Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, страница 12

Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ес матриц. Получонная в этом случае структу;,г ,г ра Ли Пуассона соответствует полу прямой сумме уЮг К", где Вв пространство матриц их и, д -- алгебра Ли данной группы, и называетсн естественной канонической структурой квяасательявев расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнении движопия твердого тола в направляющих косинусах н мамонтах (см. я1, гл. 2). 'Э 6. Уравнения Пуанкаре ..

Четаееа функции с„", также являются постоянными, если конфигурационное пространстно явлпетсн базой расслоения некоторой группы Ли (в частности являетсн римановым симметрическим пространством). При этом необходимо в качестве базиса квазискоростей брать левоинваривнтные векторные поля алгебры Ли данной группы, а в качестве обобщенных координат — коордипеты па базе (в общем случае избыточные).

Одним из приморон подобной ситуации могут служить уравнения Эйлера — Пуассона длн твердого тела в осесимметричном потенциале. В данном случае уравнения записываются на сфере Пуассона, которая начнется базой расслоения ЯО(3) со слоем ЯО(2). Аналогичным образом могут быть записаны уравнения движения точки по и-мерной сфере Яа ПО(п+1)/ЯО(п). которая является базой расслоения группы ЯО(и — 1) со слоем ПО(п) (подгруппа оставляющая па месте произвольную точку сферы). Пгимкг 8. Рассмотрим двумерную сферу дз = ((ду) = Лз) (являющуюся базой расслоения группы ЯО(3) на окружности У - ЯО(2)), по которой даня~ется материальная точка в некотором силовом поле с потенциалом Г(т).

Уравнения Пуанкаре на группе ЯО(3) в направляющих косинусах (являющихся избыточными координатами па дО(3), см. З 1 гл. 2) имеют вид — ~ — ~ = — 'хы+ — хм+ — хд+ — х у, П 1дА1 д1. дА д1 дЬ с11 [, ды) ды до дд ду (6,10) д = и х ы, д д х ы, т — у х ы. При этом лаграпжиап частицы па поверхности сферы (Ч,э) = Ез в поле некоторых потенциальных сил может быть представлен как функция угловой скорости и одного из единичных векторов, например, т ! 2 О( 2 а угловая скорость частицы определяется уравнением ы = Ч х т.

Как слсдуот из (6.10) ураиюпин для т,ы отдсляи1тся (опи описыоа|от эволюцию системы на базе), а уравнения для и, Д не имеют для частицы 66 Глаоа т смысла (они описывают эволюцию системы на слое) и могут быть в данном случае опущены.

Переходя к гамильтонову формализму получаем редуцированную систему на алгебре е(3) М=Мх —,+ух —, дИ дЕ1 Оу' дН У=ух (6.12) с функцией Гамильтона у (л(е,. „, ~(е'л) (6Л 3) Если выполнено соотношение ~~л с„"л(л1) = О (катоРое заведомо спРавадлнво, если конфигурационное пространство явлнстся упимодулнрной группок), то система (6.13) несколько упроплается, в частности, И Мз Ь ~ц(7) 2 В силу соотношения (6.11) необходимо рассматривать систему (ОЛ2) па орбите, удовлетворяющей условию (М, у) = О, (у, у) = йз, физический смысл которого заклнщается в отсутствии проекции угловой скорости на радиус-вектор положения частицы. Уравнения Эйлера Пуассона могут быть получены таким же способом, однако для твердого тела постаяннан интеграла площадой (М, у) -.

