Воробьёв В.И., Бабич А.В., Жуков К.П., Попов С.А., Семин Ю.И. - Механика промышленных роботов, страница 48

После преобразований получим линейную систему урез пений движения вида (7,3В) )) = 0,9+ С,9 = В,Ф+/„ 326 Компоненты вектора /'3 в (7.33) являются однородными квадратичными формами от Ф с коэффициентами, завися. щнми от 3р: 1! — П31!!3?! сОв 3Р2 + л312 (3Р! + 3Р2) + тГ(3Р1 + 3рг + 3рз) сов фг 12 — в3!!ф1 в!П ф2 + ГПГ(3Р! + 3Р2 + фв) 21П 3РЗ ' (736) /з = — тг!гф! в!О(фг + фз) — тт12(фг+ 'Рг) вш'Рз. Интегрирование системы на ЭВМ иа интервале (О, 21 при улевых начальных условиях х(0) = у(0) = х(0) = у(0) = Ф(0) = Ф (0) = 0 показало, что движение груза носит коле- ательный характер, а частота колебаний груза заметно изменяется с изменением угла ф,. Построим динамическую модель для анализа пространственных колебаний двухзвенного манипулятора с тремя степенями свободы, звенья которого одинаковой длины, но различной жесткости (рис.

7.5). В шарнире 0 вращение роисходнт относительно двух осей, задаваемых соответственно ортами е, и е„ в шарнире О, вращение происходит округ оси, параллельной орту ег. Ках и раньше, груз считаем точечной массой, а звенья манипулятора представляем в виде однородных прямоливейньтх упругих стержней кольцевого поперечного сечения, испьгтывающих деформации изгиба и кручения. Упругие смещения точек манипулятора и груза считаем малыми по сравнению с длиной звеньев.

Последнее допущение позволяет пользоваться линейной теорией деформирования упругих стержней. Углы поворота звеньев манипулятора в шарнирах О и О, обозначим соответственно а„ая а,. Введем неподвижную прямоугольную систему координат Охуг, ось 2 которой направлена по неподвижной оси шарнира 0 — орту е,; ось ВРащения звена 1, определяемая ортом ег, лежит в плоскости Оху и образует угол а, с осью х. Через а, обозначим угол между касательной к стержню 00, в точке 0 я осью г, через а, — угол между касательными к стержням 00! и 0,0, в точке 03. Кинематика манипулятора с такой кинематнческой схемой определяется выражениями хо = 1 яп а, (яп аг + яп (аг + аз)1; уо = — 1 сов а, (в?п аг + яп (аг + аз)1 зо = 1 [соз йз + соз (й, + !хз)), ГДЕ ХО, Уо, 2« — КООРДинаты груза В нЕПОДВИЖНОН СИСГ М координат. стем Прн заданных координатах груза обобщенные коор оордн наты манипулятора определяются соотношениями й, = — агсзд(хо/уо) при уо ( О, Й, = л — агсзй(хо/уо)' йз = + 2агссоз [(4 + уо + 4) и'/(2))); Й, = агс!я [(х' + у')'!'/2« — йз/2) прн 2« > 0; Йз = я+ агс15 [(хзо+ уоз)1!2/зо) — Йз/2 при 2« (О.

В дальнейшем для анализа потребуется еще подвижная система координат Озх'у'2'. Ось 2' этой системы направлено вдоль осн звена 0102 в недеформированном состоянии, а ось х' параллельна оси вращения, заданной ортом е,. Между проекциями вектора й в системах Озхуз н Озх'у'2' связь устанавливается в следующем виде: 3 =И«; «,= ~ и,вт где и' — столбец проекций вектора й в системе Озх'»гз'; и — столбец проекций вектора й в системе Озхуз; »2(й)— матрица третьего порядка, имеющая вид СО5 Й, 51П й, )'(й) = — 5!П й1 СО5 (Йз + йз) СО5 Й1 Соз (Й2 + ЙЗ) -+ 51П йз 51П (йз + йз) -51П Й15!П(йз + йз) 0 -+ 51П (йз + йз) Соз (Й2 + !ХЗ) Решим сначала задачу о собственных колебаниях манн. пулятора [13).

