Ландсберг Г.С. - Оптика, страница 7

Из соотношения (3.1) следует, М 4х что — = и, т.е. эта скорость равна и. й Итак, любая функция от аргумента п~ — х выражает распространение возмущения вдоль х в сторону возрастающих значений х с постоянной скоростью и. Аналогично, любая функция от аргумента И + х описывает распространение импульса со скоростью п, но в противоположную сторону. Вид функции г позволяет определить форму возмущения для любого момента 1 и зависит от условий, вызвавших его возникновение.

Нетрудно показать, что дифференциальное уравнение, описывающее волновое движение, т.е. уравнение, решением которого будет любая функция от аргумента (И вЂ” х) и |и (о1+ х), будет иметь вид дздз — =0 —,, дР дх'-' Действительно, простой подстановкой легко убедиться,что возмуще- ние з, определенное соотношением 8 Х1 (Ю1 + х) + Х2(п х), (3.3) где ~1 и ~2 — произвольные функции, является решением (3.2).

Так как это уравнение есть дифференциальное уравнение второго порядка, то найденное решение, как содержащее две произвольные функции, является общим его решением. Это решение представляет совокупность двух волн, распространяющихся со скоростью и навстречу друг другу. Само собой разумеется, что из самого дифференциального уравнения никогда нельзя сделать заключения о специальной форме функций ~1 и ~' . Поэтому дифференциальное уравнение типа (3.2) математически описывает всевозможные процессы распространения волн (вдоль оси х).

Рассмотрим в качестве примера образование и распространение электромагнитной волны, изучаемые в курсах электричества. Как известно, возникновение в каком-либо месте среды переменного электрического тока сопровождается появлением в окружающем пространстве переменного магнитного поля (электромагнетизм); это последнее ведет к образованию переменного электрического поля (электромагнитная индукция), обусловливающего переменные токи смещения в окружающем пространстве. Токи смещения обусловлива- 2б вввдвнив р дН дЕ' с д1 дх (3.4) с дЬ' дН с Ю дх' (3.5) где и и е — соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, а с — отношение электромагнитной и электростатической единиц силы тока, которое, как показали измерения, равно скорости света, т.е. 3 108 м/с.

Из этих уравнений с необходимостью следует, что возникшее в каком-либо месте электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью о = с/ /Гр. Действительно, дифференцируя уравнение (3.4) по х, а уравнение (3.5) по 1 и исключая из них У, найдем д'Е " д'"Е (3.6) д~2 сд дх2 т.е. дифференциальное уравнение волны, показывающее, что электрическое поле Е распространяется в пространстве вдоль оси х со скоростью е = с/~~, Таким образом, решением этого уравнения может быть выражение Е = ~(х — И), где ~ — произвольная функция, Аналогичное заключение может быть получено и для величины магнитного поля Н. Между Е и Н легко установить связь; например, полагая Е = = ~(х — о1), найдем из уравнения (ЗА) дН ! 1 дЕ ~/Гр дŠ— — = — У~(х — ю~) = — — = с дФ д~ с а' и,ли дН дЕ ~/Р— = Л вЂ”.

> д1 д1 ' ют возникновение магнитного поля, так же как обычные токи проводимости в проводнике создают вокруг себя маг нитное поле. Таким образом, все новые и новые области пространства становятся областью действия электромагнитных полей: возникшее где-либо электрическое колебание не остается локализованным, а постепенно захватывает все новые и новые участки пространства, распространяясь в виде электромагнитной волны. Явления электромагнетизма и электромагнитной индукции, обусловливающие этот процесс, находят свое краткое математическое выражение в уравнениях Максвелла, устанавливающих связь между изменениями напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) полей.

Рассуждения Максвелла в соответствии с опытными данными показывают, что направления электрического и магнитного векторов оказываются взаимно перпендикулярными и перпендикулярными к направлению распространения электромагнитной волны. В простейшем случае плоской волны, когда направление осей координат таково, что электрическое поле Е направлено вдоль оси х, а магнитное поле Н вдоль оси д, уравнения Максвелла имеют вид гл. и.