с не обязательно равна нулю (роль двумерной сферы при этлгм выполняет сфера Пуассона). 4. Инвариантная мера. Условия существования для уравнений Эйлера Пуанкаре инвариантной меры обсуждаются в [84]. Оказывается, чта эти уравнении имеют интегральный инвариант в том и толька в том случае, когда группа С упимадулярпа (то ость т сш — — О для % ь структурных констант алгебры Ли группы д.) ь Рассмотрим частпуло постановку вопроса о сущаствовапии ипвариантной меры для общих уравнений Пуанкаре--.Четаева (С.С), (6.7), когда плотность интегрального ияварллапта Г пс зависит от импульсов л =.л(Ч) Из уравнений Лпувилля (з 2) можно получить условия существования пнвариантной меры в виде системы дифференциальных уравнений в частных производилзх (в общем случае явно неразрешимой) з 7, Показатели Ковалевской, интегрируемоетв и гамилътоновоета 61 уравнении (6.6), (6.7) сохраняют стандартную меру 171Ч) = 1), если все векторные поля о' (6.2) бездивергентны.

Если в качестве координат с1 выбрать компоненты матриц для матричной реализации группхн Лн (естественная каноническая структура кокасательного расслоения). то условие унимодулярности является необходимым и достаточным для сохранения стандартной меры. Нетрудно показать, что уравнения (6.6), 16.7) также сохраняют инвариантную меру с плотностью не зависпщой от квазнимпульсов, если число координат Ч; равно размерности группы, а векторные поля ох,...,еь независимы и образуют базис (при этом 1е = и. и равно числу степеней свободы системы). В этом случае плотность Дд) задается нкобианом перехода от канонических переменных гд,рг .:.

—, к пере- дЬ менным йь ЛХг: / = йеФ Так как д7 д1 долу доо1 р;=а,'= —, 'ч.-=~И вЂ”,.—., дф дол1 юг дф получаем плотность инвариантной меры в виде ~(Ч) 7 <)ех 1, — ~ где <1етР ' г)аг, Эта инвариантная мера явлнетсн лиувиллевой Я 2). Обсуахденне обобщений уравнений Нуанкаро Четаева на неголономные системы, а также их связи с другими общими формами уравнений динамики содержится в ~143':.

'В Т. Пекнннтели Коваленской, иитегрируеместь и гнмильтоновость 1. Квазиодиородкые системы. Показатели Ковалевской. Система и дифференциальных уравнений 1"лаза 1 называется квазиадиородиоб с показателями квазиоднородностп яы...,я„, если о'(ошщ~,....гзгыщ ) = аж+~о'(з~...., т,") (7.2) дашь до = (бч+ 1)ю', 1 = 1,...,о. дз.' (7.3) Уравнения (7Л) имо~от частпыс решения (7.4) гдо комплскспыс настоянные Сз,..., С„должны удовлетворять алгеб- раической системс уравнений з'(С1, ",Сз) = — яС~ (7 й) Запишем уревнения в вариациях для частного решения (7.5) в видо р' = ~1 ' дв, (С,1-з,...., С„1-") у".

, дшь (7.6) Линейная систома (7.6) имеет частпыс решения вида р1 а11а — з1 рз ~ ззд -ь при всех значениях х и о > О. Таким образом, уравнения (7.1) инвариантны при подстановке лз + ощж', 1 ~-~ 1/а (338]. Злмкчлник 1. Более общее определение квазиоднородности степени го состоит з том, чтобы системз (7.1) оставалась иовариаптной после ореобразевания а' ~-~ оз'в', 8 -з Г/о ' ' [100). Все дальнейшие результаты остаются справедливыми и для этого случаи. Валзным примером уравнений (7.1), (7.2) слузкит система с однородными квадратичными правыми частями .-.

в этом случае ~~ = ... = д„= 1. Квазиоднородный вид имшот уравнения движения многих важных задач динамики (уравнения Эйлера — Пуассона, Кирхгофа., уравнения Эйлера- Пуанкаре па алгобрах Ли. цепочки Толы и пр.) Дифференцируя (7.2) по о и полагая о = 1. получим формулу Эйлера для квазноднородных функций: з Х Пвказакиели йавалевской, иктвсрирувтотаа и галильтаноапста 63 где р --- собственное значение, а у собственный вектор матрицы К = [[К" [[, К" = (до"/дай(С) 8„.Б'), Ю' .—. символ Кронекера.

