Робинсон - История развития теории спектрального оценивания, страница 9

ровать временнйе ряды, наблюдаемые в природе, Н вот в 1930 г. Винер выступает с обобщенным гармоническим анализом. Если говорить кратко, то Внкер к !930 г. научился находить фурье-образ случайного стационарного процесса, что стало крупной вехой в истории практического Применения методов Фурье. В обобщенном гармоническом анализе Винера рассматривается одна из разновидностей обобщенной случайной функции — процесс Эйнштейна — Винера (белый шум), Для того чтобы правильно оценить место работы Винера, мы на время отвлечемся, чтобы рассмотреть наиболее известную обобщенную функпию — дельта. функцию Дирака.

Им»ульсная функция (деяыпа-функция Дира»а) была известна задолго до того момента, когда ею в !928 г. воспользовался Дирак !26). Она была известна еше Хевисайду (27!. Однако понадобилось положение великого физика, каким обладал Поль Дирак, чгсбы узаконить ее применение в физике. В те вренеиа о дельта-функции 6(1) обычно говорили как о акции аргумента 1 в обычном смысле, т, е. как о нкцни, для которой 8 (Н ДВ аг У(о). В)в цхея вызывала большое неудовольствие и возражения у математиков, некоторые из которых даже ут. )мрждалн, что Дирак неправ, несмотря на то что он получал один за другим вполне разумные н полезные результаты.

Что касается физиков, то они, полагаясь на свою интуицию, отвергали столь крайние проявления критического отношения. Посмотрим, по. чану же, несмотря на критическое отношение математиков, физики оказались правы. Фианкн действительно рассматривалн 6(() как обычную функцию. (како. вой, строго говоря, она не является),н, как и обычную функцию, нитегрировалн ее и даже дифференцирована. Но действия физиков были оправданы тем, что они применяли 6(1) только под знаком интеграла в сочетании с достаточно дифференцируемыми функцняин ((1). Так, производная от 6(1) встречалась не вязче как под знаком интеграла, которыА вычислялся напцом интегрирования по частям: Г' 8 (г) г(г) аг — ~ 6(г) у'(г) аг -у'(о) Фнзнкн применяли дельта-функцию тольно для нахождения вещественных численных значений обыч.

янх функций, В этом плане они использовали лишь жиислительиый аппарат, а не язык теории распределений, которая была специально разработана для обоснования существования дельта. функций. Последсвжельную теорию обобщенных фуйнцнй разработал и наложил после второй мировой войны а своей иэмсаой монографии Теория рас»редеяений (1950 н !961 гг.) французскнА математик Л. Шварц. Начиная с этого времени в области теории обобщенных функвнй явтенснвно и плодотворно работали многие маымвтики. Стремительное развитие теории распределений бмло обусловлено главным образом потребностямн ижеиатикн н теоретическоА физики и прежде всего таамн нх разделами. как теория дифференциальных уравнений и квантовая физика. Обобщенные функции обладают рядом замечательных свойств, расширяющих возможности классического математического анализа.

Например, любая обобщенная функция оказывается бесконечное число раз дифференцируемой (в обобщенном смысле), расходящийся ряд обобщенных функций можно дифференцировать почленно бесконечное число раз, преобразование Фурье обобщенной функции всегда существует и т, д. Благодаря этому применение аппарата обобщенных функций позволяет существенно расширить диапазон разрешимых задач и приводит к существенным упрощениям, в результате которых обычно трудные операции выполняются автоматически. По мере продвижения науки вперед для формирования ее теоретических положений, нак правило, требуется математика все более высокого уровня.

В 1931 г., выступая с теоретическим предсказанием существования античастиц (Ргос. )!оу. Зос. (.о»«(о», Еег. А, чо). 1ЗЗ, рр. 60 — 72), Дирак писал: «СкореА всего, такой процесс повышения уровня абстракции сохранится и впредь, причем прогресс физики будет связан не с 'логическим развитием какой-то одноА математической схемы с закостеневшим фундаментом, а с непрерывным видоизменением и обобщением аксиом, лежащих в самой основе математики».

