И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 7

1.22. Тогда у = оо ~> Е дЬ = воЕ 5 ,де Е, = а/гг и 5 = 2п)с ° 2гс = 4пй~. И окончательно, д = 4пеоай. Е 4пг = — + — ~ — 4ш Вг. о 1гп оо го г я Проинтегрировав, преобразуем предыдущее уравнение к виду Е 4пг = (д — 2яагс )/го + 4яагэ/2оо. Напряженность Е не зависит от г при выражение в скобках равно нулю.

Отсюда у = 2лар и Е = сс/2го. условии, когда ° 1.6. Найти напряженность Е электрического поля в облас ти пересечения двух шаров, равномерно зиряженных разноименными по знаку зарядими с объемной плотностью р и — р, если расстояние между центрами шаров определяешься вектором 1 (рис, 1.23).

Р е ш е н и е. С помощью теоремы Гаусса нетрудно показать, что напряженность электрического поля внутри равномерно заряженного шара Е=(р/Зо ) г, где г — радиус-вектор относительно центра шара. Поле в области пересечения шаров можно рассматривать как суперпозицию полей двух равномерно заряженных поврав. Тогда в произвольной точке А (рис. 1.24) этой области Е= Еэ+ Е =р(гт — г )/Зоо — — р1/Зео. Таким образом, поле в области пересечения таких шаров является однородным.

Этот вывод справедлив независимо от соотношения радиусов шаров и расстояния между их центрами. Он справедлив, в частности, н тогда, кэтда 37 ° 1.5. Система состоит из равномерно заряженной сферы радиусом гг и окружающей средьи заполненной зарядом с объемной плотностью р = а/г, где а — положительния постоянная, г — расстояние от центра сферы. Найти заряд сферы, при котором напряженность Е электрического поля вне сферы не будет зависеть от г.

Чему равно Е? Р е ш е н и е. Пусть искомый заряд сферы равен д, тогда, воспользовавшись теоремой Гаусса, запишем для сферической поверхности радиусом г (снаружи сферы с зарядом у); один шар находится целиком внутри другого, или, другими словами, когда в шаре имеется сферическая полость (рис. 1.25) . ° 12Е Воспользовившись решением предьгдущей задачи, найти нипряженность Е поля внутри сферы, по которой распределен заряд с поверхностной плотностью в = весов б, где вь — постоянная, б — полярный угол. тт Рис. !.23 Рвс. !.24 Р е ш е н и е.

Рассмотрим два шара одинакового радиуса, имеющих равномерно распределенные по объему зариды с плотностями р и — р. Пусть центры шаров смещены относительно друг друга на расстояние 1 (рис. 1.26). Тогда согласно решению предыдущей задачи поле в области пересечения этих шаров будет однородным: Е = (р/Зео) 1. (1) В нашем случае объемный заряд отличается от нуля только в поверхностном слое. При очень малом 1 мы придем к представлению о поверхностной плотности заряда на сфере. Толщина заряженного слоя в точках, определяемых углом б (рис.

1.26), равна 1соз О. Значит, па единицу площади в этом месте приходится заряд в = р1 сов б = оь соз б, где оь — — р!, и выражение (1) можно представить как (оь/Зеь)" где (с — орт оси У, от которой отсчитывается угол О. ° 1.8. Потенциал. Потенциал некоторого электрического поля имеет вид ср = а(ху — г ). Найти проекнию вектора Е 2 на направление вектора а = 1+ З(4 в точке М (2, 1, — 3).

Р е ш е н и е. Сначала найдем вектор Е; Е = — Стгр = — а (у1 + х) — 2гй). Искомая проекция — Ь .~. Ч вЂ” 28~) ° й.~- Ч -л!у — 6) -уг! + 3 Йб 38 В точке М вЂ” а(1+ 18) !9 Е,= = — = Я. хГ!О ЙО ° 1.9. Найти потенциал гр на краю тонкого диска, по одной стороне которого равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью о. Радиус диска ривен )1. Р е ш е н и е.

По определению потенциал в случае поверхностного распределения заряда дается интегралом (1.28). Для упрощения интегрирования выберем в качестве площадки 65 часть кольца радиусом г и шириной 6г (рис. !.27). Тогда Рис. 1.26 Рис. 1.27 Рис. 1.28 65 = 29гдг, г = 2гг соз 9, 6г = — 2гг з!п 969, После подстановки зтих выражений в интеграл (!.28) получим для гр в точке Ец о ой 9 = — — ~ б 5!и д 69. кеь гз Интегрирование проводим по частям, обозначив 0 = и, сйпб 69 = 6о; ~ 9 ып 0 69 = — 9 соз б+ ~ соз б 69 = — 9 соз 9+ з)п 9, что дает после подстановки пределов интегрирования — 1. В результате ф = о)г/пеь. ° 1.1О. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния г до его центра по закону гь = ага -1- -(- Ь, где а и Ь вЂ” постоянные.

