Воробьёв В.И., Бабич А.В., Жуков К.П., Попов С.А., Семин Ю.И. - Механика промышленных роботов, страница 47

7.5 жесткая модель показана тонкими линиями. Найдем функции Лагранжа для данной системы. Для определения потенциальной энергии упругого двухзвенного манипулятора используем Формулу для потенциальной упругой энергии прямолинейного однородного стерж"я длиной 1. Сечение стержня з считаем кольцевым или круговым. Пусть один конец (левый) стержня жестко заделан, а на другом заданы я вектор упругого смещения б х и вектор поворота к(э. Стержень находится в равно- Ряс. 7.5 321 Механика ороыышо. робохоо, «и. 3 весии. Обозначим через й(з) вектор упругого смещен нейтральной осн стержня, а через ср(з) — угол поворот сечения стержня вокруг оси (здесь аргумент з — длила стержня, отсчитываемая от его левого конца, 0< зчр р, Потенциальная упругая энергия деформированного стерг ! ! П = ~ [и" (з)]г с)з + ]! [ср (з)]г с)з 2~ 2] о о (7.20) Здесь штрихами обозначены производные по з; Š— модуль продольной упругости материала стержня; 1 — момент ивер.

цни сечения стержня; с — жесткость стержнв на кручение, Функции и (з) и ср (з) в квазистатическом приближеавв удовлетворяют граничным условиям: и'"(з) = 0; ср" (з) = 0; и(0) = и'(0) = ср(0) =0; и (1) = К; и' ()) = Ф Х; ср (1) = сР )с, [7.2!) ч где 1с — единичный вектор, направленный по оси стержая в недеформированном состоянии. Подставляя в соотношение (7.20) решение краевой залачи (7.2!), равное й (з) = (Зй — 1с1с х )с) (з/1)'+ (1ср х /с — 2К) (з/1)з; ф() =Ф Х(/)), (7.22) получим потенциальную энергию упругого стержня в вяло Г .+ 2Е! Г К К ч ч ч 1! с П = — 3 — — 3 — (Ф х й) + (Ф х /с)г -Ь вЂ” (Ф й)г. 1г 21 (7.23) (7,24) '+ '+о ч Кг — Кг о= Кг — К, — Ф, х 1~1и Обозначим: к — орт, направленный по оси /-го стержгвс ! + ч в недеформированном состоянии; Кл Ф, — векторы смеше ния и поворота конца /-го стержня относительно недефор' миРованной конфигУРации (/= 1, 2); ко — оРт, пеРпенпикУ- лярный )сг и лежащий в плоскости Оху (рис.

7.5) Жес)кое смегцение конца второго стержня (точки Ог) Кг = = К, + Ф х /сг1г. Упругое смещение и вектор упругого по' ворота конца второго стержня запишутся так: Составим уравнение потенциальной энергии двухзвен„ка, пользуясь формулой (7.23) и подставляя в нее вместо Яи Ф вектоРы К,, Ф, длЯ пеРвого стеРжнЯ и вектоРы К,, ф для второго стержня. Получим г П = П, + Пг = 2Е,1,1, ' [ЗКг!, — ЗК,(Ф, х /с!)1, ' + ч ч '+ ч ч ч 4.

(Ф, х /с!)~]+ 0,5с,(Ф, )с!)г1, ' + 2Е1,1, ' (З(К вЂ” К, — Ф, х + ч х йг(г) )г ' — 3 (Кг — К, — Ф х )сг1г) [(Фг Ф,) х /сг] 1г ' + +[(Фг — Ф!) х)сг]') +0,5сг[(Ф, — Ф,)/сг]'1,'. (7.25) Здесь 1! (1 = 1,2) — длины звеньев манипулятора; с! (/ = 1, 2)- жесткости звеньев на изгиб; )с! (/ = 1, 2) — жесткости звеньев на кручение. Когкдый иэ векторов Кг, Фг представим в виде суммы двух векторов, один из которых, помеченный одним штрихом, лежит в плоскости недеформированного манипулятора Оху, а второй, помеченный двумя штрихами, перпендикулярен этой плоскости: Кг = К„'+ К!', Фг = Фг+ Ф!'.

