Робинсон - История развития теории спектрального оценивания (1072101), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В результате ои получил кривую, представлявшую собой ковариационную функцию исходного сигнала. Далее Майкельсон с помощью механического анализатора гармоник вычислил преобразование Фурье кривой видимости; иными словами, он оценил спектральную плотность сигнала. Майкельсон поставил свои эксперименты с целью изучения тонкой структуры спектральных линий света. Таким образом, в те далекие дни разделение спектрального оценивания на две ветви еще не произошло.
В нынешнем столетии началось бурное развитие меюда спектрального анализа применительно к физическим задачам, стали совершенствоваться соотжтствующне приборы, повышаться их чувствительность. Спектроскописты преподнесли теоретикам очередной вопрос: почему спектральная линия не бесконечно узка, а имеет определенную ширину? Ведь, как известно, фотон соответствует линии с одним определенным значением частоты ы.
Почему же тогда линии на фотопластинке, помещенной в спектроскоп, голучзются не тонкими, а несколько размытыми? Ответ на этот вопрос удалось найти в волновых свойствах электрона и принципе неопределенности Гейзенберга. Начальная, равно как н конечная энергнв электрона в атоме относятся к стационарному состоянию. Но переход электрона с одного уровня на другой уже сам по себе является нарушением некоего стационарного состояния. А раз так, значит, в действие вступает принцип Гейзенберга. Если обозначить через Аг время жизни электрона между последовательными переходами, то неопределенность энергии фотона будет равна АЕ ЫА1, где А — постоянная Планка.
Используя формулу Планка для квантов энергия, мы получим, что неопределенность энергии АЕ пропорциональна неопределенности Аы частоты фотона: А АЕ = — Аш. 2л Таким образом, спектральные линии обладают ковечной шириной Аы, которая обратно пропорциональна времени «оседлойз жизни электрона в атоме: 2я А«о - —. Аг ' Другими словам, чем более «оседлуюэ, «спокойную» жизнь ведут электроны в атоме, тем уже спектральные линии. Вот почему при высоких давлениях и темперюурах, когда большинство электронов в атоме на' ходятся в движении, спектральные линни уширяются и теряют резкость. Итак, каждая отдельно взятая спектральная линия имеет конечную ширину, обусловленную тепловым движением н столкновениями.
Это обстоятельство, играющее важную роль в физике, имеет самое прямое отношение к проблеме спектрального оценнвання, которой посвящен данный тематический выпуск. Раз реальные «линни« имеют определенную ширину, значит, они должны вести себя не как монохроматнческий сигнал с определенной частотой н не как постоянный по амплитуде сигнал со слабой частотной модуляцией, а как узкополосный шум. Вернемся снова к вопросу о желтой линии натрия, которую наблюдал Бунзен. О.линия натрия представляет собой дублет. Кроме того, спектр натрия содержит четыре линии в видимой области и еще две в ближнем ультрафиолете, 'интенсивность которых достаточно велика и позволяет использовать их в аналитической химии. В общей сложности в интервале от 11-линий до 4390 А (эта граница еще лежит в видимой области) спектр натрия содержит 29 линий, представляющих интерес для астрофизиков.
Можно сказать, что свыше ста лет назад Бунзен осуществил спектральное оценнвание. Правда, Бунзен не сумел разрешить две частоты дублета. Но ведь н в наши дни в таком положении порой оказывается исследователь, занимающийся оцениванием спектров. Бунзен не заметил в спектре натрия много других линий. Но ведь н в наши дни исследователь спектра не заметил бы многих его подробностей, не располагай он современными методами. По мере совершенствования техники спектроскопии не замеченные сначала линии постепенно обнаруживались. В этой связи возникает другой вопрос.
Многие спектральные линии, которые, казалось бы, должны соответствовать одной частоте, на самом деле оказываются состоящими из ряда близко расположенных линий. Примером этого как раз и служит 11-линия в спектре натрия, являющаяся дублетом. Тонкую структуру спектральных линий (дублеты и т. д.) удалось обнаружить только благодаря'большим успехам техники спектроскопии. Вслед за этим был открыт спин электрона как ответ на вопрос о причинах таких «тонких свойств« спектра. Поясним вкратце, в чем здесь дело. Прн излучении спектра, энергии состояния двух электронов с противоположно ориентированными спинами могут несколько различаться.
