Воробьёв В.И., Бабич А.В., Жуков К.П., Попов С.А., Семин Ю.И. - Механика промышленных роботов, страница 50

7.7, б в виде зависимостей тд от безразмерных координат хь Собственные формы колебаний определяются матрицей К столбцами которой !',, )г являются собственные векторы матрицы коэффициентов линейных алгебраических уравнений (7.62). При этом для нормированных компонент собственных форм получаем выражения: г ны = нгг = сгг/г~ егг = (сдг — вкег)/г; тгг = (сдг — вкег)/г = — (с„— тдлд)/г; Г = )/(сгд Вид) + сгд — !' (См Рюд) + сгд ° дг г ° / гг г Столбцы матрицы Р' ортогональны (Г„. Рд) = О, что следует из уравнения частот (7.63).

В дальнейшем матрица Е используется как матрица перехода к главным нормальным координатам. При этом тдд = егг = соз а; егг = згп ед егг Бгп сц (7.64) а = агс!8 (ндг/ндг) где и — угол направления главного колебания, определяемый по формуле (7.64). Амплитуды упругих колебаний и зависимости ид (г) могут быль определены из решения задачи о вынужденных колебаниях (7.60) (7.65) й + — (Ьдгйг + стаи«) = / (/ = 1» 2) и 1 и дополнены членами Ьжй» учитывающими демпфирование. Внешнее воздействие /„в ланном случае проявляется на Участках разгона и торможения груза в виде силы инерции/д = — гихл Если длительность участка равноускоренного 339 Разгона или тоРможениЯ обозначить чеРез т, то х; = 4.х При отсчете времени с от начала разгона (торможен правая часть уравнений (7.65) запишется так: [х х;/т для 0 < с < т; Е! =/с/вс = с (7. 0 для с>т, где знак минус относится к разгону, а плюс — к тор жени ю.

В общем случае траектория перемещения груза мож состоять из л участков постоянной скорости х; и участков разгона — торможения. Далее, с помощью линейного преобразования ис = иди! + инни! 0 = 1 2) (7 переходим от и,, и, к главным нормальным координатам и*,, и,", относительно которых уравнения колебаний (7 разделяются и принимают вид 'йч + 2е р* + взи! — — Г~ (/ = 1, 2), (7 Здесь е„! — диагональные компоненты (недиагональны пренебрегаем) матрицы коэффициентов демпфирован К 'ВК где В = (Ь!1).

Правые части в (7.68) выражаю через Гз с помощью матрицы )": ~14 = "11г 1 + из!с! 0 = 1, 2). (7.69) На коротком участке 0 < с < т, где можно считать, что в; в сопзс, уравнение колебаний (7.68) неоднородно (Ев Ф О) и его решение дается интегралом Дюамеля ! ив(с) = — 11Г*(с')е ба огйпвз(с — с')с)с' (/= 1, 2), (7.70) в! о где в! — — )/в11. — аз.

В дальнейшем, считая демпфирование малым (асз к а!), полагаем а! ж сол используя соотношения (7.66), (7.69), (7.70), находим перемещение и* (с), а затем скорость и,* (с) при с = т: ~~Г х, 1 иу (т) = е„— — — — (1 — соз в т); ' т со„' 1 1=1 1 х„1 ич (т) = и„; —. — з!и в„т, где учтено, что е™ в 1. 1=1 (7,71) 340 яа основном участке траектории (при С > т) внешнее здействие, согласно (7.66), отсутствует (Г~ = 0).

Здесь будут оисходить свободные колебания груза, вызванные неоднод«ыми начальными условиями при с = т (7.71) и опредеемые решением Коши: (7.72) = е 1с [и!" (т) соз а!г + (й!я (т)/а ) зш всг) ° Строго говоря, решение (7.72) будет справедливо для риода, следующего после остановки груза в конечной очке траектории, где выполняется условие а! — — сопзц днако им можно пользоваться как приближенным и после астка разгона, если груз перемешается настолько медлено, что за время затухания колебаний частота в! не левает заметна измениться.

В противном случае решение (с) может быть получено методами асимптотического нтегрирования [3). Выражение (7.72) может быть представлено в более добном виде: я(с) = е гАсз!п(в!с + Х!), где начальные амплитуда А; и фаза )с„определяются как А! -- )/и,*. (т)1 + й* (т)~/ас~; т! = агсгя [и)' (т) в,/йч (т)) . (7.73) (7.74) ,!,// 1=1 а начальная фаза пренебрежвмо мала ()с! 0).

После определения и,*(с) обратный переход к ис(г) осуясествляется по формуле (7.67). Анализ зависимостей (7.71), (7.73) показывает, что начальные амплитуды главных колебаний А! уменьшаются при увеличении длительности т — этапа разгона — торможения (при условии неизменности х!). Если же время т столь мало, что та < я/4, то, как показывает предельный переход, амплитуды А стремятся к максимальному значению, имеювгему простое аналитическое выражение, не содержащее величины т: 7.$. Дискретные динамические модели конструкций манипуляторов Представим конструкцию робота в виде стержневой свсг .

мы (рис. 7.8,а), нагруженной весом транспортируемой ле. тали и звеньев робота. Звенья робота представляют собой элементы с распределенной массой и наиболее правуьзьяе представить их в виде систем с бесконечным числоц степеней свободы. Однако моделирование таких систем является сложным н трудоемким, поэтому в расчетных схе. мах звенья заменяют совокупностью невесомых стержяей с сосредоточенными массами.