Подстав!с!с формулы (7.26) в (7.25). Отметим, что векторы вида Ф,' х )с направлен!5 перпендикулярно плоскости Оху, а векторы вила Ф! х )с лежат в этой плоскости (1, р = 1, 2), Представим потенциальную энергию в виде суммы двух слагаемых: П', соответствующей движениям в плоскости Оху, и П", соответствующей движениям в плоскости, перпендикулярной плоскости Оху. Имеем П' = 2Е,1,1, ' [З(Кг)г1, г — 31 'К', (сд" х !с!) + (Ф! х )с!)г] + + 2Ег!г1, ' — (31г (Кг — К', — Ф( х !сг1г) 31з (Кг Ф! х /сг1г) [(4г — Ф",) х )сг] + [срг — Ф",) х гсг] ) (7.27) [выражение для второго слагаемого П" здесь не приводим, так как ниже рассматриваются только плоские колебания (в плоскости Оху)], Потенциальную энергию П' (7.27) можно представить как квадратичную форму от шести скйляйных переменных: проекций х„у, вектора Й! на орты /сг, )со, проекций х, у вектора К', на те же орты и величин Ф", и с6г.

Из этух шести переменных можно исключить величины х„у„фг, используя условия К!.й! =0; (К', — К!)3г = 0; дП/дФ", = О. (7.28) Первые два равенства (7.28) есть условия нерастяжнмости 323 322 г!' где [(т) — Рсовфз)2+4Р(т) 4- сов ф)2]/(Р, в!из ф ) — [Зт) + (4 + ~) сов фз]/5!и фз [т) + (2+ Ц) соя фз]ялп фз ЗЕ/ 12 (1 + ч) — [32) + (4+ Ц) соа фз]/взп ф, [т) + (2+ Ясов фз]/5)пфз 4+Р, — (2+ 9) -(2+ 9) 4/3+ ч ч» = Е 7211/Е )А * 'т) = 12/11. Здесь 9 — вектор обобщенных координат, определяющий вместе с углами ф„ф„фз положение груза. Отметим, что матрица С зависит только от угла фз.

Кинетическая энергия системы в силу сделанных предположений есть кинетическая энергия плоского движения груза Р и равна Т= 05шг~т + 052 (ф1 + фз + фз + ф)', (7.30) где т — масса груза,,7 — центральный момент инерции грузя о~носительно оси, перпендикулярной плоскости Оху; гс радиус-вектор проекции центра инерции груза Р на плов кость Оху. Обозначая 020 = г, представим проекции ве" тара ГС на плоскость Оху в виде (угол ф исключен ввиду его малости) 324 пеРвого н втоРого стеРжней. ТРетье Раве!ботва (7.28) по зывает, чта равновесное значение угла Ф" ,должно саа ветствовать минимуму потенциальной энергии системы Обозная через Р1 угол поворота плечевого шари ра отсчитываемый от оси Ох, фз — угол поворота локтевог~ шарнира (угол между ортами тх1, твз) !Рз — угол поворот, кистевого шарнира, т.

е. угол между ортом )12 и отрезком 0,0, соединяющим шарнир О, с проекцией центра инерции груза Р иа„плоскость Оху. Имеем, очевидно, = 82 соя !Р, — 85 язп !Р, (рис. 7.5). Подставим это выра2кенйе в формулы (7.27), (7.28) и затем разложим векторы й(1, й, ч па осям 52, 85. С помощью равенства (7.28) выразим х„уь Ф" через х, у, ф, После преобразований соотношения (7.27) получим искомую потенциальную энергию П' в виде положительно-определенной квадратичной формы от век- тора 9: 1 П' = — С9 9; д = (х, у, ф), 2 (729) Подставляя (7.31) в (7.30), получим кинетическую энергию в виде неоднородной квадратичной формы Ф ф с коэффициентами, зависящими от !Р„ф.

