Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин, страница 16

е. механизм шарнирного антипараллелограмма заменяется механизмом фрикционных эллиптических колес. Такое движение 'окажется возможным, если между центроидами установлена связь, обеспечивакпцая их движение без скольжения. 5'. Как было показано выше, для любого механизма в любом его положении могут быть определены все мгновенные центры 'вращения в абсолютном и в относительном движениях его звеньев. Следовательно, если имеется механизм, воспроизводящий то или тшое движение, то такое же движение звеньев может быть осуще»цмлено механизмом, представляющим собой две сопряженные аа Гл.

4. исследОВАние мехАнизмОВ ГРАФическим метОдОм Так, например, передача движения между кривошипами АВ и СВ шарнирного антипараллелограмма (рис. 4.6) может быть воспроизведена двумя эллиптическими фрикционными колесами. При этом законы движения звеньев остаются такими же, как и для механизма шарнирного антипараллелограмма. Механизмы, в которых передача движения осуществляется центроидами, носят название центроидных механизмов. Практически редко можно пользоваться центроидными механизмами на всем желательном интервале движения, так как в некоторых случаях центрондами служат кривые сложного вида (самопересекающиеся, с бесконечно удаленными точками и т. д.). $ 15.

Кинематика начальных звеньев механизмов 1'. Кинематическое исследование механизма, т. е. изучение движения звеньев механизма без учета сил, обусловливающих это движение, состоит в основном в решении трех следующих задач: а) определение перемещений звеньев и траекторий, описываемых точками звеньев, б) определение скоростей отдельных точек звеньев и угловых скоростей звеньев, в) определение ускорений отдельных точек звеньев и угловых ускорений звеньев. Если механизм имеет одну степень свободы, то перемещения, скорости и ускорения звеньев и точек механизма являются функциями перемещений, скоростей и ускорений одного из звеньев, принятого за начальное. Если механизм обладает несколькими степенями свободы, то перемещения, скорости и ускорения звеньев и точек механизма суть функции соответствующих перемещений, скоростей и ускорений звеньев механизма, принятых за начальные. При этом число начальных звеньев должно быть равно числу степеней свободы механизма или, что то же, числу обобщенных координат механизма.

2'. Рассмотрим прежде всего вопрос о том, в какой форме могут быть заданы законы движения начальных звеньев. В дальнейшем зти законы мы будем называть функциями перемещений, скоростей или ускорений. Функция перемещений может быть задана, например, в аналитической форме в виде соответствующей функции, связывающей перемещение начального звена со временем. Если начальное звено входит во вращательную пару со стойкой (рис. 4.7, а), то задается функция <р <р (Г), где ~р — угол поворота начального звена относительно неподвижной системы координат хОу, связанной со стойкой, а 1 — время. Если начальное звено входит со стойкой в поступательную пару (рис.

4.7, б), то задается функция з = з ф, где а — перемещение произвольно $16. кинемАтикА нАчАльных 3ВеньеВ мехАнизмОВ зз выбранной точки А начального звена относительно неподвижной системы координат хОу, связанной со стойкой, а ) — время. Функции ьр = ср (г) и з = з ()) могут быть также заданы гра- фически в виде кривых (рис. 4.8), где по осям ординат отложены углы поворота ф (рис. 4.8, а) или перемещения з (рис. 4.8, б) в некоторых выбранных масштабах р и р а у о с» бачальнаа й' с»гп»м Начальнае лбнна по осям абсцисс — время ) в выбранном масштабе р). Пользуясь графиками (рис. 4.8), легко опреде-, л,,п ЛятЬ ЧИСЛЕННОЕ ЗНаЧЕНИЕ ~ бзммл" ь'г а углов поворота )р или пере- б' МЕщЕНИй З За ЛЮбОй ВЫ- рмс. С.т.

Схемы яачельяых звеньев: в) звено, бранный Отрезок Времени. входящее во вращательную пару со стойкой; Н а р Е Л б ) в в е Я о, в х оп Я Ь ее в и о с т У и а т е л ь н У ю п а Р У, м» ап имер, если взять на стойкой кривой (рис. 4.8, а) некоторую точку ), то угол поворота )р) начального звена от началь- ного положения, когда ьр равно ьро = О, определим так) )Р) ьуо Рйо» где () — отрезок, взятый в мм, а б Ряс. СЛ.

Графякв заданных перемещенвй начального звеяа: а) график угловых пере. мещеннй: б) графвк лянейвых перемещеняй Соответственно, время г), за которое начальное звено повернулось на угол )р„ равно 1) — 4> = )ьга, где а — отрезок, взятый в мм. 3'. В некоторых инженерных задачах закон движения начального звена может быть задан в виде функций скоростей й) '= м ()) или О = О(~). Тогда переход от функции скоростей к функциям перемещений может быть осуществлен путем вычисления интегралов г, г, р)-)роем~ й)(С)й, З,— З =1 и())а, ь зз (4.)) та гм м исследование мвхлнизмоз грдеичвским мвтодом $ 16. Аналоги скоростей и ускорений 1'.

При кинематическом исследовании механизмов скорости и ускорения звеньев н точек, им принадлежащих, удобно выражать в функции поворота у или перемещения з начального звена. Так, если угол поворота ~рд какого-либо й-го звена задан в виде функции ~р» = ~р» (~р), то угловая скорость вд этого звена может быть представлена так~ Йр» Йр» Йр ⻠— — —— Й Йр в ввч = «ярд, (4 3) Йр» Йр где в — угловая скорость начального звена, имеющая размерЙр» ность с ' а вч = у» = ~" есть безразмерная угловая скорость звена й. Безразмерная угловая скорость у» называется аналогом угловой скорого»и звена л.

