Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, страница 13

Лредполозкиж, чпго уравнения (7.1) допускают квпзиоднородный степени гп тепзорнмй инварианзп Т типо (2,0). Тогда наггьуральние числа от 1 до и жолсно сгруппировать в набор ()гы..., ке) так, что р„..., ро будут удовлетворять как ягиггиягуяь г = гап1сТ(С) соотношениям: р -ьрь — гп, г — 1,...,п. Доказагпея ьспьво. Используя выралгение производной Ли для инвариантного тензорпого поля, потрудпо показать (подробнее см.[87)), что тспзоры Т и К связаны следующими соот ношенннми: — гпТ'г = К„'Тгз д ТггК,:', поторые запишем в матричном виде — тТ = КТ и ТК~, (7.10) где Т = ()Т'г[(, К = [(К";.)[ Пусть матрица А составлена из вектор-столбцов еы..., е„, которые являются жордаповыми векторами К: КА =- АКеч где К, для опродслсппости имост следующий вид: па главкой диагонали стоят показатели Ковалевской (ры..., ре), а над главной диагональю могут стоять единицы.

Лля транспонированной матрицы Кт справедливо аналогичное соотношение Кт(А-г)т (А-ь)тКт , т Обозначигн вектор-столбцы, составляющие матрицу (А ~) через ~ы..., й~. Используя (7.10), получим КТ(А ~)т = — игТ(А ')т — ТКт(А ')т = Т(А ')т( — гпŠ— (К )т) Глава 1 Матрица ( — гнŠ— (К„)т) также имеет жорданов вид, только теперь под главной диагональю могут стоять — 1.

Таким образом, жордановым векторам (сы...,са) прн отображении А + Т(А ) соответствут квт г = гапкТ(С) независимых векторов (Т~ы..., Т Га), которые также лвляютсл лгордановыми векторами К с собственными значенилми ( — гп — рг),..., ( — т — р„). Следствие. Пусть танзер Т вЂ” кососильметрический. Тогда среди натуральныл чисел от 1 до п ложно выделить два поднпбори с несовппдаюи1ими числалги (Еи..., и) и (Еы...,й~), 1 = — гвп1гТ(С), таких, что 1 .

2 показатели йовалевской удовлетворяют 1 соотношениям рк + рго = — гп, в = 1,....1. Действительно, в случае кососимметричного Т ненулевой вектор Т/, не молгет быть пропорционален с„. Это следует из-ча того, что (с;,зд) =- д; . где (, ) - стандартное скалярное произведение в Ка (АА ' = Е), а из-за кососиммотричпости Т следует, что (Т,Д,)в) = О. Так как для общих гамильтоновых систем кососимметричоский структурный тензор ду являетсл тензорным инвариантом уравнений движения (ч2), то из следствия теоремы вытекает. что показатели Ковалевской лвляютсл спаренными и число пар раопястсл — га~йЛ(С), 1 2 3. Инварнантная мера. Как правило, квазиоднородные уравнения динамики (ураппсция Эйлера — Пуассона, Кирхгофа и др.), крома вырожденной пуассоновой структуры (определяемой алгеброй с(3)), обладакьт иннариантной мерой.

Ее существование накладывает дополнительное условие на показатели Ковалевской. Действительно, иредположим, что система (7.1) допускает квази- однородный тензорный инвариант типа (н,О) й — й(х)ь1ад Л... Л г1к", й(С) тл О. а Тогда 2 р; = т. где т - кназноднородная степень й. Если й — стань=1 а а дартпая мора., то 2 р; = 2 р, :в частности, длп систем с одпородпыг=1 с=1 ми квадратичными правыми частями сумма показателей Ковалевской равна размерности системы я. Этот результат следует из рассуждений работы (87). З( 7. !1оио»отели »!онолснсиояь иитеерируежоссиь и еолилътоионость 67 Как отмечено в [91]» в однородном случае (9„= 1) показатели Ковалевской связаны с мультипликаторами периодических решений и их спарсппость для гамильтоповых систем будет следовать из тсоромы Пуанкаре- .Ляпунова о возвратности корней характеристического многочлена уравнений в вариациях. 4.

