Робинсон - История развития теории спектрального оценивания (1072101), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Юл рассуждал следующнм образом. Пусть с помощью пернодограмм надо проанализировать временной ряд, порождаемый некоторым фнзнческнм явленнем, в котором могут существовать одна нлн несколько перноднчностей. Тогда, подумал Юл, естественней всего будет начать с гипотезы о том, что подлинные периодичности замаскированы только адднтнвным случайным шумом.
Как известно, аддвтнвный случайный шум ннкак не влияет на стационар- ИОТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СПЕКТРАЛЪНОГО ОЦЕНИВАНИЯ «(л) ~ Ь(Ь) а(л - Ь), о-о Ь(п) хл (л+ !) сао о о!сс сао где Л 0,5 !пас, сао =ого!Я[-а,'с/ааа ас). я 3 м Р з. !" Р ные характеристики исходной сииусоидальноА функции нлн функций. Конечно, периодограмма уже сама по себе покажет, правильна лн гипотеза, но, считал Юл, почему бы заранее не принять эту гкпотезу как наиболее вероятную? Поэтому Юл решил в качестве модели воспользоваться системой входа — выхода с обратноА связью.
Зависимость амплитуды колебаниА просюго гармонического маятника с затуханием (в дискретной аппроксимации) может быть представлена однородным разностным уравнением Ь(п)+асЬ(п - 1)+ осЬ(п — 2) = О, Здесь Ь(п) — значение амплитуды и дискретные (целочисленные) моменты времени и. Погрешности иа- блюдениА должны вызывать флюктуации Ь(л), но, рассуждал Юл, усовершенствованием аппаратуры и автоматических методов регистрации результатов погрешности измерений можно практнчесии свести к нулю.
Под действием начального импульса или флюктуации маятник придет в движение, н тогда решение разноетного уравнения даст реакцию на импульсное воздействие (т. е. данг импульсную характеристику). Начальными условиями являются Ь(п)=0 прн п(0 и Ь(0)=!. Характеристическое уравнение, соответствующее данному разностному уравнению, имеет вид й~ оасй+ао О. Из физических соображениА следует, что импульсная характеристика имеет внд затухающих колебаннА, поэтому корни Ес и Е, характеристического урввненвя должны быть комплекснымн с амплнтудоА (модулеи) меньше !.
Это условие эквивалентно условиям а, 1 и 4а, — а,' )О. Решение разностного уравнения, таким образом, имеет вид Затухающее колебание Ь(п) описывает импульсную характеристику, причем е, есть ее основная частота. Ках уже было сказано, Юл вначале исключил нз рассмотрения вносимые погрешности. Но теперь он делает допущение о наличии управляющей функции (входного воздействия) в виде белого шума, который он описывает следующим образом. Предположим, что иы ушли нз комнаты, где стоит наш прибор, а в это время в нее вбежали дети н стали бросать в маятник то с одной, то с другой стороны горох.
Юл утверждает, что движение маятника изменит свой характер, но не под влиянием наложенных фжоктуациА, а под действием управляющего возмущения. В результате н кривая колебаннА будет резко отличатьсн от графика синусоиды с наложенным на нее шумом: она, как жо ни странно, останется весьма гладкой, но зато всилитуда и фаза будут непрерывно меняться, подчхняясь неоднородному разностному уравнению х(л)+асс(л-1)+сох(п-2) а(п), где о (л) — входной сигнал в виде белого шума. Решение этого уравнения имеет вид где Ь(Ь) — приведенная выше импульсная характеристика. Таким образом, Юл создал модель с конечным числом параметров, в качестве которых выступили параметры и, и а, разностного уравнения.
Исходя из эмпирически заданного временнбго ряда х(п), Юл воспользовался для определения этих коэффициентов методом регрессионного анализа. Поскольку при этом используется регрессионная связь х(п) со своей собст- венноА предысторией, а не с другими переменнымн, такой процесс можно назвать саморегрессиеА или авпораграссиай. В обычные уравнения, применяемые в методе наименьших квадратов, входят эмпирические коэффициенты автокорреляцнн временных рядов, поэтому в настоящее время зги уравнения называют уравнениями Юла †Уоке.
