Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, страница 9

пусть Н(р, с1) — полиномиальный гамильтониан с особой точкой О. Разложим Н в сумму Нь однородных слагаемых степени к(я ф 1) и положим С = 2 Нь~(я — !). Представление Лекса Гейзеноерга Рассмотрим следующие матрицы размера (2о + 1) х (2о, + 1) Л= — Е О О, Ь= 1! О с! Л= О О ц А =Л. " О = — Сир — Сич О где Š— - единичная матрица размера н,. Тогда, использун формулы Эйлера для однородных функций СррР+ Срчч — Нго СчрР— Сччс! = Нч, УРавненип Гамильтона можно записать в форме Ь = [Ь, А[. Для линейной интегрируемой канонической системы с квадратичным гамильтопиапом Н = — (Яв.,в), в = (р,с1) (гамильтопова тоория ! малых колебаний) легко указать представление Лекса Гейзенберга, содержащее спектральный параметр [3).

В рассматриваемом случае матрица А из прсдыдущого примера является постоянной и можно положить Т(Л) = Ь+ ЛА. Тогда 1(Л) = [Х(Л),А) .. коммутационное представление для линейной системы. Характеристический многачлеп матрицы 1 (Л) имеет вид с!ос(нЕз„~ — 1(Л)) = г1сс(ЛБ — йй) ~!з -ь ((ЛЯ вЂ” йй) йя, йз)), где й --- матрица симплоктичоской формы. Козффициспты етого мпогочлена при рзь (й = О,.... о — 1) являются квадратичными по в первыми интегралами рассматриваемой системы. С помощью несложных расчетов мол ио убедиться, что они находится в инволюцни. Заметим также, что всякая четномерная лпнейнан система с невырожденным первым интегралом является гамильтоповой [82).

Связь представления Даков со спектральным параметром с интегрирусмостыо динамических систем иллюстрируется слодующим примером. Вполне интегрируемая (вообще говоря негамильтонова) система в стандартном виде 42 Глава 1 допускает точное представление Лаков-- Гейзенберга со спектральным параметром Ь(Л) = 1 4 ЛА. Ь(Л) = [Ь(Л), А], где А= При этом ф, = охр(ьр„) (1 ( л < ти). Этот пример нвлястся простой модификацией представления из ]82]. 5 5.

Бигамильтоиовы системы Еще одним способом обнаружении и доказательства ннтегрирусмости многомерных гамильтоповых систем, связь которого с методом Ь вЂ” А-пары до сих пор не вполне изучена, состоит в нахождении длн динамической системы (4.1) пары согласованных скобок Пуассона (см. Э 2). При этом предполагается.

что кроме естественной скобки Пуассона, определяемой бивектором,Ее, имеется еще одна согласонанная с первой пуассопова структура (тспзор Схаутспа таких структур равен нулю ],Ео,,Е1] = О см. Э 2), а сама система допускает звпись в двух различных формах :г = (зч ЕЕо)о = (ль ЕЕт)ы:г Е М (5.1) (,Е; обозначает матрицу структурного тензора соответствующего структуре (, );). Система., допускающая запись в и различных и независимых гамильтоповых формах (5.2) где скобки (, ~ы... (, )„нвляются согласованпымн, называются жулмпнгамальтоноемта. 'З 5. Бггалхлътоновы системы 1.

Невырожденные бигамильтоновы системы. Предположим, что одна из структур (Ло) невырождена. Тогда пучок Л( ° )о+ р(, )ь также называется невирожденныл. Для такого пучка определен оператор рекурсии (5.3) Л вЂ” Ль )о задающий тензорное поле тина (5.1) (см.

32). Предложение 3. Пусть,7о и,)ь пуассоновы структуры, причел,Уо невырожденп. Пусть Л = Л,,У ~ - — оператор рекурсии. Тогда следующие условия эквпоплеитпы: 1) пуассоновы структуры,7о и,7, согласовпны; 2) У-форла Ло Л залкиутп, У) 2-форльа Уо Л залкнута длп любого 1: с М; Если Ло и .71 согласованы, то бивекториле. поле оидп ВьЛо яоляетгп пуассоновой езпруктурой для любого Л с И, причел все такие структуры согласовпны попарно лелсду собой, и также с Ло и,7ю Зямкчяннк 1. В описанной выше ситуации говорят, что пуассоновы структуры вида 71~,71 задеют иерархию. Следует, впрочем, заметить, что все они лакуна~ется нз исходных структур,Уь н .У1 при ломаньи стандартных тензорных операций н поэтому в естественном смысле не являются независимыми.

Доказательство. Покажем, что (1) — > (3) ь (2) — + (1). (1) — ь (3). Поскольку структуры,Уо и,Уь согласованы, то для любого Л О К лнненнан комбинацип Ло — ЛЛь является пуассоновой структурой. Это эквивалентно (при малых Л) замкнутости 2-формы (Ло + Л,Уь) Рассмотрим разложспио втой формы о ряд по Л: (Ла — Л.У ) = Л,, ' Л,~„'П, Лг.~„'П + ...