Искомая функция Лагранжа Ь= Т вЂ” П' определена равенствами (7.29), (7,3Ц и является функцией вида Е= = Ц9,4 ф, ф), а именно неоднородной квадратичной формой от д, 9, где 9 — вектор обобщенных координат (7.29); ф (!Р1 !Р2 фз) Составим уравнения движения манипулятора. Предполагаем, что на манипулятор с грузом действуют только управляющие воздействия в шарнирах, которые обеспечивают изменение углов по заданным законам: !Рг = ф!(1) 0 = 1, 2, 3). Используем оператор Лагранжа д дЬ дС вЂ” — — — =0(1=1,2,3), (7.32) дг д91 д9; в который подставим Е= Т вЂ” П' согласно (7.29) — (7.31).

При сделанных выше предположениях (при выводе выражений для потенциальной и кинетической энергий) малыми считались угол упругой закрутки ф, упругие отклонения х, у по сравнению с длиной звена 1, а также угловые скорости ф, О = 1, 2, 3) по сравнению с низшей (основной) частотой колебаний манипулятора с грузом. Уравнения (7.32) будут содержать слагаемые разного порядка малости.

Величины вида фз)9(, ) ф!9 должны быть опущены как малые высших порядков. После этого уравнения движения в матричной форме примут вид А))+Сф+С9 = Вф+/, (7.33) "ле А, О, С,  — матрицы размером 3 х 3; 9, ф, / — векторсголбцы; матрицы А, С, В зависят только от конфигурации манипулятора, причем 1 0 — Г 51п фз 0 1 гсоя!Рз — гя!и!Рз гсоя!Рз з/т+ гз А=А(ф,) = ш; (7.34) 325 11 сая ф1 + (!2 + х) сая (фз + фз) У 5!п (ф1 + фз) + ф г [соя (!Рз + фз + фз) — ф 51П (фз + фз + фз)] ' (7.31) — 1! 5!п ф! + (12 + х) 5!и (фз + !Рз) + У сав (фз + фз) + ф Г [5!и (!Р1 + !Р2 + фз) + ф са5 (ф! + !82 + фз)] ГС = Г» + !'г. 12 »2 — !3 в?п фг + Г в!и 3рз В = В(фг, фз) = ' -1, О?в!(?2 — 12 — ГсОвфз -Г11сов(фг+ фз) — г13совфг —.1/т — г, Г 21П фз ГВ!П фв — 12 — гсов 3рг — Г СОВ !Рз !1ГСОв фг '//т Г2 — //т Г „е 37 — вектор с компонентами х', у', ф; штрихи у безазмерных переменных (7.37) в дальнейшем опускаем; матицы О„С„В3 и вектор /3 получаются из матриц А, С, С В в результате преобразования: замены (7.37) и разрешена системы (7.33) относительно старших производных.

результате получим систему (7.38), содержащую безазмерные параметры: = ! Е312/(Е31Д) 3); 3) = 1г/13' и = Г/12' () = т!г/1. Матрица С = С (3р,) имеет вид (7.29). При 3р, = 0 матрица вырождается, что соответствует распрямленному н слож ному в локтевом шарнире манипулятору. Элементы матрицы Π— линейные функции от Ф: 0 (3Р! + 3Р2) Ф!+Фг 0 (3Р3 + 'Рг) Гсов 3рг (3Р! + фг) Г в?п !Рз (Фг + Фг + Фг)гсов'Рз (Фг + Фг+ Фг)тяп фз 0 (7. Разрешим полученную линейную систему (7.33)-(73о) относительно вторых производных 'х, 'у, Ч3 и перейдем к без размерным переменным по формулам !' = щ; х' = х/!г; у = у/!г' ч = 13Е2/2/(т12)1332 (7,37) где ч — частота свободных колебаний консоли длиной !2 е точечной массой т на конде и нулевой собственно массой.