Робинсон - История развития теории спектрального оценивания, страница 10

пнрическому достижению всех времен — фнзнче. ским результатам спектрального оценнвания, поэ валившим раскрыть загадку атома. Заслуга в полу. ченни этого результата принадлежит Гейзенбергу и Шредннгеру, опубликовавшим свои работы соотвег. ственно в 1925 н 1926 г. Вслед за тем, в 1929 г., работз Неймана, с ее теоремой о спектральном представлении, поставила спектральную теорию атома на прочный математический фундамент. Эта работа венчает собой данное направление исследований в квантовой фнзн. ке. Вместе с тем еще в начале ХХ в.

Рэлей и Шусте) попробовали применить старые методы Фурье, оо нованные на применении сннусондальных функций, и анализу данныд в рамках классической физики. Од. пако аппарат пернодограмм Шустера не давал удовлетворительных результатов в случае чисто недегерминированных случайных процессов, что привело Юлз в 1927 г. к созданию спектральной теории для под. класса так называемых авторегресснонных процессов. Примерно тогда же (точнее, в 1923 г.) Винер разработи математическую теорию броуновского движения, а в 1930 г. предложил обобщенный гармонический ана. лиз, иными словами спектральное представление стэ цнонарного случайного процесса. Таким образом, в !930 г. сосуществовали две спектральные теории, одн) нз которых представляла теорема о спектральном пред.

ставленнн Неймана, а другую — теорема о спектраль ном представлении Винера. В этом разделе мы соби. рвемся — разумеется, с позиций сегодняшнего дня— показать связь между спектральными теориями Ней мана и Винера, Общей почвой обеих теорий служит гнльбертовз пространство, Как мы уже видели, результат, полу. ченный Нейманом,— это спектральное представлениг эрмнтова оператора О в гнльбертовом пространстве.

Уравнение Шредингера записано с помощью эрмитовз оператора; этим уравнением определяется спектй атомов н молекул. Но забудем на время это н рассмо. трим другое гильбертово пространство, которое апре. деляется вероятностной мерой, служащей фундамен тальной характеристикой ннтересукнцего нас стацно. парного случайного процесса. Как известно, гильбер. тово пространство определяется внутренним (или ска. парным) произведением, Элементами гильбертова про.

сгранства являются случайные переменные, скалярноз произведение определяется как математическое ожи. дание; (звездочка означает комплексно-сопряженное). В этом гнльбертовом пространстве стационарный процесс оп. ределен следующим образом. (Мы будем пользоваться дискретным (целочнсленным) временем и, но следует иметь в виду, что такое же определение можно сформу.

лнровать н в случае непрерывного времени.) После. довательность случайных переменных х(п) в гнльбер. с г г т с Г н в з с С п с п о т $ т в г В п й в ц с о 7( ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ (Г (л) = х (л + П, откуда г" (> = — ~ е)" Що>) ба>, 2к ) >тово юлу>ение сгве. чуева >ектр ссмо- опре- аменацио. ьбер> ска- ~ прочрное ожи- получаем 1 Г" ( л ) 1 г / ~ л ) ( ( го ) Л 2яз, этом >с опаться юдует орму(осле>ьбер- вав- еле>а и сле>там ~ на что эм- иче- позах)- .у и гветбота нии, >ный обой >изистер ос>й, к Од>дав- етерЮла подссов.

ютал а в ана- ста>м, в одну >ред>аль- обвеяв Ней. тоном пространстве называется стпционаряым случайным процессом, если его корреляционная функция ф(д) = (х(л), х(л + /с)) зависит только от временного сдвига )г, но не от абсолютного значения времени к. Такое определение предполагает, что элементы х(л) рассматриваемого процесса получаются с помощью унитарного оператора согласно рекуррентной формуле х(л+д) () х(л). Поскольку унитарный оператор описывает вращение в исходном пространстве, то, как мы видим стационарный случайный процесс описынает спираль (так называемую еилероаскую спираль) в гильбертовом пространстве. Теперь мы подходим к искомой связи.

Она гласит, что в применении к эрмнтову оператору преобразование Кейли — Мебиуса 128) представляет собой унитарное преобразование, т. е, в гильбертовом пространстве имеет место взаимно однозначное соответствие между эрмитовыми и унит(>рными операторамн. В самом деле, спектральное, представление Неймана введено для эрмитова оператора.

