Робинсон - История развития теории спектрального оценивания, страница 13

Крупвьш шагом здесь стала программа 5АБЕ ! ч', разработанная П. Льюисом [77!. Следует также отметить, что наряду с преобразованием Фурье вызывают интерес н другие виды преобразований [78, 79!. ХЧ. СПЕКТРАЛЬНЫИ АНАЛИЗ НА ОСНОВБ МЕТОДА ИАКСИИИЗАЦИИ ЗНТРОПИИ, ПРЕДЛОЖЕННОГО БЕРГОМ Дискретное преобразование Фурье ковариациониай функции называется спектральной плотностью. Такам образом, спектральная плотность стационарного временнбго ряда с ковариационной функцией Ф(еа)= ~ й(л)е т~" (-я<ее<я). (!) В своем изложении мы не будем требовать, чтобы ковариационная функция была нормирована, т. е. ф(0) не обязательно равна единице. Если ковариационная функция известна полностью, т.

е. если ф(л) известно для всех и, то спектральную плотность можно, очевидно, найти по формуле (!). Однако на практике ковариационная функция нередко бывает известна или ее можно надежно измерить только для некоторого конечного числа значений л, скажем, для л=!, 2, ...,р. Поскольку ковариационная функция является симметричной, т. е. ф(л)=ф( — л), мы знаем значения ф(л) для л=0, -г-!, ~2,,~р, на не знаем ф(л) для [л[)р. Вопрос состоит в том, как оценить спектральную плотность (!), опираясь на эту неполную информацию. Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо прежде всего более внимательно рассмотреть характер интересующего нас явления, нбо разным видам явлений соответствуют и разные методы спектрального анализа.

Бриллинджер и Тычки утверждают, что основное значение имеет классификация, согласно которой процессы делятся на: а) шум, Ь) сигналы, с) сигнал + шум; случай (Ь) обычно маловероятен, однако нередко в случае (с) уровень шума бывает настолько мал, что такой процесс можно рассматривать как случай (Ь). Процесс типа шума порождает временнбй ряд, совершенно отличный по своему характеру от временных рядов, порождаемых процессами типа сигнала. Регулярность процесса типа шума находит свое отражение не в форме отдельных реализаций, а в статистической структуре, составляющей основу случайного процесса.

Вследствие этого разные реализации оказываются не похожими друг на друга. Фрагмент одной реализации не похож на аналогичный фрагмент другой реализации; у разных фрагментов разные ковариационные функции. Так что можно допустить большую ошибку, если, воспользовавшись оценкой коварнационной функции, полученной из данной реализации, считать ее еизвестнайз ковариациоиной функцией и строить дальнейшие оценки, считая, что они должны в точности соответствовать ей. Бриглинджер и Тычки справедливо отмечают, что, р"сполагая зачастую только одной реализацией, мы вынуж.

дены делать максимально надежные выводы о лежащей в основе процесса статистике. Поэтому надо мыслить статистически и при интерпретации численных результатов не забывать о сугубо предварительном характере всех с руктурных и стохастических гипотез, на которых зиждется та или иная модель процесса. Многие методы Фурье предназначены для спектрального оценнвания тех процессов, которые в общем ряду расположены в окрестности чистых шумов, где эти методы особенно эффективны. На другом краю этого ряда расположены процессы типа сигнала. Некоторые наиболее характерные примеры таких процессов можно встретить в разведочной сейсмологии.

В этом случае источник направленной энергии используется для получения сейсмограммы. Поскольку уровень случайного фонового шума, как ТИИЗР, т. УО, Ра Р, аавгябрь 1982 и и. л Р с~ ч и п Р д а правило, бывает мал, любая сейсмограмма внешне будет почти не отличаться от другой сейсмограммы, полученной в том же пункте, но в другое время.

По мнению Бриллинджера и Тычки, для исследований процессов типа сигнал вполне возможно применение принципиально других методов. Имеется еще один вид спектрального анализа, привлекающий многих исследователей, работающих в области прикладных наук и располагающих ограниченным объемом данных для анализа. Здесь уже нет тех строгих ограничений на модель процесса, которые требуют наличия содержательных данных о его существе, временнйе ряды регистрируются лишь на небольших интервалах времени, получаемые данные не отличаются четкими особенностями, а соответствующие диаграммы внешне выглядят различно, При таком почти полном отсутствии материала для работы исследователям не остается ничего другого, как действовать методом подбора нескольких констант. Известны, например, методы подбора с моделями малого порядка (АР, СУ,АРСУ) в соответствии с методикой Бокса — Лженкинса [931. Как отмечают Бриллинджер и Тычки, этот подход, судя по имеющимся данным, во многих практических случаях работает гораздо лучше, чем можно было бы ожидать.

