Ландсберг Г.С. - Оптика, страница 8

и. волны Пользуясь показательной функцией, мы можем записать выражение (4.5) в виде г = а ехр ~з(сЛ вЂ” йх)) = а ехр ( — Их) - ехр (гсЛ), а (4.6) — в виде (4.7) а = аехр(з(2тгИ вЂ” Йх)~ = аехр( — йх) . ехр(1.2~гИ). (4.8) Волну, выраженную в одной из форм (4.2) — (4.8), будем называть монохромаптчеекой волной. Применительно к введенной терминологии можно сказать, что скорость распространения монохроматической волны есть скорость, с которой передается от точки к точке фаза монохроматического колебания. Действительно, скорость распространения фазы определяется при помощи того соотношения между х и 1, при котором фаза остает2т / х~ ся неизменной, т.е. из требования — ~1 — — ) = сопв1. Дифференции руя это соотношение, мы найдем, что скорость распространения фазы дх — = и.

Поэтому и носит название фааооой схороегпи монохромати- ~Й ческой волны. Пользуясь иным выражением для монохроматической волны, можно найти другое выражение для фазовой скорости. Так, из соотношения (4.5) мы найдем условие для определения фазовой скодх ~> рости: ~о1 — Йх = сопя1 т.е. — = — конечно совпадающее с данным ~й й' выше. Действительно, ') См. подробнее гл.

ХХ'Ч111. о~ Л То = О. й Т Т Опыт показывает, что, по-видимому, только для вакуума фазовая скорость распространения световых волн является одной и той же для волн любого периода ). Во всех же остальных средах фазовая скорость распространения монохроматической световой волны зависит от ее длины, т.е. и = Ф(Л). Такие среды принято называть диспергирдюи~ими. Это обстоятельство имеет очень большое значение при распространении импульса сложного вида.

Такой импульс выражается функцией произвольного вида Д(1). Во многих оптических и акустических проблемах Тф есть периодическая функция времени, хотя еще чаще она может и не быть периодической. Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности.

Принцип суперпозиции приме- ввндн ~ив ним в том случае, когда свойсз ва принимающей системы не зависят от того, находится,ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не етиновится слитком сильным1). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагающей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т.е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматинеские волны, т.е. представ тение произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье.

Согласно теореме Фурье, любая функция ~) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, ~~Т, ~~зТ, '/4Т, ... (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интеерали Фурье).

Практически весьма хорошее приближение получается обычно, если ограничиться небольшим числом членов ряда Фурье. Пользуясь разложением Фурье, мы можем представить импульс в виде совокупности монохроматических волн. Если среда не обладает дисперсией, т.е. все монохроматические волны распространяются с одной и той же фазовой скоростью, то совокупность колебаний в любой точке среды, складываясь, дает импульс первоначальной формы. В такой среде любой импульс распространяется без изменения формы, как целое, так что фазовая скорость является в то же время и скоростью импульса. Если же среда обладает дисперсией, то отдельные синусоидальные колебания приходят в какую-либо точку т1 к данному моменту 11 с различным изменением в фазах и, складываясь, дают импульс измененной формы. Импульс, распространяясь в диспергирующей среде, деформируется, и понятие о скорости его распространения становится гораздо более сложным.

К этому вопросу мы вернемся в гл. ХХ. Таким образом, в диспергирующих средах, к числу которых принадлежат все среды (кроме вакуума), только бесконечная синусоидальная (монохроматическая) волна распространяется без искажения и с определенной скоростью. В этом кроется причина исключительного значения, которое имеет для оптики разложение Фурье в отличие от иных математически возможных разложений. 1'~ ) Явления, имеющие место при распространении в веществе световых волн с большой напряженностью электрического поля, описаны ниже. (см.

главы ХЬ, ХП) а) Математические условия, которым должна удовлетворять функция для того, чтобы ее можно было аппроксимировать по методу Фурье, выполняются во всех физических проблемах. гл. и. волны Следует подчеркнуть, что волна называется монохроматическои, если не только период Т., но и амплит,уда а и начальнал 4аза ~р суть величины, не зависящие от времени 8.

Волна, описываемая одним из выражений (4.2) — (4.б), при а непостоянной не будет монохроматической. Волны, возникающие при распространении импульсов, изображенных на рисунках 2.2, 2.3, 2.4, амплитуда которых меняется с течением време- Рис. 2.'2. Пример немонохромани являются примерами немонохро- тической волньс «обрывок» симатических волн. Любая из соответ- нусоиды, или волповои цуг ствую|цих рисункам 2.2 — 2.4 волн не отвечает формуле 8 = авш (ы1 — Йт) с а = сопв1 и может быть представлена по методу Фурье в виде суммы бесконечно длящихся синусоид и косинусоид. Другими словами, рассматриваемые волны представляют собои совокупность многих монохроматических волн различных периодов, а не просто моно- хроматическую волну.