Обозначим й,(5) вектор упругого смещения точек оси !-го стержня, !р, (5) — угол поворота сечения 1-го стержня вокруг его оси при кручении (1 = 1, 2). Потенциальная энергия манипулятора где /!! — орт оси 1-го звена в недеформированном состоянии двухзвенника; г, — вектор смещения точки Об О!— вектор упругого поворота конца первого звена; г; = = [х„ у„ 21)', гз = [х, у, 2)", (12 — — [О, 1, О)'; /1, = = 10, соз!р, -51п 1р)'; О, = [й, р, 7)'( буква «т» означает трзнспонирование).

С учетом граничных условий функции й, (5) и йз (5) имеют внд "Ь .з "Ф «,(5) = (Зг, — Й, х )1,)(5/))2+ (10, х /1, — 2г,)(з/03; «2(з) = 0,5(гз — р! — (О х «2)(3 — 5/0(5/0~; (7.40) Е1(5) =~1 «!(5/)); Рз(5) =О. Подставляя выражения (7АО) в (7.39), получим потенпиальную энергию двухзвенника в виде 11 = - —" ,[Зг', — 3(г! (О х «1) + 12 (31 х «) ) + —" фз. «1)2 + + (гз — гз — 1н, х !12) . (7.41) Исключим векторы р! и яе! Пз последнего выражения: д)7 дП дх, дО, ' « = О; (.-, — 21) «, = О. (7.43) (7,42) десь штрихами обозначены производные по 3; Р! — модуль Одольной упругости материала 1-го стержня;  — момент „„ерцин сечения Ыго стержня; а — жесткость 1-го стержня.

В задаче о собственных колебаниях можно считать ма,пулятор жестко заделанным в точке О, а звено 2— естко соелиненным со звеном 1 в точке О!. Тогда граничые условия могут быть записаны в виде 1«(3) = О' «,(О) = и,'(0) = 1р!(0) = 0; «1(() = 21,' «1(!1 = О1 х «1 «2(1) = !'2 г1 о х «21,' «2((»=0' ф, ()) = О «; !р', (Р) = О, (7,39) 328 329 2 ! ! П= '7 [«,-(5)) йз+ — ' [„,(5)2,Ь. 1=1 о о Формулы (7.42) выражают условие минимума потен"нальной энергии, формулы (7.43) — условие нерастяжнмости стержней.

Используя выражение потенциальной энергии двухзве ника и условия (7.42) и (7.43), можно получить следующ„ две системы уравнений в компонентах. Первая свет уравнений содержит переменные, описывающие деформац двухзвенника в плоскости 00,0з, и имеет вид узсояф — гзяшф=О; у — У,=О; 2Е,1,Г [2йх — 3 (г, соя ф — у, ап ф)] + + ЗЕг1г! г(Ьх — г — г,) = 0; 2Е,1, [2х, + 1(В ап ф + У соз ф)] — Ег1г (х — х з + УО = 0„' 2Е1, [Зх, ап ф+ 2! [б — соя ф(б соя ф — уапф)]) + + сз!(Осояф — уз)пф) соя ф = О. Последние две системы позволяют выразить величины хо у„г„и, )), у через х, у, г, тогда выражение по. тенциальной энергии (7.41) получит вид П = 0,5 (сг, Р); г = [х, у, г]'; с = )с (с,г) (к, ! = 1, 2, 3); с„=(4р, + 3)(Зф", 'яшгф+ 1, + Зсоягф+ Зсояф+ 1) '; с„= 4 (3 + ~ + 3 соя ф + соя' ф)/яш ф; сгг — — с,г — — — 2(3+ 2сояф)/апф; сзз — — 4; !г = ЗЕ,1з/[ ! (4ч + 3)]; 1 = Ез1з/(Ег1 г); ч = сз/(Ег1г).

Кинетическая энергия системы при принятых допущенюп есть кинетическая энергия материальной точки — груза мя нипулятора: 7'= 0,5 (Аг, г); г = [х, у, г]'; А = «зЕ, где Š— единичная матрица. уравнение Лагранжа для данной системы представляет систему трех линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами А'г + Сг = О. (7,44) Частное решение системы имеет вид Вторая система содержит компоненты векторов г„б„гг, описывающих деформацию двухзвенника в направлении, перпендикулярном плоскости 00,0г, и имеет вид 2Е,1, (Зх, соя ф + 21[у+ апф(рсояф — уапф)])— — с,!язп ф(б соя ф — уап ф) + ЗЕз1г(у1+ х — х,) = О.