Если к эринтову оператору применить преобразование Кейлн — Мебиуса, то получится соответствующее спектральное представление для унитарного оператора (), которое имеет вид где %(ю) представляет семейство проекционных опеатаров н является функцией угловой частоты ш. аким образом, наш процесс имеет следующее представление: ыл х(л) = Олх(0) = — ~ е)~"Ыь>) х(0) ба>. 2в3, Вводя обозначение В(ш) х(о) = у(~), Аэто — уже известная нам формула Винера, лежащая в основе его обобщенного гармонического анализа пропессов.

Таким образом, мы установили искомую связь: оба спектральных представления связаны преобразованием Кейли — Мебиуса. ДП, ТЕОРИЯ ПРЕДСКАЗАНИЯ ВИНЕРА — ЛЕВИНСОНА Еще в 1940 г. Винер был привлечен к участию в ра- ботах МТИ по оборонной тематике, в частности 'к разработке установки для управления огнем зенитной зртвллерии. Задача состояла в том, чтобы ввести в систему управления орудием механическое устройство, которое бы позволяло осуществлять автоматическое упрзваенне им. Задача эта на самом деле распадалась на две части; математическую часть, которая заключалась в предсказании координат самолета на основании данных наблюдений о его предшествующих координатах, и техническую часть, которая заключалась в реализации математического решения в виде физического устройства.

Понимая, что создать технически совершенный универсальный предсказатель невозможно, Винер сформулировал поставленную математическую задачу на статистической основе. Он ввел понятие оптимального фильтра предсказания, который, по определению, должен обеспечивать минимум среднеквадратичной ошибки предсказания. Задача минимизации приводит к интегральному уравнению Винера — Хопфа, которым и завершается математическан часть задачи.

Что касается технической задачи, то Винер сразу же понял, что можно создать устройство, которое будет реализовывать решение уравнения Винера — Хопфа. Как утверждает Винер в своей автобиографии [291 (с. 233), «Оказалось, что решение, найденное нами на бумаге, нетрудно реализовать в металле. Для этого нужно было только собрать простенькую схему из индуктивностей, сопротивлений и конденсаторов и подключить к ией электромоторчик, который можно купить у любой приборостроительной фирмыж Математические результаты Винера (24) были опубликованы в 1942 г.

в секретном отчете отдела 02 Национального комитета оборонных исследований. Этот отчет и был той самой знаменитой книгой Винера Времгинйг ряды, которую мы уже упоминали. Полное ее название гласит: Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных бремгкнйх рядов, включая тгхкичгскиг приложения.

В 1949 г. она была переиздана в Кеймбридже издательством М1Т Ргезз уже без служебного грифа. Если появление винеровского еобобщениого гармонического анализа> сначала прошло незамеченным, то книга Вргмгнлйг ряды, написанная более понятным языком, сразу оказала свое влияние на тех, кто имел к ней доступ в 1942 г., а в 1949 г.— и на широкую научную общественность. Как мы сейчас увидим, большая заслуга в распространении идей Винера принадлежит его бывшему студенту, а впоследствии коллеге проф.

Н. Левннсону. Первый личный контакт Левинсона с Винером относится к 1933/34 учебному году, когда Винер читал курс по рядам и интегралам фурье. Вот как говорил об этом Левинсон: Я познакомился с Внверам в сентябре 1933 г. еще студентам арездоследнего курса злектратехвнческага факультете, когда я записался из его курс для выпускников. Фзктнчтскн ьта был саылвар. Па сравнению с друглмн прааадзвзттллмн, ведшими текле же курсы, ан больше другах умел разбудлть у своих слушвпыаа мысль, фзктлчтскл лв доске в зудвторнн он лравадлл свои нсследавзвля.

Клк талька я лака>ел, чта качал чта-то понимать во всех ега выклздках, Винер вручил мле дал лрасмагрз рукопись Педлв— Вивера. В одном нз доказательств я абнзружнл неласлада. ввттльнасть н, чтобы устрвкять ее, доказал лемму. Уввдев зта, Винер сел зз лншущую машинку, напечатал маю лемму, простзвлл лз рукописи мае нмл н атлрввнл ее в редакцию адлага журнзла. Не часто знаменитые профессора выступают в роли секретвред молодых студевтав. Динамичный, блестящий математик и обаятельный, сердечный человек, Н.

Левинсон выполнил целый ряд важных работ в области технических и прикладных наук, не потерявших своего значения н в наши днн. Теорема Левинсона в квантовой механике служит ТИИПР, т. 70, № 9, сеятябр» 2982 наглядным подтверждением его умения улавливать связь между физическими понятиями и математическим аппаратом.