Робинсон - История развития теории спектрального оценивания (1072101), страница 4
Текст из файла (страница 4)
а- з- ь ф!.(х) фа(х) Ах = О, 1 Ф >с. а Н= — А(х) — +В(х). с)х '( Ах > ь ф>(х),)х = 1, а ь ф> (х) фа(х) с1х = зн,, а Лх) = А сафа(х). >с=! ;ь с> = ~ 1(х) ф> (х) Ах. а ь (ини - иНи) с)х О, а ор ° в>в- ь (ФьНГ- Гнфа)ах=о, а шя >иэ !ф- ре 1 Г сь = ~ Фь(2)р(6) АВ )>ь ь ()>)ф>ф,— Аьфьф>)А =о, а 2' Р м ах м. го и:в. мое Ю ом )с, ца >и>а, до >в- ия авшя :ы- озях пи- ке- венных значениях в большинстве своем связаны с дифференциальными операторами Н вида В физических задачах, которые мы здесь рассматри- ваем, функция А (х) должна быть положительно опре- деленной на заданном интервале. Определим теперь операцию иНи — иНш А иНи — иНи = — [А(х)(ии — ии В.
с>х Очевидно, что правая часть есть полная производная, и, следовательно, ь (ини — иНи) Ах = [А (х)(ии' — ии )] ". а Всякий дифференциальный оператор Н, который допускает преобразование интеграла этого типа (т, е. стоящего здесь в левой части равенства) в выражение, ззвисящее только от граничных значений (приведенное справа), называется самосопряженным, Таким образом, оператор Штурма — Лиувилля Н вЂ” самосопряженный оператор. Во многих случаях граничные условия можно задать так, чтобы правая часть последнего равенства обратилась в нуль; такие граничные условия называются самосопряженными. В результате получается самосопряженная задача, характеризуемая самосопряженным оператором Н и самосопряженными граничными условиями. При этом функции и(х) и о(х) совпадают, что следует из равенства которое называется тождеством Грина.
Задача о собственных значениях, связанная с самосопряженным оператором Н, начинается с задания дифференциального уравнения Нф = Лф. Решение, удовлетворяющее граничным условиям, существует не для всех )>, а лишь для определенного множества значений )>1, которые называются собственными. Зто множество является бесконечным, причем все А! являются действительнымк числами, а их значения с ростом 1 стремятся к бесконечности. Их обычно располагают в порядке возрастания, и в результате получают бесконечную последовательность собственных значений (она называется спеюпром) Л>, Л>, йю и соответствующие собственные функции Ф! Ф> ф> Рассмотрим теперь два разных собственных значения ]с> н Аь и соответствующие им собственные функции ф) н фь.
Подставив и=ф) и о=ф„в тождество Грива, получим откуда следует условие ортогональности Накладывая условие нормировки можно образовать иэ собственных функций ортонорми- рованное множество. Свойство ортонормированности можно записать более компактно в виде где бы — дельта-функция (символ) Кронекера.
Представим теперь произвольную функцию 1(х) в виде бесконечной суммы Как уже говорилось, в честь основополагающей работы Фурье такое разложение названо рядом Фурье. Коэффициенты Фурье с„получаются путем умножения обеих частей равенства па ф (х) и последующего их интегрирования: При определенных условиях общего характера можно показать, что эта ортонормированная система функций является полной, откуда следует, что приведенное выше фурье-разложение действительно сходится к функции 1(х). Допустим теперь, что)(х) есть решение неоднородного дифференциального уравнения НГ(х) = р(х). На языке теории линейных систем р(х) представляет собой входной, а 1(х) — выходной сигнал. Подставим теперь и=) и и=фа в тождество Грина.
В итоге полу- чим откуда следует ь (фар- ГХьфь) Ах = О. а Это уравнение можно записать в виде ь Гь Гфь Ах а А„.), В левой части нетрудно узнатьвыражение для коэф- фициента Фурье с„, Таким образом, ТИИЭР, т. 70, Эа 9, сентябрь 1989 Подставив теперь это выражение в ряд Фурье, полу- чим Г(х) = 2 оофо(х) = ~ р(1) ~ йф Г " фо(х)фо($)1 о 1 а о о Если выражение в скобках обозначить через 6(х, 9), то последнее уравнение запишется в виде гь Дх) = ~ р(6) С(х, 6) йф а Это есть интегральная форма связи входного и вы- ходного сигналов, причем выражение "- фо(х) фо($) 1 л называется импульсной характеристикой или функцией Грини (при заданных граничных условиях) в честь автора этого понятия Джорджа Грина (1793— 1841) [9). Данное уравнение выражает импульсную характеристику линейной системы через ее спектр )оы Хы ).„....
В том что функция Грина действительно представляет собой отклик на импульс, можно убедиться, подав на вход сигнал р(х) в виде импульса 8(х — х,). Выходной сигнал тогда будет равен ь 6($- хо) С(х, $) йй = С(х, хо)а а и, следовательно, С(х, х,) представляет собой выходной сигнал в момент х при воздействии импульса в момент х,. Поскольку дифференциальное уравнение математически моделирует систему с входом и выходом, функция Грина, очевидно, должна удовлетворять условию НС(х,хо)а6(х-хо) Это уравнение показывает, что функция Грина С(х, х,) представляет собой оператор, обратный по отношению к дифференциальному оператору О.