волны или (3.7) Так как во всех электродинамических (а следовательно, и оптических) процессах постоянное поле роли не играет, то постоянную в последнем соотношении можно без ограничения общности положить равной нулю. Итак, имеем ~(р Н = ~/еЕ. (3.8) Соотношение (3.8) показывает, что Е и Ч связаны линейной зависимостью; Е и Н изменяются так, что они одновременно проходят через максимум и минимум. Та- Н ким образом, для электромагнитной волны (так же, как и для волн упругих) мы Рис. 2.1. Взаимное распоимеем совокупность двух связанных век- ложение векторов Е, Н и торов„распространяющихся волнообразно вектора скорости ч в элекс общей скоростью и = с/~/Гр. Взаимное тромагнитной среде расположение трех векторов Е, Н и ч соответствует правовинтовому расположению, показанному на рис.

2.1. ~ 4. Монохроматические колебания и волны. Понятие о разложении Фурье Итак, волну, распространяющуюся со скоростью г вдоль х, можно описать соотношением =(-) (4.1) Зафиксировав значение х, найдем, что вид функции 1 показывает, по какому закону изменяется с течением времени величина з, характеризующая возмущение, например напряженность электрического или магнитного поля. Вид функции 1 может быть, как уже сказано, произвольным. Особое значение имеет, как мы сейчас увидим, случай, когда 1 есть синусоидальная (или косинусоидальная) функция.

В таком случае з = аз1п где а — амплитуда и Т вЂ” период волны, а аргумент синусоидальной 2л / х1 функции — ~1 — — ) носит название фазы. Значение з зависит, оче- T ю видно, от выбора начала отсчета времени ~ и координаты х. Поэтому для нескольких волн, имеющих одну и ту же амплитуду и период„ значение з в данной точке х и в данный момент 1 может быть различно. Чтобы учесть это обстоятельство, удобно записать выражение для синусоидальной волны в более общем виде 3 = ая1п — 1 — — +ф (4.3) 28 вввдкиив ~р носит название начальной фазьь Если начальные фазы всех волн совпадают или мы имеем дело с одной волной, то можно положить у = 0 и сохранить для синусоидальной волны выражение (4.2).

Вид функции (4.2) показывает, что она периодична по времени с периодом Т. Она обладает, кроме того, периодичностью и по аргументу с. Если дать х приращение Л = оТ, то значение функции не изменится; действительно, в=аяш — ~ — =авш 2л — — — 1 =ая1п следовательно, расстояние по х, равное Л = оТ, отделяет точки, в которых колебания совершаются в данный момент времени в одной и той же фазе.

Величина Л = иТ называется длиной волны,. Выражение (4.2) можно переписать так: в = ая1п 2л (4.4) Введем обозначения: 2л/Т = м — кррговал частота, 2л/Л = й— волновов число. Тогда (4.4) примет следующий вид: в = ая1п(ы1 — Йл:). (4.5) Если вместо круговой частоты ввести число колебаний в секунду (частота) и = 1/Т = м/2л, то в = а яш (2лИ вЂ” Йх). (4.6) Наконец, вместо тригонометрических функций можно ввести экспоненциальные, что часто облегчает математическую трактовку многих вопросов теории колебаний и волн. В основе этого лежит формула Эйлера ехр(Ц) = соя Ю+ гя1п~.

Действительная йе (ехр ®)) и мнимая 1ш(ехр (Ц)) части этого выражения представляют собой тригонометрические функции соя~~ и я1п Ы соответственно. Так как большинство математических операций легче производить с показательными функциями, чем с тригонометрическими, то вычисления рационально вести следующим образом: введя вместо косинуса или синуса показательную функцию, произвести с ней все необходимые вычисления и в конце вернуться, если это желательно, к тригонометрическим функциям, взяв соответственно действительную или мнимую часть. Если ~1~ = аЛ, то аехр(иЛ) описывает гармоническое колебание с амплитудой а и круговой частотой ы (с периодом Т = 2л/ы).

Если начальная фаза колебания равна о, то выражение для колебания будет аехр(г(~ой+ о)1 = аехр(Ы) ехр(гый). Обозначая иехр(мд) = С, мы вводим комплексную амплитуду С, причем в это выражение входит как обычная амплитуда а, так и начальная фаза, колебаний о. Таким образом, С = а ехр (гд) = и ехр о + ~,а я1п о. Для того чтобы найти амплитуду колебаний, точнее, ее квадрат а-, надо помножить амплитуду С на сопряженную ей величину С*: а = СС = аехр (тд)аехр( — гд). гл.