а под действием результирующей силы (!.39) — переместится в направлении, где Е по модулю больше. Оба движения будут совершаться одновременно. Энергия диполя в поле.

Мы знаем, что энергия точечного заряда д во внешнем поле равна )Г = астр, где тр— потенциал поля в точке нахождения заряда д. Диполь— это система из двух зарядов, поэтому его энергия во е Относительно центра масс, чтобы иснлючнть момент сил инер- ции. 2 — 20 33 внешнем поле йх=й+Г.с+4 и =4(9+ — 9 ), гДе 9 ь и сг — потенциал внешнего полЯ в точках Расположения зарядов + д и — д. С точностью до величины второго порядка малости дв — т = — 1, + — д! где дср/д! — производная потенциала по направлению вектора 1. Согласно (!.32) дср/д! = — Еь поэтому р +— — ер = — Е1= — Е!и (1.42) Из этой формулы следует, что минимальную энергию (В'„„„= — рЕ) диполь имеет в положении р)у Е (положение устойчивого равновесия).

При отклонении из этого положения возникает момент внешних сил, возврашаюший диполь к положению равновесия. Задачи ° !.1. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью о ) О. Найти напряженность Е электрического поля на оси этого диска в точке, иэ которой диск виден под телесным углом 4!. Р е ш е н и е. Из соображений симметрии ясно, что вектор Е иа оси диска должен совпадать с направлением этой оси (рис. 1.!9).

Поэтому достаточно найти составляющую йЕ, в точке А от элемента заряда на площади Й5 и затем проинтегрировать полученное выражение по всей поверхности диска. Нетрудно сообразить (рис. 1.19), что ! оп5 йЕ„= — — „сое О. (!) 4пее ге Рис. 1.20 Рис. !.!9 34 В данном случае д5 соз 6/т = й (2 — телесный угол, под которым площадка й5 видна из точки А, и выражение (1) можно переписать так: ! йЕ = о 41). 4пв Отсюда искомая величина 1 Е = — ег), 4пв Заметим, что на больших расстояниях от диска й = 5/т, где 5 — площадь диска, и Е = д/4пеот — как поле точечного заряда д = о5. В непосредственной же близости от точки О телесный угол й = 2п и Е = о/2ео.

° 1.2. Тонкое непроводящее кольцо ридиусом й заряжено с линейной плотностью Л = Ло сов цо, где Ло — положительная постоянная, ео — аэимутальный угол. Найти напряженность Е электрического поля в центре кольца. Р е ш е н и е. Заданное распределение заряда показано на рис. !.20.

Из симметрии этого распределения ясно, что вектор Е в точке О направлен вправо и модуль этого вектора равен сумме проекций на направление Е векторов йŠ— от элементарных зарядов йд. Проекция вектора йЕ на вектор Е есть йЕ сов и = — —,сов и, 44 (1) 4пво где ду = Мйоэ = Ль)(соз грйр.

Проинтегрировав (1) по ср от О до 2п, найдем модуль вектора Е: Л эо Л Е = — ~ сов Во1ф = —. о Г, о 4вой о Заметим, что этот интеграл проще всего вычислить, зная, что гх Рис. 1.21 Рис. 1.22 (соз ~р) = '/2. Тогда 2» соз ц> Игр= (соз гр) 2л = и. о ° 1.3. |толубесконечная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд Х на единицу длины. Найти модуль и направление напряженности поля в точке, которая отстоит от нити на расстоянии у и находится на перпендикулнре к нити, проходящем через ее конец. Р е ш е н и е.

Задача сводится к нахождению Е, и ń— проекций вектора Е (рис. !.2|, где предполагаетск ). ) О). Начнем с Ех Элемент заряда на участке йх нити дает следуюшнй вклад в Е;. Лйх йЕ. — —,ып а. 4лео т' (|) Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. В нашем случае бх = г ба/соз а, г = у/соз а. Тогда х йЕ, = — з|п а йа. 4ле у Проинтегрировав это выражение по а от О до я/2, найдем Е, = Х/4яеоу. Лля нахождения проекции Е„достаточно обратить внимание на то, что йЕг отличается от йЕ, просто заменой з|п а в (1) на соз а. Тогда йЕ„= Х соз а йа/4пеоу и Ее = А/4пеоу.

Мы получили интересный результат: Е, = Е„независимо от у, т. е. вектор Е ориентирован под углом 45' к нити. Модуль вектора Е Е= Х/Е~+ Е ХЪ2/4пеоУ, ° 1.4. Теорема Гаусса. Напряженность электрического поля зависит только от координат х и у как Е = а(х|+ у))/(х'+ уе) где а — постоянная; ! и ) — орты осей Х и г'. Нийти заряд внутри сферы радиусом К с центром в начале координат. Р е ш е н и е. Искомый заряд равен согласно теореме Гаусса потоку вектора Е через указанную сферу, деленному на ео. В данном случае для определения потока можно поступить так„ Заметив, что поле Е является осесимметричным (полем заряженной равномерно нити), приходим к выводу, что поток через сферу радиусом )! равен потоку через боковую оверхность цилиндра того же радиуса и высотой 2гс, расла. ч~женного, как показано на рис.