Особый интерес представляет первый пример (рис. 2.2). В нем предполагается, что амплитуда сначала равна нулю, потом к моменту времени 1~ делается равРис. 2.3. Пример немонохроматиче- ной а остается посгполнной все скои волны: затухаюгцая сину'соида время от ~ до ~2 и затем вновь становится равной нулю. Понятно, что всякая реальная волна, как бы тщательно ни поддерживалось постоянство амплитуды, в лучшем случае соответствует рассматриваемому примеру, ибо ни одна реальная волна не длится бесконечно долго, а начинается и кончается в определенные моменты времени. Значит, такая волна не является строго мопохроматической, ибо ее амплитуда есть функция времени. Чем Длиннее интеРвал Ф~ — 11 Рис.

2.4. Пример немонохромат епо сравнению с периодом Т, т.е. ской волны: нжюж е дв ну.соид чем большее число волн данного бчиэ ого периода (б е периода испускается за время работы источника, тем более монохроматическим может считаться его излучение. Вообще, чем медленнее меняется амплитуда с течением времени, тем более монохроматична волна. Рассмотрим следующий пример, показывающий, что синусоидальная волна с переменной амплитудой эквивалентна совокупности нескольких монохроматических волн. Пусть дана волна, описываемая соотношением 32 ввндннив где а — величина, изменяющаяся с течением времени по закону а = А(1+ сов (2ггтМ))., т.е.

ти раз в течение секунды достигающая значения 2А и столько же раз обращающаяся в нуль, пробегая по указанному закону все проме- жуточные значения. При этом А есть некоторая постоянная величи- на. В таком случае имеем в = А(1 + сов (2ггтг',)) сов (2ггпй — йт) = А сов (2~гпй — йх) + + А сов (2.гтрк) сов (2ггпФ вЂ” Йж) = А сов (2хп1 — Йх) + 1 1 + — Асов [2гг(п+ т)г'; — Йт~ + — Асов [юг(п, — т,)1 — Йт1. 2 2 Таким образом., наша волна есть не что иное, как совокупность трех строго монохроматических волн с амплитудами А, /~А и ~/„А и с частотами и, и + т и и — гп. Совокупность этих трех монохрома- тических волн и составляет заданную немонохроматическую волну, описываемую (4.9).

Пользуясь показательными функциями для выражения волны, можно упростить вычисления. Действительно, волна 8 = а ехр [г(2лп1 — Йт)1 = 1 1 =А[1+-; ььр(~ 2гт~)+ —, р( — ~ 2~па~)~е рЯ2~в1 — Йл))= 2 2 1 = А ехр [з(2япй — Йх)1 + — А ехр [з [2гг(п + т) й — Уст~) + 2 1 + — А ехр ~г[2гг(п — т) 1 — Втаб 2 представляет собой совокупность трех монохроматических волн с час- тотами и, и + т и и — т.

Мы рассмотрели до конца приведенный вьппе пример ввиду край- ней простоты математического разбора зада ги. В случае иного, бо- лее сложного закона изменения амплитуды во времени (периодиче- ского или непериодического) физическая сущность явления остается той же, но математический анализ разыскания отдельных монохрома- тических волн, из которых можно сложить данную немонохроматиче- скую, гораздо сложнее и требует, вообще говоря, применения теоремы Фурье. Разобранный пример ясно показывает, что изменение амплитуды во времени влечет за собой нарушение монохроматичности волны и появление новых частот, Изменение амплитуды во времени означает вариацию интенсив- ности и носит название модуляции. Модулировать можно не только амплитуду, но и фазу волны.

Модуляция фазы также означает нару- шение монохроматичности. В приведенном примере модуляция амплитуды происходила по простому синусоидальному закону. В реальных явлениях обычно модуляция происходит более сложным образом, вообще говоря, нере- гулярно (хаотическая модуляция). Так, в любом исто'гнике света из- лучение отдельных атомов, составляющих источник, нерегулярно ме- гл. и. волны няется как по амплитуде, так и по фазе, испытывая хаотическую модуляцию '). В том случае, когда модуляция происходит по закону, выбранному в патнем примере, она означает превращение монохроматической волны частоты и в три монохроматические волны с частотами и, и + т, и — ш и с соответствующими амплитудами.

Такого рода воздействие на интенсивность волны, т.е. модуляция волны, сопровождающаяся расщеплением частоты монохроматической волны, играет большую роль во многих оптических явлениях. Следует отметить трудность непосредственного наблюдения в оптических опытах воздействия, подобного описанному выше, ибо частота оптических волн очень велика (и 10ы Гц), поэтому требуются очень быстрые изменения интенсивности, происходящие огромное число раз в секунду, для того чтобы можно было получить заметное изменение частоты, т.е. чтобы и + т и и, — ти заметно отличались от и.