+ Л'Л„'71ь+... Поскольку внешний дифференциал от этой формы тождественво равен нулнь прп всех Л, та ка кдоо слагаемое является замкнутой формой, что и требуется, Условие (2) является частным случаем условии (3). Покажем наконец. что нз (2) следует (1). Рассмотрим линейную комбинацию 2-форм вида Ло ' — Л,У„'Л. По предположению она замкнута и невырождена при малых Л.

Поэтому (обратныи) бивектор вида Глава ! [У вЂ” ЛУ А) является пуассоповой структурой. Снова рассмотрим -1 †! †! разложение в ряд по Л (,У вЂ” И Л) ' =,У„+ ЛУ, + Л'Л.У, -... - Лв К"-'Л, — .. и приравняем к нулю члены при степенях Л в тождестве Якоби для этой пуассоновой структуры.

Обращение в нуль члена при Л в первой стопани эквивалентно согласованности .Уо и,У!. Проверим второе утвержденна. Рассмотрим бивскторы вида Уть,Уа. Тот факт, что все они являются пуассояовыми структурами, согласованными между собой н с исходными структурами,Уа и,У!, эквивалентен двум соотношениям [Уо.дало) = 0 и ((Л'Ло.ЛЙУа)) = й длн щобых И,у' = 0,1,2,. здесь [, ] скобка Схоутена (Э 2). Эти соотношения легко вытекая)т из следующего рассуждения. В силу условия (3) дифференциальные формы вида,Уэ ! — Л,Уа !Л явля!отся замкнутыми при всех Л и й Порсписывая условно замкнутости как тождество Якоби для (обратного) бивектора (,Уо ! — ЛА, 1Л!) =,У + Лл! 1,У„+...

+ Лысы 1,У„..., и приравнивая к нулю члены при разных степенях Л в соотношении [ Уе — ' ЛЛ" ' У вЂ”... „Уа —, ЛЛ' ',У ...) = О, мы легко получаем все требуемые соотношенил по индукции. Согласонанность пуассоновых структур,Уа.,,У! эквивалентно также обращению в нуль тензара Ньюхауза (о1!)енЬшв) [296]! который выражается лишь через компоненты оператора рекурсии ( дт"в ' див' ' ' У)л! "' О.г! '"/ и=1 Следующий результат был получен Магри (Чвяг!) и Льснаром (Сепах!1) .

'з б. Ного,ннгп скоковы снюпвмы Предложение 4 ([282]). Пусть на односвязном многообразии М задана бигамильтонова система. Тогда существует иерархия взаимно ьоммутвруютих 4унк|зиб Пь, Ны..., которые находятся в инволкзили отностпевьно обеих скобок. Они порождают коммутирую1цив друг с друго,к ввкторныв пола е„., удовлвтворяюирзв рекурсивным соотношениям (авенира) '1' (~~3 ): (5.4) где зд = зь'Ло — высктв пуоссоновы структурьь Таким образом. бигамильтонова система интегрируема по Лиувиллю (см.

Гз3), если система функций Но, Ны... в указанной иерархии функционально независима и составляет полный набор. Это требовапис эквивалентно условию простоты спектра опоратора рекурсии (см. также [210, 236]). Очевидно, что собственные числа оператора рекурсии являются интегралами движения или константами. В зависимости от числа констант в спектре возможны различные варианты интегрируемости (разделение переменных и пр.). Высшие пуассоновы структуры порождают мультигемильтопово прсдставлопис (5.2). Болоо формально этот вопрос рассмотрен в [23].

На многообразии ЛХ пуассонов пучок индуцирует семейство согласованных два-форм ьз, = дхтлК;дх. К;(х) = Л, '(х), (5 5) для которых условис согласованности эквивалентно условию замкну- тости два-формы дх д [К (х) — К (х)] дх В 1946 г. Р. Дебевер (К. ОеЬечег) [300], применпн метод Вартана, дал локальную классификацию пары снмплсктических 2-форм юь и шз на чстырсхмсрпом комплексном многообразии.

Оп по испольэовал услооис согласованности (которое в то время еще не было известно). но ввел алгебраическое ограничение ьч Дюг = О. (5.6) 11з этой классификации следует, что при условии (5.6) существук1т пссогласоваппью формы ьь и ыз, том пс мопсе соответствующая им Глава 1 бпгамильтанова система являатся интегрируемой в квадратурах (систсмгв интегрируемая в квадратурах может быть неинтегрируема по Лиувилл<о). Следует, однако.

отметить, что до сих пор неизвестно ни одного примера естественного происхождения. в которой для интегрируемой бигамильтоновой системы вторая пуассонова форма не была бы согласованной<. Злинчлнив 2. !!римеры несогласованных скобок, предложенные в рабатах (201, 202., 203] и основанные пв исследовании систсмы в псрсмсппых типа действие угол, которые могут быть глобально не определены, не являются естественнымн. Это замечание относится также к обобщенин1интегрируемости па Лиувпллкь которое., кроме того, да работ (201, 202, 203] изучалась в (197, 79, 94]. 2.