Робинсон - История развития теории спектрального оценивания (1072101), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Так уж случилось, что автором одного из величайших достижений в истории математики, нововведения, приковавшего к себе немалое внимание математинов более чем на целое столетие, оказался простой инженер. На том историческом заседании Фурье заявил, что произвольную функцию, заданную на некотором конечном интервале любой негладкой и даже разрывной кривой, можно представить бесконечной суммой косинусоидальных н сииусоидальных функций. Выдающиеся и блистательные академики поставили под сомнение справедливость теоремы Фурье, поскольку они полагали, что всякая суперпозиция косинусоидальных и сннусоидальиых функций образует только аналитическую функцию, т. е. функцию, днфференцируемую бесконечное число раз.
Ясно, рассуждали академики, что анвхнтическая функция не может быть разрывной и потому наверняка будет иметь мало общего с какой-то произвольной кривой. Ведь, как гласит теорема Тейлора, особенностью аналитической функции является то, что, будучи заданной на некотором бесконечно малом интервале, она может быть продолжена на конечный интервал вправо и влево лишь вполне определенным однозначным способом (зто так называемая операция аналитического продолжения). Академики н другие выдающиеся математики того времени не могли прнмирить в своем сознании свойство аналитического продолжения с теоремой Фурье. Разве могут физические рассуждения какого-то инженера устоять против всей мощи аналитического мышления представителей самых выдающихся математиков всех времен! То были дни, когда в научном мире в зените своего могущества было много крупных авторитетов, и Фурье отважился защищать свою теорему в одиночку.
Как уже говорилось. определение аналитической функции предполагает такую сильную взаимосвязь 2 гимар м о всех ее значений, при которой информация о значении функции в одной точке позволяет предсказать значение той же функции в другой точке, отделенной от предыдущей конечным интервалом А. Такой механизм прогнозирования отражается в форме разложения в ряд Тейлора. В отличие от этого неаналитическая (например, негладкая и разрывная) функция не требует столь однозначной связи между поведением функции в бесконечно малой окрестности заданной точки и в более удаленных точках. Именно такое более широкое понимание функции и используется при определении разложения функции в ряд Фурье.
Коэффициенты ряда Фурье, как следует из работ Эйлера и Лагранжа, находятся не дифференцирова. пнем, как в рядах Тейлора, а интегрированием. Каждый коэффициент Фурье Ао есть интеграл от )(х) тйп лх по всему интервалу, а потому любое изменение )(х) на отдельном участке этого интервала приводит к изменению всех коэффициентов Фурье. Отсюда следует, что в отличие от рядов Тейлора в рядах Фурье взаимные связи действуют не в локальном, а а глобальном смысле. Для ряда Фурье имеет значение именно поведение((х) в бохыиом и гораздо меньшую роль играет ее поведение в окрестности точки.
Как же примирить между собой эти две разновидности разложения в ряд — ряд Тейлора, который представляет собой разложение в окрестности точки ц позволяет точно предсказывать значения функции на определенном расстоянии от исходной точки, и ряд Фурье, который представляет собой разложение в большом и позволяет узнавать значения функции во всем диапазоне изменений аргумента? Для того чтобы получить разложение функции в ряд Тейлора, необходимо, чтобы она была бесконечное число раз дифференцируемой в некоторой точке, а для разложения функции в ряд Фурье дифференцируемость не требуется вообще. Как это ни странно, мостиком через пропасть, разделяющую ряды Тейлора и ряды Фурье, служит г-преобразование — фундаментальное преобразование, применяемое в теории цифровой обработки сигналов.
Рассмотрим аналитическую функцию 1(г) комплексной переменной г = х о Гх = (гера) ', Разложив 1(г) в ряд Тейлора (по степеням переменной г ') в точке г '=О, мы получим г-преобразование Лг)= 2 а„г л о Радиус сходимости этого ряда находится в пределах от г '=0 до первой особой точки, скажем до г ,'. Особой называется точка, в которой функция перестает быть аналитической. Область сходимости ряда Тейлора для фуннции )(г) представляет собой гплоскость вне круга радиуса)г,~. Иными словами, области сходимости принадлежат все точки г, для которых ) г г~()г д, т.
е. ) г))ц.' Запишем теперь выражение для ряда Тейлора функции ((г) в точках, принадлежащих окружности г=соз 8 — 1 51п 8: Ле Гэ) = ~ ал(ооо лэ - ) ош лд), л о 10 ТИИЗР, т. 70, ж 9, сситябрь 1992 Зто выражение представляет собой комплексный ряд Фурье с углом 0 в качестве переменной. Здесь возможны три случая.