Юл применил свой авторегресснонныА метод анализа к числу солнечных пятен (числам Вольфа), которое представляет собоА последовательность ежегодно наблюдаемых значений числа солнечных пятен. Взяв значения этого числа за период с 1749 по 1924 г., Юл построил уравнение авторегрессни (с исключенным средним) х(п)- 1,34254х(п- 1)+0,65504х(л- 2) а(л), откуда он получил Л ОД 1п 0,65504 -0,21154, сао = 33,963~(гоз. Таким образом, главный период равен 36(У'/в "' =10,60 лет. Юл считал свой метод авторегресснн лишь одним нз способов оценки спектра, нспользуемыы взамен периодограмм Шустера.
Однако в деАствнтельиости авторегрессиокная модель Юла позволяет получить оценку не только энергетнческого, но н амплитудно-фазового спектра 1 и о который длн числа солнечных пятен имеет вид В(е) 1 ! — 1,34254 с "' + 0,65504 с Модуль ) В(в)! н фаза 6(в) связаны уравнением в (е) ! В (сд)! с/о(е). Энергетическая спектральная плотность равна квад- 1 ° . агу амплнтудноА спектральной плотности, т. е.
В(е)) '. Максимум спектра блкзок к основной частоте во=33,963'/год. Если не считать раэведочноА геофизики (19, 20), где амплитудно-фазовыА спектр Юла В(е) физически представляет спектр сейсмоимпульса с мнннмальноА задержкоА, до начала 60-х годов юлов- скиА меюд спектрального оценнвання почти не находил применения. ТИИЗР, т. ?О, )Ч« 9, сентябрь !982 Х. ОВОЕЩЕННЫИ ГАРМОНИЧЕСЕИИ АНАЛИЗ ВИНЕРА В 1930 г. Норберт Винер !2!1 опубликовал классическую работу Обобщенный гармонический анализ, иоторую он сам считал своей лучшей работой. Во введении к ней он писал, что толчком к ее созданию послужили результаты, полученные в оптине, особенно работы Рэлея и Шустера, Однако, как показал Винер, область применения обобщенного гармонического анализа выходит далеко за рамки оптики.
Полученные им результаты включали в себя точное определение корреляционной функции и спектральной плотности и выявление связи между ними. Теорема о том, что эти две функции связаны преобразованием Фурье, известна в настоящее время под названием теоремы Винера— Хинчина !221. Следует заметить, что такой фундаментальный факт, как существование спектральной плотности, вытекает из свойств положительно определенных функций. Теорема Бохнера о спектральном представлении ноложительно определенных функций дает единую математическую трактовку спектральных теорий в гильбертовом пространстве и в стационарных временных рядах.
В 50-х годах автор настоящей статьи в беседах с проф. Винером несколько раз затрагивал вопрос о том, почему работа Винера 1930 г. в то время не нашла признания у математиков н не применялась имн. Как и в других случаях, Винер смотрел на историю, как н на все другое, совершенно объективно, со свойственной ему заботой о людях и любовью к ннм. Оглядываясь назад, будет, наверное, правильным сказать, что ученый мир сумел по-настоящему понять общий замысел и следствия из работ Винера только после выхода в свет в 1948 г, его Кибернетики (231, а также открытого отчета Временныг ряды (! 949И24!.
Мировоззрение Винера, его огромное личное обаяние хорошо иллюстрирует следующий отрывок из книги Интеграл Фурье 1251, вышедшей в 1933 гл С физической точки зрения это есть ие что ииае, хэи иолиэи эиергии той доли колебаний, которая ээхлюхеиэ э заданиоы интервале. На, иасиольиу оиэ аиределэет рэсиределеиие эиергии и спектре, ее можно кратко назвать «сиектроы». Автор ие видит никакой иеобходиыаьти избегать физической терминологии э чистой математике, коль скоро то или иное ыэтемэтичесиое иаиитие тесно смыкается с понятием, уже известным э физике. При поиске термина дли аиисэиии идеи, еще иеэиэкомой чистын математикам, ио всех отиошеииих будет лучше, если ыы атиэжеыси от ненужного дублирования и эасоальэуеыси уже бытующим ее иэииеиоээиием.