Увеличивая число участков разбиения стержней, расчет. ную схему приближаем к реальной системе. Введение новыг л!асс обычно приводит к добавлению трех степеней свобе. ды для каждой массы, что осложняет расчеты. В эпп условиях важным вопросом является определение той степени приближения расчетной схемы к реальной конструкции, при которой получают достоверную оценку динамических свойств исследуемой конструкции. Сложность расчетов прн этом должна быть минимальной.

Необходимое число замещающих масс можно обосновать на основе аназиж частоты собственных колебаний рассматриваемой коне!рук. ции и используемой динамической модели. бь, 25 !!ОН)г(((г((к( Построим динамическую модель конструкции робота с сосредоточенными массами, учитывающую упругие свойства звеньев. Из опыта расчетов можно сделать следующий вывод: наиболее благоприятной расчетной схемой, дающей достаточно точные значения первых частот собственных колебаний при сравнительно невысокой сложности расчетов, является система, в которой звенья представлены в виде невесомых стержней, массы которых сосредоточены по их концам. Найдем перемещения массы М, робота на основе двухмассной модели (рис. 7.8, а), используя интеграл Мора и правило Верещагина.

Прикладывая к массам М, и Мг внерционные силы в направлениях х, у, г, строят эпюры югибающих и крутящих моментов в этих направлениях. Прикладывают к массе М, единичные силы в направлениях х, у, . Перемножают полученные зпюры и определяют деформацию в этих направлениях.

Найдем перемещение массы М, в направлении Ох под действием инерционных сил Р, = М,а,; Р, = М,а,, где а, я а, — ускорения масс М, и Мг, Как известно, для получения перемещений точки упругой системы необходимо построить эпюры моментов снл от единичной силы, приложенной в этой же точке в заданном направлении. Затем следует перемножить эти зпюРы. Для этого, согласно правилу Верещагина, достаточно умножить площадь эпюры на каждом участке от заданных сил на ординату центра тяжести эпюры от единичной силы ва этом участке и полученные выражения сложить. Эпюры от инерционных сил Р,Р, показаны на рис.

7.8, б, г. Эпюры от единичной силы показаны на рис. 7.8,в. Перемножая эпюры, получим перемещение в направлении Ох массы М„ Равное перемещению в этом же направлении массы Мг от инерционных сил Р, и Р,: (12+11)12 (11+12)14 11+12121 ЗЕ!зу ЗЕ14, 61рз 11+Рг ")2 12( + 11+12 р( 24) О1 24 где 1„, 1,, — полярные моменты инерции сечений стержней 4 и 5; 1„„14„1,„— моменты инерции сечений стержней З 4, 5 отйосительно осей у, г, у; 1! — длина 1-го стержня.

Анало~ично можно найти перемещения масс М, и Мз по осям у и г. Рис. 7.8 342 () 1)+ (1+ 2) 34 1+ 2 11 1 (11 + 12) 1413, (1, + 12)~+ р4 Анализ собственной частоты проводим в канонической форме. Расчет проведем для робота, который можно пред. ставить в виде расчетной схемы (рис. 7.8, а). Как показьг. вает расчет, наименьшую жесткость, а следовательно, к наименьшую частоту робот имеет в вертикальной плоскосп Для несущей механической системы уравнения перемещений в вертикальной плоскости имеют вид (рис, 7.8, б) хг + 811(МЗ + Мг) йг + Мгбгзхз + Мгб16хз = О; хз + Ьзг (Мг + Мг)'хг + Мгбззхз+ Мгбззйз = О; хз + 861(Мг + Мг) хг + Мгббзхз + Мгбакхз —— О. ) 1+ "зу )з 61з \ Е1 2 Г 15(1~+ 12) х ~ — )з)5 2 1 + )42у 12 Система имеет ненулевое решение, если определитель свсте- мы равен нулю: После решения определителя и приведения подобных чле.

нов получим 6+Ь 4 2+1 где а = ММЗМ1 ~бггбз6+ ЬЗЗЬ16+ Ь66813 — бггбззб66 2бгзбз686121' Ь = Ьззб66Ь11Ь12 + 811866™2 + бг,бзз™,— — Ь,ЗММ, — Ь,ЗМгМ вЂ” бзЗМЗМ1' с Ь66М2 + Ь11М + бззМ1 ° Коэффициенты влияния находят перемножением эпюр от единичных сил: (1 + "~зу) 13 14 1314 1415 1 ЗЕ1зу ЗЕ14, гу1р4 6135 Е151 ( 3 3Е1 Е1 ' 12 2 3 + )рзу 2 1 (11 + 12) 14 14 + Е7 (1+ 2) 3+ 61 + ЗЕ) + 1415 (11 + 12) + — + Е15„Е1,2 1 — Ь„Мсзг ЬзгМсз Ь61Мез - бгзМ163 г 1 — ЬззМ,16' — ЬззМ,16' 816М262 ЬЪЗМ262 Ь66М263 (1 + )рзу) 1312 121314 1 1512 121315 б16 + + 4Е1зу 2б1р4 Е1,5 ( 2 4 ) 1 + )ргу ( 12')г (У 5 ') (1 + Азу)!г (11 + 12) (11 + 12) 1214 1413 1415 (11 + 12) 1215/2 261р4 ЗЕ14„Е13, Е133 После замены вг = 36 получим Ь с 1 вз — — зрг — — н + — = О, а а а Решая это частотное уравнение, получим несущие частоты собственных колебаний.