Робинсон - История развития теории спектрального оценивания (1072101), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ботана в 1904 г, М. фон Смолуховским П4) и в более законченной форме — в !905 г. Альбертом Эйнштейном П5). В 1923 г. Норберт Винер Пб) развил математическую теорию броуновского движения, которая в настоящее время составляет основу математической модели белого шума для непрерывного времени. Белым шумом называется стационарный случайный процесс, спектральная плотность которого постоянна. Понятие белого шумового процесса, развитое в теории ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИИ «7 тых еди ерт.
«илнэм: Лс со) «сб(г). ис- фиим дал эксот (ок«не. ных .ых. «ски г, я Лс) а(г) ис. 1 ичется ачеэтам нию что «зыбез мей- ера~ ма- аль- (О, б(с- со) =( сига, с = со, б (с — го) гсс = «. С ГАЯ Лс- со)б(с)и«=у(со). С- 7(с го) ебб ис. вые «ии, ави- еньы в югу «ной не жиный чше «ина нятства тате гран ча«ние изи- зра«лес гей- ате~рая кой .ни. ный «на. рии броуновского движения Эйнштейна и Винера, играет важную роль во всех теоретических работах, посвященных спектральному анализу. На практике любой сигнал имеет определенную длительность и обычно может быть представлен в виде дискретов, которые следуют достаточно часто, обеспечивая адекватность интерполяции.
В этом смысле массив данных, представляющих сигнал, фактически ограничен, а потому нет необходимости иметь дело с непрерывным или бесконечным временем, если только у нас нет на это особого желания или если это не несет какую-то выгоду. Другими словами, до тех пар пока мы имеем дело с конечными интервалами времени, мы не нуждаемся в теории Эйнштейнц— Винера. Теперь, когда читатель знает об этом, приступим к обсуждению самой теории.
Белый шум как непрерывный процесс во времеяи нельзя представить с помощью математических функций обычного типа, встречающихся в математическом анализе. Его можно представить только через так называемые обсбщеннма функции. Наиболее известным примером обобщенной функции может служить болота-функция Дира«и, которую часто определяют следующим образом: Наиболее важным свойством дельта-функции являе«ся ее способность к «просеиванию», т. е. способность выделять или воспроизводить то или иное значение обычной функции с(Г) в соответствии с формулой свертки Если кому-то не нравится работать с обобщенными функциями, можно перейти к интегралам Лебега— Стилтьеса.
Например, ступенчатая функция Хеви- сайда Н(Г) — это обычная функция, равная нулю при )(О и единице при Г)0. С учетом того что г)Н00 = б(г) «сс, приведенная выше формула свертки превращается в интеграл Лебега — Стилтьеса С Лг — с,) ин(г) = г(го), который содержит уже только обычные функции. Возьмем теперь белый шуи, который мы обозначим как а(() н будем рассматривать как обобщенную случайную функцию. Пусть снова с(Г) — обычная функпня. Рассмотрим интеграл свертки Пусть функция Е (Г) представляет собой интеграл от белого шуыа.
Тогда «сй(г) = а(с) гсс. 3 тииэ» а«о Интеграл от белого шума.4'(С) есть обычная случай ная функция, а приведенная выше свертка превра. щается в интеграл Лебега — Стилтьеса Винер в своих работах опирался только на интегралы Лебега — Стилтьеса с обычными фуькциями. Мы же, исходя изчисто инженерных соображений, воспользуемся обычными интегралами, но содержащими обобщенные функции.
Без потери общности в последующих выкладках можно для удобства положить (,=-0. Тогда рассматриваемый интеграл примет вид Пусть Е, как это принято в статистике, означает оператор математического ожидания. Поскольку этот оператор является линейным, его (при выполнении определенных условий регулярности) можно внести под знак интеграла.
Математическое ожидание приведенного выше интеграла будет тогда равно Е ~ Г(г)ай)гй= ~ С(г)Еа(г)ггс. Поскольку математическое ожидание белого шума должно равняться нулю, записываем Еа())=0 и получаем, что последний интеграл равен нулю, Рассмотрим теперь дисперсию, которая определяется выражением г Е Лг) а(г) ис = Е у(с) а(с) ггсо~ у(г) а(г) ит 7(г) Лг) Е(а(т) а(г)) ис йт. Мы подходим теперь к важнейшему моменту в нашем рассмотрении. Нам надо, чтобы белый шум был не коррелнрован в два различных момента времени.
Вместе с тем, для того чтобы последний интеграл не равнялся нулю, необходимо, чтобы дисперсия белого шума имела импульсный характер. Таким образом, главная идея сводится к тому, что коэффициент автокорреляции Е(а(()а(т)) приравнивается 6(à — т), в результате чего интеграл превращается в г(с))(г)бй- г)йсиг= ~ 7»(г)иг. К Итак, можно ввести следующее определение. Обобщенная случайная функция а(() представляет собой белый шум при условии, что Еа(Г)=0 и ЕаЯа(т)= =б(( †). В течение долгого времени такой подход к случайному процессу считался неправильным. Как хорошо известно, дельта-функцию можно с какой угодно точностью аппроксимировать обычными функциями.
Аналогичным образом и белый шум а(() можно с какой угодно точностью аппроксимировать обычными случайными процессами. Поскольку с белым шумом оперируют не иначе как в интегральной форме, рас- Г ч атэс'". 'Я 18 ТННЭР, т. 70, 79 9, еввтибрь 1982 смотрение самого белого шума !южно обойти, если прибегнуть к помощи того же интеграла Лебега— Стнлтьеса, ' который помогает избавиться от рассмотренна дельта-функции Днрака.