Наиболее сложный вопрос в спектральном оценивании — правильный выбор модели н как следствие выбор метода спектрального оценивання [102). Применение метода спектрального оценивания, опирающегося на неправильно выбранную модель, может привести к серьезным ошибкам, Вернемся теперь к центральному вопросу: как оценить спектр, имея возможность вычислить лишь конечное число значений ковариационной функции. Вычисляя и затем применяя лишь ограниченное число коэффициентов автокорреляции, исследователи, как правило, отнюдь не считают остальные коэффициенты равными нулю: с помощью имеющихся данных обычно вычисляют определенные квадратичные формы, исходя из того что средние значения (по ансамблю) этих форм, как, впрочем, и любых других квадратичных форм, вычисленных по результатам наблюдения, представляют собой интегрзл свертки известного 'ядра и неизвестяой спектральной плотности.

Соответственным образом интерпретируются н полученные при этом данные. Так что не следует подозревать таких исследователей в каких бы то ни было допущениях об остающихся невычисленными коэффициентах автокорреляцни. При этом совершенно правильно считается, что вычисляемые оценки коэффициентов автокорреляции будут разными в разных реализациях и что, следовательно, их нельзя рассматривать как истинные значения оцениваемого параметра. Одна из целей нашего исторического обзора— попытаться оттенить роль важнейших достижений в истории спектрального оценивания. К сожалению, автор не смог принять участия в 37-й сессии Общества разведочной геофизики, состоявшейся в Оклахома- Сити в 1967 г., хотя он был участником всех предыдущих и последующих сессий этого общества. «К сожалениюэ потому, что именно на этой сессии Лжон Берг выступил с докладом, который пошатнул основы спектрального оцениваиия.

Эта фундаментальная работа [301 называлась «Спектральный анализ по методу максимальной знтропииэ, а аннотации к докладу звучала так: Обычный дкакрегкыз метод ааэучеккк ацеккв саектрвдькая влаткаатк ва реэультатвы вэиераккя кавврввцвавкаа функции аакавэк кв предаалажеккк а таи, чга карр«аяцков. вхя фуккцкя равна нулю ари любых сдвкгвх, ддя которых оценки втаб функции отсутствуют, в кв кааадьэавввик аар«- деленных ар«абрвэавввкй имеющихся оценок с целью уменьшевкк эффект« уаечеввк кавврквцвавкай функции. В а«дичка ат «гага црв аредвэгваыаы методе все ввдвввые ацеккк коэффициентов ввтакарраляцкв аагвютав бев изменения, в ддя каэффкциекгав, которые ве могут быть ацекевы веце«рекс«вавка, к«ааль«у«так ненулевая оценка. Предвэгввиыз врввцкв ацаккввккя «а«такт з там, чта спектральная ацеккв даджкв соответствовать максимально случайному арак«аау, ккымк алаввык, далжвв имать максимальную энтропию аа арввкеккю с любая другой спектральной плотностью, согласующейся с кэыеряеыыыв данными.

Па сравнению а абычвыми ыетадвмк новый метод вквэкэв аб«ааечяввет значительное цавышекке разрешающей ааасабкасгк спектральной оценки, причем время вы«к«левка возрастает цезввчвгэлька. Указанкые преимущества метода иддюачркруютсв кз конкретных арвыервх. Оценка спектральной плотности стационарного временнбго ряда на основе ограниченных данных о ковариационной функции — это классическая задача, привлекающая к себе пристальное внимание на протяжении многих лет.

Почти все работы, посвященные ей, основаны на использовании весовых функций (окон), свойства которых можно проанализировать методами Фурье. В своей основополагающей работе [80 †3 Берг ввел в спектральный анализ новые идеи, которые базируются на общих вариационных принципах, и в частности на методе максимальной энтропии (ММЭ), рассмотрением которого мы сейчас и займемся, Обычный подход к оцениванию спектральной плотности функции ф(п),[п[(р, основан на предположении о том, что ф(ц)=0 при п)(г, и на преобразовании Фурье выражения ш(п)ф(л), [л[~(р, где ш(л)— весовая функция. Метод максимальной энтропии, предложенный Бергом, состоит в следующем.

При заданном ограниченном множестве значений ковариационной функции и с учетом того факта, что спектральная плотность Ф(ш) не может быть отрицательной, как известно, имеется, вообще говоря, неограниченное число вариантов спектральной плотности, соответствующих исходной информации.

Таким образом, для решения задачи требуется дополнительная информация, и вполне разумно будет постараться найти единственную функцию Ф(ш), представляющую класс всех возможных спектральных плотностей. В таком случае необходимо сделать определенный выбор. Берг прибег с этой целью к понятию энтропии. Спектральный анализ по методу максимальной энтропии основан на выборе такого спектра, который бы соответствовал наиболее случайному илн наиболее непредсказуемому временнбму ряду, для которого в свою очередь в тех точках, где значения ковариацнонной функции заданы, они совпадают с заданным набором значений. Эта та самая идея максимизации энтропии, которая используется в статистической физике и теории информации; она, как мы увидим, связана с наложением наименьших ограничений иа известные значения ковариационной функции.