В результате спектральная линия будет раздваиваться: вместо одной линии в спектре появятся линии-двойники с одинаковой яркостью. Они обычно возникаюттолько в том случае, когда внешняя электронная оболочка содержит один электрон. По мере возрастания числа электронов в оболочке на месте бывшей одиночной спектральной линни иногда обнаруживаются триплеты и даже более многочисленные семейства. Рассмотрим теперь квантовомеханическую формулировку задачи о гармоническом осцилляторе. Введя безразмерное смещение х, можно написать независимое от времени у)яая«гмиг Шредингера где Π— дифференциальный оператор: ТИИЭР, т.
70, )И 9, сентябрь 1982 а Л определяется как 2Е Л= —— лг >ь Здесь ф — волновая функция вероятности, постоянная Š— энергия, 6=2пй — постоянная Планка и постоянная ы, — собственная частота. Задача отыскания волновой функции вероятности ф представляет собой проблему Штурма — Лиувилля.
Ее решение дает собственные значения в виде последовательности чисел 1, 3, 5, 7,..., откуда Ль=(2ет1), 1с=о,!,2, Таким образом, собственные значения энергии равны Ех = тяисьЛИ 9 яюо(гс+ 7), 1 =0, 1,2, Соответствующими собственными функциями будут фс, = Ст Ит(х) е " 17, 1с = О, 1, 2, где Сь — нормнрующий множитель, а йь(х) — полинам Эрмита И-го порядка. Дискретный набор собственных энергий Е„Е„Е„...
соответствует дискретным линиям, наблюдаемым в спектре. Таким образом, квантовая механика позволяет, используя теорию Штурма — Лиувнлля, объяснить существование атомных спектров. Но при этом остается целый ряд математических трудностей, истории преодоления которых посвящен следующий раздел. ЧН. ТЕОРЕМА НЕЙМАНА О СПЕКТРАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Сформулируем следующую задачу нахождения собственных значений в конечномерном пространстве. Дана эрмитова матрица Н. Требуется найти все решения ф (в виде векторов-столбцов) характеристического уравнения нф" Лф, где Л вЂ” константа, которую также необходимо найти. Инымн словами, при заданной Н требуется найти ф к Л.
Решения ф„..., ф„называется собственными решениями (считаем их нормированными), а соответствующие им вещественные числа Л„..., Л„называются собственными значениями матрицы Н. Совокупность всех собственных значений Л„Л„..., Л„ в порядке их возрастания называется спектром. Выпишем теперь собственные уравнения Нф =Л фь, И=),,в в виде матричного уравнения ни= ил Поскольку собственные решения должны быть ортонормнрованными, матрица У (столбцы которой суть собственные решения) является унитарной: ииг =1 где 1 — единичная матрица. (Индекс Т означает комплексно-сопряженную транспонированную матрицу.) Матрица Л является диагональной, причем элементы диагонали образуют спектр. Таким образом, поставленную задачу о собственных значениях можно иаявать задачей отыскания унитарной матрицы У, превращающей Н в вещественную диагональную мат.
рнцу: и 'ни=л. (Заметим, что если при этом элементы матрицы Н вещественны, то Н вЂ” симметричная, а У вЂ” ортогональная матрица.) Хотя унитарная матрица (7, столбцы которой являются собственными решениями фо определяется матрицей Н неоднозначно, Джон фон Нейман (121, воспользовавшись свойством унятарносги (7, в 1929 г.
переформулировал задачу о собственных значениях. Предложенная им новая формулировка, получившая название задачи снеюпральнага представления, приводит к тем же результатам, что и задача о собственных значениях в конечномерном пространстве, но имеет то преимущество, буо может быть распространена на гильбертово пространство. Напомним, что диагональная матрица Л вЂ” это, по определению, матрица, состоящая из собственных значений, расположенных в порядке возрастания вдоль главной диагонали, и из нулей вне диагонали. Благодаря такому построению она однозначно определяется для любой заданной эрмитовой матрицы Н. Поскольку некоторые собственные значения могут повторяться, переобозначим их как Л„ Л„ ..., Л (т(п), где теперь все Л, различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