Таким образом, действительная угловая скорость в» равна произведению угловой скорости в начального звена на аналою угловой скорости ~р» звена й. Дифференцируя уравнение (4.3) по времени 1, получим вели. чину углового ускорения ед звена й. Имеем Й»д Йдч ав лвч Йр Не ед = = — (вв )~в +юа. — ивов — — + в — аэ Й Й ч Й»Ш Йр Й »аг Йзч ⻠— + еьдр в'е + евч — — в'у»+ е~р», (4А) Йр где ~р» — аналог углового ускорения звена й. где ~р„а> н 1» — угол, перемещение и время, соответствующие начальному положению' начального звена.

Если, наконец, закон движения начального звена задан в виде функций ускорений е = е(1) или а а(Г), то переход к функ. циям скоростей осуществляется путем вычисления интегралов Ф~ в~ — в»--) е(1)ар, о,— о» вЂ” — ) а(1)йг, (4.2) и Са где в„о» и 1, — угловая скорость, линейная скорость и время, соответствующие начальному положению начального звена.

Определив функции скоростей по равенствам (4.2), можно определить и функции положений, пользуясь равенствами (4,1). Таким образом, определение функций перемещений по заданным ункциям скоростей сводится к вычислению одного из интегралов 4.1), а в случае задания функций ускорений — к последовательному вычислению двух 'интегралов (4:2) и (4.1). Следовательно, если закон движения начального звена задан функциями скоростей или ускорений и заданы начальные условия, то мы можем всегда перейти к функциям перемещений. $ !6. АнАлОГи скороствЙ и ускогвнии 71 2'.

Аналогично могут быть получены уравнения для скорости н ускорения какой-либо точки т звена й. Пусть г„есть радиус- вектор, определярощий положение точки т. Из теоретической механики известно, что скорость е и ускорение а точки т могут быть получены последовательным двукратным дифференцированием радиуса-вектора гт по времени й Имеем е Вгт ьгт Вф Вгт сп вф рп в ж!! ве|р = вгт (4, 5) где в — угловая скорость начального звена, имеющая размерВгт ность рад/с, а еч = г' = — „есть аналог скорости точки т, имеющий размерность длины.

Таким образом, действительная скорость е точки т равна произведению угловой скорости в начального звена на аналог скорости е точки т. Дифференцируя выражение (4.5) по времени А получим величину ускорения ат точки т. Ускорение а в общем случае состоит из четырех составляющих: нормального ускорения, направленного вдоль радиуса-век!пора г„к его началу, тангенииального ускорения, направленного перпендикулярно к радиусу-вектору г, относительного релятивного ускорения, направленного вдоль радиуса- вектора г, и, наконец, кориолисова ускорения, направленного перпендикулярно к радиусу-вектору г . Пользуясь равенством (4.5), получаем вот в "ьч йо "оч вф вт а = — "= — (ве ) = в — +е — =ш — — +е — = и т ч в! т= вф и чв! 2 =⻠— „+ ее,р — — в'-'ач + ее„= в"г„, + ег„'.

(4.6) ф В уравнении (4.6) в и а — угловые скорость и ускорение начального звена. Величины в' и а, входящие в уравнение (4.6), имеют размерность с '. Величина аналога скорости е, имеет размерность длины. Величина ач = г" = — '" есть аналог ускоре- В»гт — т ния точки т, имеющая также размерность длины. При поступательном перемещении звена я аналог его скорости обозначается в», а аналог его ускорения в». Таким образом, скорости и ускорения звеньев и их точек могут быть всегда выражены через соответствующие аналоги скоростей и ускорений и угловые скорость и ускорение начального звена механизма. Если закон движения начального звена задан в виде функций в = в(ф), где в — линейное перемещение начального звена, то нахождение аналогов скоростей и ускорений может быть сделано аналогично.

От Обоб о ° Так как аналоги скоростей и ускорений зависят только обобщенной координаты и не зависят от времени, то кинемати- тз г. ь исследование мвхзнизмов ггаеичвским методом ческое исследование механизма можно вести чисто геометрическим путем. Для этого, если начальное звено входит во вращательную пару, поворачивают его на углы <р н определяют перемещення всех остальных звеньев. Далее, если требуется определить скорости н ускорения звена й н его точки и», то находят аналоги скоростей и ускорений а„ е, о и а н подставляют их значения в уравнения (4.3), (4.4), (4.5), (4.6).

Если начальное звено вращается с постоянной угловой скоростью а, то его угловое ускорение е равно нулю, и мы получаем следующие формулы для скоростей и ускорений звена й и его точки т~ п е» а»» е» ' е»+ е»» пи ~ оаи а а,',+ а;,. (4.13) (4.!4) (4.15) (4.16) е» = еао = а~р» (4.7) е» = а е = а»~р», (4.8) ощ аов аг 1 (4.9) , а =еа,р е»г". (4.10) Движение начального звена механизма о угловой скоростью а = сопз1 н е = О носит название перманентного нлн основного движения механизма. Если в равенствах (4.3) — (4.6) принять угловую скорость е = О, то скорости а, и ое будут также равны нулю, а равенства (4.4) н (4.6) примут вид е» = еа.=еф», (4.11) а" = еоо —— ег».

(4.!2) Движение начального звена, описываемого равенствами (4.1!) н (4.12), носит название начального движения. В начальном движении механизма угловая скорость а начального звена равна нулю, н поэтому нормальные, относительные н корнолисовы ускорения его точек также равны нулю. Таким образом, в начальном движении звенья и точки механизма имеют только угловые и тангенциальные ускорения, лннин действия которых совпадают с лнннямн действия скоростей соответствующих точек звеньев.