Матрица К называется литрипей Ковалевской, а ее собственные значения -. показателя.ки Ковалевской (см. [338)). Один из показателей Ковалсоской всегда ранен -1[338). Если общее решение системы (7.1) представляется однозначнымн (мороморфпыми) функциями комплексного промоин., то показатели Коваловской, за исключением — 1 являются целыми (соответственно., целымн неотрицательными) числами. В работе [87) указааы соотношения мел|ду показателнми Ковалевской, которые появляется из-за наличия у системы (7.1) инвариантного тспзорпого поля. Напомним., что тензорное попс Т типа (р, д) называется квазиодкорвдкььи степени ги с показателями квазноднородности д,..., ка, если Тр" "(ол'х~,..., ол" иа) = от — сн —...— ьц ьлч ь...+л л7 ~~ '"м ~к1 кл) я-.ы ( Это тензорное поле будет иквирииптиыт для систомы (7.1).

осли его производная Ли вдоль поля т равна нулю (см.([2). 2. Уравнения Гамильтона. Рассмотрим квазноднородные уравнения вида: (7.7) ь длл' где Л = [[.Рл[[ постоянный кососнммстрнчпый тспзор типа (2,0), а Е1 — - квазиоднородная функция степени гп+ 1: (7.8) Проверяя выполнение условия (7.2) и используя (7.8), получим дк дк Положим Г = 81ай(81.....8„). Днфференцирун последнее тождество по о и полагая а = 1, приходим к следующим, записанным н матричном Глава ! виде условиям, которым должны удовлетворять показатели квазиодно- родностн: (7.9) ЛГ+ ГЛ = тЛ.

Заметим, что ураннения (7.7) представляют собой уравнении Гамильтона с гамильтониапом Н в (возможно) неканонических переменных. Если Л вЂ” симплсктнчсская матрица., то усльзвия (7,9) имо!от простой вид: ьь+йь-ь„,(г = аи В работах,'281., 87) показано, что в случае диагонализируемости матрицы Коваловсж1й, ео показатели удовзетворякьт аналогичным соотношениям рь + рь-ь /3 = гго причем сродп них всегда будут числа — 1 и т, + 1. Следующее предложение уточнлет соответствующие результаты ~281г 87] в общем случае псдиагопализуомой матрицы К.

Отметим, что в педиагонализируемой ситуации не приходитсн говорить об однозначности или мероморфностп общего решения. Теорема 8 ([271). Пусть для уравнений (7.7) Л вЂ” невырохсденная кососилькетрячная матрица.. Тогда покаэатели Ковалевской разбиваю!!гол но пары, .удовлетворяюгиие соотношениям !>в+!)ь.ьо!г = гп, й = 1.... гп/2, причелг строение лсордановых клеток, соответствующих показате- лям р, и (гп — р„) одинаково. Доказательство. Представим матрицу Ковалевской в виде К = ЛВ + Г, где В Пг77 (С) Д, гД.А симметричная матрица.

Тогда все закл!очсния теоремы ! следукэт из цепочки равносильных утверждений: с1е$ ЦК вЂ” рЕЦ = О СЬ с!е1 ЦК вЂ” рЕЦ~ = О СЬ с1е1 ! (К вЂ” рЕ) тЛ ' Ц = О С: гМ Ц( — ВЛ+ à — рЕ)Л "Ц = О сь де1 ЦЛ ~(Л — Г+ (!г — 1 — р)Е)Ц = О. В последнем звене цепочки использован тот факт, что в (7.9) вместо Л можно подставить Л "з 7.

Показатели Уооаяеоской, интегрируежость и гаяшяьтоноеость бб Обобщим проведенные рассуждения на случай. когда матрица У'ь не обязательно является невыролгзенной и постопнной. Это соответствует рассмотрению квазиоднородных систем, допускающих пуассонову структуру более общего вида (структуры Ли Пуассона, квадратичные структуры и пр.) Докажем предварительно основную теорему. Теорема 9 ([27]).