1) Особая точка г, находится внутри круга единичного радиуса на х-плоскости. В этом случае функция аналитична на окружности единичного радиуса, и, таким образом, ряд Фурье представляет собой аналитическое представление этой аналитической функции. Французская академия считала такой случай единственно возможным. 2) Особая точка в, расположена вне круга единичного радиуса, В этом случае ряд Фурье не представляет данную функцию, и поэтому мы рассматривать этот случай не будем. 3) Третий случай представляет определенный интерес. Именно он разрешает математический парадокс, послуживший для Фурье отправной точкой для открытия, которое он сделал в !807 г. Если особая точка в, находится на окружности единичного радиуса, то ряд Тейлора не будет 'сходящимся в некоторых или даже во всех точках окружности единичного радиуса. Таким образом, ряд Тейлора определяет аналитическую функцию, которая дифференцируема любое число раз вне круга единичного радиуса, но становится неаналитической в некоторых или во всех точках окружности единичного радиуса.
Ряд Фурье по переменной О совпадает с рядом Тейлора по переменной г на окружности единичного радиуса н, следовательно, представляет функцию переменной О, не обладающую свойством аналитичности в некоторых нли во всех точках области определения — п(0(п. Небольшое изменение коэффициентов Фурье, при котором особая точка смещается с окружности круга единичного радиуса чуть-чуть внутрь этого круга, превращает неаналитическое фурье-представление в аналитическое.
Самое поразительное, что уже при сколь угодно малом смещении точки внутрь круга первоначально недифференцируемая функция от 0 становится бесконечное число раз дифференцируемой. Таким образом, ошибка великих французских математиков — членов знаменитой Французской академии, решивших ограничить область применимости ряда Фурье только аналитическими функциячн, целиком определялась чрезвычайно малым, но в то же время конечным расстоянием от точки на периферии до точки, находящейся внутри круга единичного радиуса. Функция может оставаться исключительно гладкой вплоть до самой окружности единичного радиуса, а затем, когда радиус станет равным единице, обратиться в свой ломаный, искаженный образ. Ряд Тейлора прн эгом перестанет существовать, но его двойник— ряд Фурье по переменной Π— сохранит свое существование.
Теорема Фурье осталась справедливой, прогресс науки мог продолжаться. У. СПККТРАЛЬИАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ, РАЗРАБОТАННАЯ ШТУРМОМ И ЛИРВИЛЛЕМ Вслед за великим открытием, сделанным Фурье в 1807 г., началось выявление и изучение замечательных свойств рядов Фурье, которое велось на протяжении всего Х 1Х столетия и было продолжено в ХХ в.
Ряд Фурье в том виде, как он был предложен его автором, представляет собой разложение по косинусам н синусам, которые образуют ортогональную систему функций: Однако наряду с ней существует много других систем ортогональных функций, поэтому в настоящее время любое разложение некоторой функции в ряд по ортогональным функциям называют рядом Фурье. Как мы увидим ниже, некоторые системы ортогональных функций могут быть стохастическими.
Соответствующие ряды Фурье, как выяснилось, играют важную роль в статистическом спектральном анализе. Обратимся, однако, прежде к важным обобщениям„ сделанным французскими математиками Шарлем Штурмом (!803 — 1888) (7) и Жозефом Лнувиллем (1809— 1882) (8) в 30-е годы прошлого века. Мы начнем с краткого рассмотрения теории дифференциальных уравнений, разработанной Штурмом и Лиувиллем. Колебания любого бесконечно длинного правильного кругового цилиндра единичного радиуса можно описать дифференциальным уравнением второго порядка.
Рассмотрим простой случай — дифференциальное уравнение вида и (х) + 1сги(х) О. Зто — так называемое одномерное уравнение Гельмгольца, которое можно получить, применив временнбе преобразование Фурье к волновому уравнению, с которого берет свое начало теория Фурье. В волновом уравнении й — волновое число, которое равно м/с, где сс — угловая частота. В уравнении Гельмгольца й' — некоторый неопределенный параметр. Переменная х представляет собой центральный угол цилиндра, и, следовательно, х меняется в интервале от — н до и. Поскольку точки к= — и и к=п на цилиндре совпадают, должны иметь место два граничных условия и(-л) = и(л), и'(-л) = и'(гг). Общее решение дифференциального уравнения имеет вид и (х) = А сог Зх + В мп )сх. Указанные граничные условия ограничивают выбор параметра й' дискретным рядом значений )сг О )г зг которые называются собственными значениями уравнения Гельмгольца.
Соответствующие решения уравнения, т. е. функции ил(х) = А сов )сх + В ип )сх, называются собственными функциями. Они представляют собой те самые тригонометрические функции— синус и косинус, которые Фурье использовал для построения своих рядов. Собственные функции описывают собственные колебания цилиндра, которые возможны только при указанных дискретных значениях волнового числа ()7=0, 1, 2,...).Таким образом, теория Штурма — Лиувилля дала ответ на вопрос, по. чему Фурье оказался прав, выбрав дискретноемножество синусов и косинусов для решения задачи, выте.
павшей нз волнового уравнения. Но это еще не все. Теория Штурма — Лиувилля пролила дополнительный свет на спектральный анализ и фактически легла в основу спектральной теории дифференциальных уравнений. Следует сказать, что встречающиеся в математической физике задачи о собст- ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ а!н >м он.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