Найти распределение объемного заряда р (г) внутри шара. Р е ш е и и е. Сначала найдем напряженность поля. Согласно (1.32) Е, = — дф/дг = — 2аг. (1) Затем воспользуемся теоремой Гаусса: 4пгзЕ, = д/еь. Дифференциал итого выражения 4п 6 (гхЕ,) = — 69 = — р ° 4пгз 6г, 1 ть еь где дд — заряд между сферами, радиусы которых г и г+ дг. Отсюда ! г дЕ, 2 г дЕ, + 2гЕ, дг= — рг дг, — '+ — Е,= —. е, еь Подставив (1) в последнее уравнение, получим р = — бера, т. е. заряд внутри шара распределен равномерно. е 1.11. Диполь. Найти силу взаимодействия двук точечных диполей с моментами р, и рг, если векторьь р, и рг направлены вдоль прямой, соединяющей диполи, и расстояние между последними ривно 1.

Р е ш е н и е. Согласно (1.39) Р = р, )дЕ/д(~! ~де Š— напряженность поля диполя рг, определяемая первой пз формул (1.38); 2р, Е=— гпе 1з Взяв производную последнего выражения по 1 и подставив ее в фсрмулу для Г, получим ! р~рг у=в 4яео Замесим, что диполи будут притягиваться, если р, 11 рг, и отталкиваться, если р, (! рг. Глава 2 ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 4 2.1. ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ Микро- н макрополе. Истинное электрическое поле в любом веществе — его называют м и к р о п о л е м— меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени.

Оно различно в разных точках атомов и промежутках между ними. Чтобы найти напряженность Е истинного поля в некоторой точке в данный момент, нужно было бы сложить напряженности полей всех отдельных заряженных частиц вещества — электронов н ядер. Решение этой задачи, очевидно, является совершенно нереальным.

Да и сам результат оказался бы настолько сложным, что его просто нельзя было бы использовать. 40 Более того, для решения макроскопических задач такое поле и вовсе не нужно. Для многих целей достаточно более простое и несравненно более грубое описание, которым мы и будем пользоваться в дальнейшем. Под электрическим полем Е в веществе — его называют м а к р о п о л е м — мы будем понимать пространственно усредненное микрополе (после пространственного усреднения временное усреднение уже не требуется).

Это усреднение проводится по так называемому ф и з и ч е ски бесконечно малому объему — объему, содержащему большое число атомов, но имеющему раз. меры во много раз меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно. Усреднение по таким объемам сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения макрополя иа макроскопических расстояниях.

Итак, поле в веществе Е = Е„„, = (Е,ч,). (2л) Влияние вещества на поле. При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смешение положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов). что в свою очередь прнвол,ит к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах вещества появляются нескомпенсированные заряды различного знака.

Это явление называют э л е к т р остатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды — н н д у ц и р о в а иными зарядами. Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе с исходным (внешним) электрическим полем образует результирующее поле. Зная внешнее поле и распределение индуцированных зарядов, можно при нахождении результирующего поля уже не обращать внимание на наличие самого вещества — его роль уже учтена с помощью индуцированных зарядов. Таким образом, результирующее поле при наличии вещества определяется просто как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированиых зарядов. Однако во многих случаях дело усложняется тем, что мы заранее не знаем, как распределяются в пространстве все эти заряды— задача оказывается далеко не такой простой, как могло бы показаться вначале.

Как мы увидим далее, распределение индуцированных зарядов в решающей степени за- висит от свойств самого вещества — от его физической природы и формы тел. С этими вопросами нам и предстоит ознакомиться более подробно. й 2,2, ПОЛЕ ВНУТРИ И СНАРУЖИ ПРОВОДНИКА Внутри проводника Е = О. Поместим металлический проводник во внешнее электростатическое поле или сообщим ему какой-нибудь заряд. В обоих случаях на все заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего все отрицательные заряды (электроны) сместятся против поля. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор (практически это происходит в течение малой доли секунды), пока не установится определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль.

Таким образом, в статическом случае электрическое поле внутри проводника отсутствует(Е=О). Далее, поскольку в проводнике всюду Е = О, то плотность избыточных (нескомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равна нулю (р = О). Это легко понять с помощью теоремы Гаусса. Действительно, так как внутри проводника Е = О, то и поток вектора Е сквозь любую замкнутую поверхность внутри проводника также равен нулю.

А это и значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет. Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью о, вообще говоря, различной в разных точках его поверхности, Заметим, что избыточный поверхностный заряд находится в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного- двух межатомных расстояний). Отсутствие поля внутри проводника означает согласно (1.3!), что потенциал Ч, в проводнике одинаков во всех его точках, т. е. любой проводник в электростатическом поле представляет собой э к в и п о т е н ц и а л ьн у ю о б л а с т ь и его поверхность является э к в и- потенциальной. Из того факта, что поверхность проводника эквипотенциальна, следует, что непосредственно у этой по.