Однако, как уже было сказано, мы в своем нзложеннн не будем нользоваться приближением Лебега — Стнлтьеса. Рассмотрим теперь белый шум е(п) для днскретных (целочнсленных) значений временн л. Он уже не будет обобщенным случайным процессом, поскольку «(и) является последовательностью некоррелнрованных случайных величин, математическое ожидание которой равно нулю, а днсперсня является констаятой. Однако фурье-преобразонанне днскретного белого шума есть обобщенный случайный процесс, который мы обозначим как Е(ы).
По определению, Е(ье) = ~ е(и) е гь'и и— Легко показать, что математическое ожидание Е(ев) равно нулю, а коварнацня Е(м) равна Е[е (ш)е(яц =Е2 е(и)е1~" 2 е(1е)е 1ие = и е [Ее(и) е(а)! 71""- е1, Поскольку Еа(л)е(й)=б„, (где б ь — снмвол Кронекера, равный 1 прн л=л н нулю в остальных случаях), имеем Е[Е'( И)Е(иВ = 2 е 1""' 1=2е6(я- ье). Таким образом, козффнцнент автокорреляцнн равен дельта-функцнн Днрака, н мы приходим к важному результату: фурье-преобразованне белого шума прн неограниченном возрастании дискретного времени и представляет собой белый шум непрерывной переменной ы.
(Нетрудно показать, что соответствующий результат получится н для белого шума как функцнн непрерывного времени.) Другнмн словами, фурье-преобразованне сильно нерегулярного (ебелогоь) процесса, зависящего от времени, представляет собой сильно нерегулярный (ебелыйв) процесс, зависящий от частоты. Фурье-преобразование сохраняет инфармацию, не сглаживая (не разрушая) ее. Сегодня этот вывод нзвестен каждому инженеру, но в 1923 г., когда Вннер получил этот результат, он казался поразительным. Винер подобрал ключ к спектральной теорнн самого случайного нз процессов — белого шума, что открыло путь к практическому прнмепспню полученного нм результата для анализа более регулярных процессов, характерных для многих фнзнческнх явленнй. Этот шаг В ннер сделал в 1930 г., создав так называемый обобщенный гармонический аналнз.
Однако, прежде чем перейтн к рассмотренню его развнтня, нам прндется на время отвлечься, обратившись к пионерской работе Юла, выполненной в 1927 г. Тогда она показалась довольно скромной. В то время как большннство математиков н физиков заннмалнсь разработкой общих методов, направленных на прнмененне спектрального анализа к бесконечно большнм н бесконечно малым величинам, Юл создал простую модель с конечным чнслом параметров (т. е. конечно-параметрнческую модель), рассчнтанную на нспользованне спектрального анализа в тех случаях, когда эта мо- дель приемлема, Эта модель Юла получила название авторегресснонного (АР) процесса. !Х.
АВТОРБРРБССИОННЫИ МБТОД СНБКТРАЛЬНОРО ОЦБННВАННН [ОЛА На рубеже ХХ в. сзр Артур Шустер [17! предложнл численный метод спектрального анализа эмпнрнческнх временнйх рядов. Пусть х(п) — общий член временнбго ряда с дискретным (целочнсленным) значеннем времени л. Прн числе наблюдений Ж, когда время пробегает значения от п=! до л=й(, метод Шустера заключается в вычислении периодоераммы Р'(и), имеющей следующий внд: 1 Р(а) = — [х(1) е 1~ ьх(2)е 1~~ + +х(1е) е 1ььч[е, М Предположим, например, что временной ряд представляет собой синусоиду с частотой ы„нскаженную некоторой помехой; тогда пернодограмма будет иметь максимум прн ы=вве.
Таким образом, рассчитав пернодограмму, можно по ее макснмумам определить положенне частот основных сннусондальных процессов. До появлення в 1927 г, работы Юла.(1871 — 1951) [7[8! метод пернодограмм Шустера был едннственным янсленным методом эмпирического спектрального аналнза. К сожалению, большинство временных рядов, наблюдаемых в природе, дают очень неустойчивую пернодограмму, в которой трудно выделять какие-либо максимумы. Это дало Юлу повод к созданию авторегресснонного метода спектрального анализа.
В те годы под змпнрнческнм спектральным аналнзом поннмалн исследование перноднчностей в возмущенных рядах. Главной пракгнческой задачей, стоявшей перед Юлом, было определение спектра временных рядов Вольфа, опнсывавшнх поведение пятен на Солнце. В !927 г. в своей фундаментальной работе, посвященной нсследованню перноднчностей во временнбм ряду, в частности связанном с числом солнечных пятен (чнслом Вольфа), Г. Адни Юл выдвинул для анализа стационарного случайного процесса идею, в основе которой лежала конечно-параметрнческая модель. Еслн взять кривую, описывающую сннусондальную функцню времени, н наложить на ордннату небольшую случайную ошибку (помеху), то это приведет лишь к некоторой потере регулярности; крнвая по- прежнему сохранит заметную на глаз периодичность. Если теперь увеличивать амплнтуду помехи, правая будет становнться все более нерегулярной, а перноднчность все менее явной н в конце концов совсем исчезнет; тем не менее даже прн большом уровне помехи метод пернодограмм Шустера остаегся применнмым н прн достаточно большом числе наблюдений дает возможность весьма точно определять первой н амплитуду основной сннусонды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