Термин «соектр» в этой кииге ариэиэи эырээить то самое оаиитие, которое уже известно физикам и которое могло бы поэтому войти иод теы х«е названием. Определим теперь понятие стационарного случайного процесса. При этом оперировать можно как дискретным, так и непрерывным временем, но мы для удобства воспользуемся дискретным (целочисленным) временем л.
Обозначим рассматриваемый процесс через х (и) и будем считать, что его математическое ожидание равно нулю. Такой процесс (второго порядка) называется стационарным, если его ковариационная функция ф(1«) =Ех (и)х(л+ й) зависит только от временнбго (корреляционного) сдвига й. Здесь, как обычно, звездочка означает комплексно-сопряженное. Нормированную ковариацион- ную (ац1осоуаг!апсе) функцию называют корреляционной функцией.
Однако Винер, как правило, называл функцию «корреляционной» (ап(осогге!а1!оп) независимо от того, нормирована она или нет. Нам все же кажется, что неудобно пользоваться термином «корреляционныйэ в двух разных значениях. В соответствующих случаях лучше употреблять термин «(авто)ковариационныйж Белый шум представляет собой стационарный процесс. Для непрерывного времени корреляционной функцией белого шума служит 6(!) (дельта-функция Дирака), тогда как в случае дискретного времени корреляционной функцией является 6, (дельта Кронекера).
Как мы уже видели, фурье-преобразование Е(ш) белого шума как функции времени является белым шумом и в частотной области, т. е. корреляционная функция в частотной области есть дельта- функция Дирака ЕЕ~(а») Е(ь»+Н) = 2ттб(р). Проблемы, с которыми в первой половине нашего века сталкивались экспериментаторы, работавшие в области спектрального анализа, были связаны главным образом с периодограммами Шустера. Шустер ввел это понятие в самом начале века, и до работы Юла 1927 года метод Шустера оставался единственной практической возможностью для проведения эмпирического спектрального анализа. Предположим, что наблюдается стационарный случайный процесс, при.
чем время наблюдения очень велико, и в результате получается временной ряд х(п), л=1, 2, ..., А?, где «У вЂ” очень большое число. Шустер рассчитывал периодограмму Р(ь») = — 1Х(ь»)!х, 1 А« где Х(ю) — дискретное преобразование Фурье и Х(а») = 2 х(л) е )ыл. (Здесь Ь(й) играет роль импульсной характеристики фильтра, белый шум е(л) — роль сигнала на входе фильтра, а стационарный процесс х(л) — роль вы.
ходного сигнала фильтра.) А для такого процесса пернодограмма Шустера Р(ш) носит сильно нерегулярный характер, и нередко ее бывает нелегко интерпретировать. Вот почему эмпирический спектральный анализ зашел в тупик. Методы, бывшие извест- (В наше время Х(та) можно вычислить очень быстро с помощью быстрого преобразования Фурье, предложенного Кули и Тычки, однако в то время вычисление Х(ш) было очень сложной задачей.) В том случае, когда стационарный процесс состоит из синусоидальных колебаний, на которые наложен белый шум, периодограмма оказывается эффективным сред- ( ством выявления дискретных частот синусоид. Однако чисто недетерминированный стационарный процесс представляется формулой свертки (связывающей входной и выходной сигналы) 1 1 ! х(л) = 2 Ь(1«) е(л — й). и-о 1 1 т 1 ! 1 1 ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СНЕКТРАЛЪНОГО ОЦЕНИВАНИЯ 2) о ~е 'р ~а ;о «е с о- еУ У «й д 'д- о- ей ки де ыса 'у 'Р )ь:т- 1 Г" х(») — / е)~"Х(«о) Ыш, зл~ инин, в 1930 г., как правило, не позволялн аналнзи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
