И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 2

Орты — единичные векторы: е„ е„ е, (или ), ), к) — орты декартовых координат Х, Д, е,, е, е, — орты цилиндрических координат р, у, г; п — орт нормали к элементу поверхности; т — орт касательной к контуру или границе раздела. Производная по времени от произвольной функции ) обозначена д)/д) или точкой, стоящей над функцией, ).

Интегралы любой кратности обозначены одним- единственным знаком ~ и различаются лишь обозначением элемента интегрирования: др — элемент обьема, бБ — элемент поверхности, б! — элемент контура. Знак ~> обозначает интегрирование яо замкнутому контуру или по замкнутой поверхности. Векторный оператор Ст (набла). Операции с ним обозначены так: х7~р — градиент гр (игам ср), '(7. Š— дивергенция Е (д!ч Е), ~7Х Е вЂ” ротор Е (го( Е). Глава 1 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ ! ЕС ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ Электрический заряд. В настоящее время известно, что в основе всего разнообразия явлений природы лежат четыре фундаментальных взаимодействия между элементарными частицами — сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное.

Каждый вид взаимодействия связывается с определенной характеристикой частицы. Например, гравитационное взаимодействие зависит от масс частиц, электромагнитное — от электрических зарядов. Электрический заряд частицы является одной из основных, первичных ее характеристик. Ему присущи следующие фундаментальные свойства: ! ) электрический заряд существует в двух видах: как положительный, так и отрицательный; 2) в любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется, это утверждение выражает закон сохранения электрического заряда; 3) электрический заряд является релятивистски инвариантиым: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется он или покоится. Эти фундаментальные свойства электрического заряда имеют, как мы увидим, далеко идущие последствия.

Электрическое поле. Согласно современным представлениям взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд д изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства — создает электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, «пробный», заряд испытывает действие силы. Опыт показывает, что сила г, действующая на неподвижный точечный пробный заряд д', всегда может быть представлена как (1.1) где вектор Е называют н а п р я ж е н н о с т ь ю электрического поля в данной точке. Вектор Е, как видно из (!.!), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд.

Здесь предполагается, что пробный заряд д' должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов). Поле точечного заряда. Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда д на расстоянии г от него можно представить как ! д Е= — — е„ 4ооео г' (Е2) где е, — электрическая постоянная; е, — орт радиуса- вектора г, проведенного из центра поля, в котором расположен заряд д, до интересующей нас точки.

Формула (1.2) записана в СИ. Здесь коэффициент 1/4пеа — — 9 10 и/Ф, заряд д выражается в к у л о н а х (Кл), напряженность поля Š— в вол ьт ах н а м ет р (В/м). В зависимости от знака заряда д вектор Е направлен так же, как и г, или противоположно ему. По существу формула (1,2) выражает не что иное, как з а к о н К у л о н а, но в «полевой» форме. Весьма важно, что напряженность Е поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния г. Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 1О " см до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при больших расстояниях.

Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит от того, покоится пробный заряд или дви- 9 жется. Это относится и к системе неподвижных зарядов. Принцип суперпозиции. Другой опытный факт, кроме закона (!.2), заключается в том, что напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности: (нз) где г,— расстояние между зарядом д, и интересующей нас точкой поля, Это утверждение называют п р и н ц и и о м с у п е рп о з и ц и и (наложения) электрических полей.

Он выражает одно из самых замечательных свойств полей и позволяет вычислять напряженность поля любой системы зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов, вклад каждого из которых дается формулой (!.2). Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением.

Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки. При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов — объемной р, поверхностной а и линейной Х. По определению, ад дд ау р= —, а= —, Х= —, 45' Ж' где дд — заряд, заключенный соответственно в объеме дУ, на поверхности Ю и на длине й. С учетом этих распределений формула (!.3) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить д,. на дд= р дУи~ на),тогда Е 1 г реак 1 г ргали (ьз) 4ле0 ! г~ 4ае0 ! гз где интегрирование проводится по всему пространству, в котором р отлично от нуля.

10 Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о иахождеиии иапряжеииости электрического поля по формуле (!.3), если распределение дискретно, или по формуле (1.5) и аиалогичио ей, если распределеиис непрерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, ие принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора Е надо вычислить сначала его проекции Е„, Е„, Е„ а это по существу три интеграла типа (1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача, как правила, значительно облегчается.

Приведем два примера. Пример !. Поле иа оси тонкого равиомерио заря!кеииого кольца. Заряд д ) 0 равномерно распределен ло тонкому кольцу ридиусом а. Найти наиряженность Е электрического ноля на оси кольца как функцию расстояния г от его центра. Легко сообразить, что в данном случае вектор Е должен быть направлен по оси кольца (рис. !.!). Выделим иа кольце Рис. 1.2 Ряс. 1.! около точки А элемент дй Запишем выражеиие для составляющей дЕ, от этого элемента в точке С: 1 ХЩ 6Е, = — — сое и, 4нее где Х = ц/2яа. Для всех элементов кольца т и а будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене Хд! иа д. В результате г Е=— ' (а'+ г') Видно, что при г » а поле Š— д/4ле хэ, т.

е, на больших рас- стояниях эта система ведет себя как точечный заряд. Пример 2. Поле равномерно заряженной прямой нити. Тон- кая прямая нить длиной 2! заряжено равномерна зарядом о. Найти напряженность Е поля в точке, отстоящей на расстоя- нии х от центра нити и расположенной симметрично относи- тельно ее концов. Из соображений симметрии испо, что вектор Е должен иметь направление, показанное иа рис. 1.2. Это подсказывает, как надо поступить далее: найдем составляющую бЕ„от эле- мечта д1 нити с зарядом йд и затем проинтегрируем по всем элементам нити. В нашем случае 1 Л41 йЕ„= йЕ соз а = — — соь а, 4ле, где Л = д/21 — лииейнаи плотность заряда. Приведем это уравнение к виду, удобному для интегрирования. Из рис. 1.2 видно, что д1 сов а = г йа и г = х/соз а, поэтому ! Лгба Л ЙЕ = — — = — соз а ба.

4лею г' 4леюх Это выражение легко проинтегрировать: Яю Л г Л Е= — 2~ соеайа= — 2з!па, 4ле„е 4ле .х ю где аю — максимальное значение угла а, з!и аю =11 ч1 + х, 2 е поэтому д/21 1 Ч 4леюх ч1!г 1- хю 4ле хч/|е + хю И здесь Е = д/4леюх при х » 1 как поле точечного заряда. 3 Геометрическое описание электрического поля. Зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле очень наглядно с помощью линий напряженности, или линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, т.