(7.45) г) = Ьап(аг+ ф), де Ь вЂ” амплитудный вектор; а — частота; ф — начальная аза. Подставив (7.45) в (7.44), получим систему линейных Уравнений относительно Ь; — » А)Ь=О. риравнивая нулю определитель системы, получим харакеристические уравнения в виде „вЂ” тгвз) [взгазз — (с г + сзз) взазз+ сггсзз — сгзсзг) = О, вз которых определяются частоты малых колебаний г ЗЕ,1, ег = [3~ зР,апгф+ ~+ 3соягф+ 3сояф+ 1] а1, з — — з (Ц+ 4+ Зсоя ф + [р+ (3 + 2соя ф)г я)пг ф]ззг) '; 6Ез1, р= (3+ ~+ Зсояф+ соя2ф)г; колебания с частотой аз происходят в направлении, перпендикулярном плоскости двухзвенника, колебания с частотами ш, и аз — в плоскости недеформироваиного двухзвенника.

7.4. Асимптотический метод в динамике упругик монипупиторов Изложим подход к исследованию динамики упругих манипуляторов, основанный на применении асимптотического метода [22), Рассмотрим манипулятор, состоящий из в упругих звеньев и имеющий Ь! степеней свободы с жестким грузом в схвате. Относительные перемещения звеньев в кинемати- ческих парах обозначим через а = [ап и„..., и,г]'.

Деформации упругих звеньев в процессе движения будем считать малыми, тогда кинематика упругого манипулятора будет определяться соотношениями р =/'(а) + х; х = [х,, ..., х„]', "Ле 4 = [4„..., 4„]' — обобщенные координаты груза (в— число степеней свободы груза) для системы с жесткими звеньями 4 =/(и); х — малый по сравнению с 1 вектор Упругих смещений груза. Здесь Д = (9, 9, с) = (Дс, ..., Д„) — вектор внешних обобщенных сил, действующих на груз; г(а) = [д/;(а)/даД вЂ” якобиая; М = (М,, ..., Мл) — вектоР моментов пРиводов в сцаРннРах Исключая вектор С(а) х из уравнений (7.46) и (7.47), получим (с) . д М = Г' (а) ~ — [А(9) Я вЂ” 0,5 — [А (9) 9, 9 — Д(9, 9, с).

(748) [дс дя Это соотношение справедливо также и для жесткого ма' ннпулятора. Так как вектор х мал, а значения М и Г конечны матрица жесткости велика. Поэтому можно ввести малый параметр е следующим образом. Положим С(а)=е К(а), х=я Х; е~(1, (7,49) 332 Если массу манипулятора можно считать малой сравнению с массой груза, то собственные упругие коле. бання груза можно разбить на две группы. Частоты пер. вой группы будут порядка (со/»с)п', а второй группы порядка (со/шо)пс, где со — некоторая характерная жесткост манипулятора; »со — масса манипулятора; щ — масса груза Число собственных форм колебаний первой грунин равно л — числу степеней свободы груза, а их частоты значительно ниже, чем второй группы.

Колебания второя группы ввиду их высокой частоты затухают значительно быстрее. Кроме того, перемещения груза при этих колеба. ниах малы, поэтому ниже мы их рассматривать не будем, При этих допущениях кинетическую и потенциальную энер.

гию манипулятора с грузом можно записать так: Т = 0,5 [А (9) 9„91; П = 0,5 [с (а) х, хД. Здесь А (с)), С (сс) — симметрические положительно-определенные матрицы. Кинематическая энергия Т в этих выражениях с учетом допущения»со <»с включает лшпь кинетическую энергию груза б. Потенциальная энергия П ессь энергия малых упругих деформаций манипулятора в состоя. нни равновесия прн заданных углах а, определяющих его конфигурацию как жесткой системы, и заданных упругих перемещениях х.