Последующие достижения теоретической физики подтвердили зту точку зрения. Мы уже виделн, что со времен Ньютона поиски и исследования математических моделей физических явлений заставлялн прибегать к широкой гамме математических приемов, стимулируя тем самым развитие различных областеА математики. Но вернемся к Норберту Винеру, к его работам 1930 г. Физики заняты раскрытием тайн, и импульсная (днраковская) дельта-функция облегчает их задачу. Импульсная функция представляет собой простейшую обобщенную функцию.

Можно представить себе незавидное положение Винера в среде математиков в ! 923 г., когда он вводит обобщенные случайные функции в математическую литературу, и особенно в 1930 г. „ когда он применяет их в своей упоминавшейся выше работе. Сформулируем теперь основные положения винеровского обоби(енноао гармонического анализа. Как известно, свертка по времени соответствует умножению в частотной области. Таким образом, на языке преобразования Фурье приводившийся выше интеграл свертки входа н выхода может быть записан в виде «(ю) Л(«.>) Л(ь ). В этом уравнении Е(ш) — это фурье-преобразование белого шума, т. е. Е(ы) является обобщенной функцией, которую можно рассматривать как «белуюэ (иными словами, очень нерегулярную) по частоте.

Передаточная функция фильтра В(ы) — это гладкая регулярная (обычная) функция без каких-либо особенностей. Х(м), представляющая собой произведение этих функций, также в высшей степени нерегулярна. Вычислим теперь обратное преобразование Фурье для Х(ы): 22 ТИИЭР, т. 70, За 9, саатябрь (982 нли Р(га) = - )Х(ь7)1', Ж ф(ь) = — ~, х л(л)х(л + л) 1 л <х,г)лВ» ю л Х(Л) = — ~ ЕГь'лд(Ь7) Е(Га) дГа 2я~ С помощью этой формулы осуществляется винеровскнй обобщенный гармонический анализ функции х(п); иными словами, эта формула осуществляет спектральное представление, стационарного случайного процесса х(и).

В эту формулу входят гладкая передаточная функция фильтра В(гз) и очень нерегулярный (лбелый» по частоте) процесс Е(гл). Мы видим, таким образом, что спектральное представление требует применения вннеровской обобщенной случайной функции Е(и), родившейся в работах Винера по исследованию броуновского движения. Предложенный Винером обобщенный гармонический анализ (т. е. спектральное представление) объясняет, почему периодограмма Шустера не работает в случае процессов типа свертки.

Поскольку при до. статочно большом числе измерений периодограмма имеет вид можно сделать вывод, что периодограмма характеризуется неизбежной нерегулярностью процесса Х(м), (Справиться с этой труди зотыч удалось только после появления в !949 г. рабогы Тычки 1341, ознаменовавшей наступление целой новой эпохи.) В своей работе 1930 г. Винер выдвинул следующий метод, который оставался в роли стандартного до появления в 1949 г. работы Тычки и предназначался для работы с очень длинными временными рядами. Он заключается в том, что сначала вычисляется ковариационная функция как среднее по времени для — р(й(р, где р меньше максимального значения аргумента )т', а затем находнтся спектральная плотность Ф (о>) как преобразование Фурье ф(<,>)= т, фбг)е ~~ .

к -р Эта связь ковариацнонной функцни со спектральной плотностью через преобразование Фурье, как уже говорилось, в наше время известна под названием теоремы Винера — Хинчина, Если работа Неймана 1929 года в области квантовой физики сразу получила широкую известность н заслуженное признание физиков н математиков, то работа Винера 1930 года долго оставалась в тени. Однако сейчас, оценнвая прошлое с позиций современной науки, имеет смысл попытаться примирить между собой оба подхода к спектральному оценнванню. Этнм мы н займемся в следующем разделе. Х1.

ИЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЪ ОБЕИХ СПЕКТРАЛЬИЪ|Х ТЕОРИИ Мы проследили весь длительный путь исторического развития спектрального оценнвання. С тех древних времен, когда устанавлнвался календарь, до работ великих математиков ХЧП1 в., сформулировав. шнх волновое уравнение, прошло немало тысячель тнй. Затем последовали работы Бернулли, Эйлера и Фурье, в результате которых к началу Х!Х в. ело. жилась спектральная теория, опиравшаяся на весле. дованне сннусоидальных функций. Благодаря работая Штурма и Лнувилля ее удалось распространить на случай произвольных ортогональных функций, что привело спектральный анализ к величайшему эм.