Итак, мы в общих чертах рассмотрели спектральную теорию дифференциальных операторов. Теперь можно перейти к наиболее яркому примеру практического применения спектрального анализа — квантовой механике. ТЕ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ АТОМА (ТЕОРИЯ ШРЙДИНГЕРА) Развитая Штурмом и Лнувиллем теория разложения функций с помощью системы ортогональных функций нашла многочисленные физические приложения в работе лорда Рэлея (1842 †19). С такими разложениями приходится иметь дело во всех задачах, связанных с рассмотрением упругкх колебаний в твердом теле, и в задачах теории звука.
Существенно новый шаг, вошедший в историю физики, был сделан Эрвином Шредингером (1887 — 1961) !)О) в 1928 г., когда он показал, что колебания, происходящие в атоме, можно объяснить с помощью теории Штурма— Лиувнлля. Попробуем объяснить, каким образом волновая механика Шредингера описывает спектральные линии атома. Следует отметить, что за год до Шре- дингера Вернером Гейзенбергом (1901 — 1976) ! 1Н была сформулирована матричная механика, эквивалентная волновой механике. К моменту появления квантовой теории классиче. ская физика зашла в тупик. С позиций классической физики оказалось невозможным объяснить существо.
ванне атомных спектров. Так, например, наличие в спектре натрия яркой желтой линии, открытой Бунзеном, означает, что излучение атомов натрия происходит на дискретной частоте ы,. Если предположить, что эта линия излучается электроном, тогда, согласно законам классической физики, электрон должен был бы излучать не дискретную линию на частоте ы„ а сплошной спектр линий на всех частотах еа без каких-либо разрывов в спектре. Иными словами, классическая физика предсказывает, что спектр электрона должен быть таким же сплошным, как спектр солнечного света. А в то же время Бунзен наблюдал дискретный спектр натрия, о чем свидетельствовала яркая желтая линия. (Немного погодя мы увидим, что линия, наблюдавшаяся Бунзеном, на самом деле представляет собой дублет, который Бунзен не имел воэможности разрешить с помощью имевшихся у него приборов.) Квантовая механика позволяет взглянуть на атом с новой точки зрения.
Как утверждает квантовая механика, электроны в атомах переходят из одного энергетического состояния в другое скачкообразно, пря этом разность энергий передается кванту электромагнитного поля — фотону. Если при таком переходе энергия электрона уменьшается, это означает рождение фотона. Если же энергия электрона возрастает, это означает, что непосредственно перед переходом электрона был поглощен фотон, или квант энергии некоторого стороннего поля, В квантовой механике электрон представлен функцией плотности вероятностей. (Функция плотности вероятностей равна квадрату модуля )ф!о волновой функции вероятности ф.) Вероятность перехода электрона зависит от формы функций плотности вероятностей, которые соответствуют состоянию электрона до и после перехода.
Вероятность перехода, вообще говоря, тем больше, чем больше перекрытие, или взаимопроникновение, этих функций. Законы, которые делят переходы в атомах на более вероятные и менее вероятные, называются правилами отбора. Именно прн таких переходах электронов н рождаются фотоны, которые, попадая в спектрограф, рассортировываются им и образуют спектральные линии. Чем больше фотонов в секунду излучает атом, тем ярче спектральные линии. Если число атомов остается неизменным, яркость спектральных линий зависит от статистической частоты электронных переходов в атомах, которая в свою очередь определяется распределением вероятностей переходов. Этим и объясняется тот факт, что спектр атома состоит из набора линий различной яркости.
Надо сказать, что проблема спектрального оценивания, которой посвящен настоящий тематический выпуск журнала, не играет главной роли в спектральном представлении, с которым приходится иметь дело в квантовой механике. Это обстоятельство бросилось автору в глаза во время работ в Геофизической библиотеке ВВС США, Ханском-Филдс, шт. Массачусетс, — одной нз лучших научных библиотек в мире: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИИ !э (11! анва- снчеюкой ятво«ичне ~ытой ггрия едпоогда, (трон а ча«ах ы вами, электектр ,юдал звала «дим, деле имел него атом я ме- энерпри змаг- ПЛОДЕ ж«де" тает, :одом .ргин >ункасти оной «лек- юятрона обще взаорые «енес «при оны, ются , тем осга- завиюдов рас- шняа ли- гениский шльдело .лось биб:ачу~ире: НР Лф, ~г и= —- 2 дх множество полок в разделе, посвященном «спектрам», было заполнено книгами по каждой из областей в отдельности, но не было среди этих книг ни одной, в которой бы обсуждалась взаимосвязь между обеими абластямн спектральной теории.
Спектральное оценнвание в квантовой механике опирается на фундамент спектроскопии, относящейся к числу экспериментальных наук. В 1891 г. физик А. А. Майкельсон создал интерферометр — прибор, обеспечивающий суперпоэицию светового сигнала с самим собой, но задержанным на определенную величину. В одной нз серий экспериментор Майкельсон ограничил полосу светового сигнала с помощью призмы н затем воспользовался ннтерферометром для измерения видимости суперпознционного сигнала как функции задержки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