Примеры. Рассмотрим один вариант системы типа Лотки —— Вольторра (49, 304', который можно записать в виде системы х» = зц(а лтс е1 — В» 129 1), с = 1»..., и, (7.11) 10 — ги жн-~-1 — ж1; где с»„111 явлнются константами. Уравнении (7Л1) явллются обобщением интегрируемой периодической системы Вольтсрра, для которой мг = Д = сопит ]18]. Непосредственное вычисление показателей Ковалевской для системы (7.11) показывает, что опи удовлетворяют условиям спаренпости Рз + Р = Оь ЧтО (ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ СТЕПЕНИ КВаЗНОДНОРОДПОСтн) СООтветствует наличию квадратичного тензорного инварианта Ть».

Однако выполнения условия теоремы недостаточно для существования пуассон и новой структуры. При выполнении соотношения П ип = П Д уравнс1=1 1=1 ниЯ (7.11) имеют дополнительный линейный интеЩ»ал Š— (!ь л), ! Е ПР, а при условии сс, = »»1 система (7.11) действительно является гамильтоновой с ивадратичной скобкой Пуассона,»1» = Си»оцсе и линейным гамильтонианом. Такого рода системы более подробно рассмотрены в главе 5. В качестве другого примера рассмотрим обобщенную элдпчу Сус»!она, описывающуи» движение тн»келого твердого тела вокруг неподви»кной точки при наличии неголономной связи и»г = О ]79]. Уравнения движения системы при условии, что центр тяжести находится па главной оси, вдоль которой ыз = О имеют вид: лги»2 = — Е"!1 ь Аи»1 = е72: (7.12) 1 — и»27з~ »»г и»17з; Фз — 7»и»2 — 7ги»1, где 11,12 компоненты тензора инерции, е расстонние точки подвсса до центра масс.

Вычислопис показателей Ковалевской приводит к 68 Глава 1 следуюп1ей серии значений р =«. р, =«р,, = ««3««р«р«врр,)«, 1 ° р,=«, р,=«,р,,=',(р«,Л «в7;Р,). р, =-1 2. р« = —,(1«вр, + Езыз) + стз . (п 1 2 2 (7.1:1) после которой уравнении (7.12) можно переписать в форме уравнений Лагранжа [79) — — Е = Т вЂ” $«р «1г до«2 двр, « где 2 (11 в«1 + 12ь«2) р = « ~ (1«ь«1 + Езвр2)) ° (~ ° 14) Эти уравнения при 1«ф 12 пс являются интегрируемыми [66). й 8. Редукции пуассоновых структур 1. Понижение порядка — алгебраический аспект. Понижение порядка в гамильтоновых системах, обладающих симметриями восходит к классическим работам Эйлера и Якоби.

Симметрии в гамильтоновых системах, как правило, свнзаны с существованием первых интегралов. Их наличие позволяет редуцировать систему, то есть понизить число степеней свободы. Аналогичные по структуре, но более сложные выражения дзя показателей Ковалевской мол2но получить в обп1ем случае, когда положение центра тяжести и неинтегрируемая связь в теле никак не связаны [125]. Эти показатели Ковалевской такжо пс удовлетворяют условиям спаренности и, по-видигяому«поэтому система (7Л2) не может быть представлена в гамильтоновой форме.

(При 1« = 12 система является интогрируемой и аналогична случакр Лагранжа). Однако, этому не противоречит возможность представить уравнения (7.12) в гамильтоновом видо с помощью специальной замены, основанной на исклк2чонии 72 из интеграла энергии З 8. Редукции пуассолоеыл структур 69 Наиболсс изучена редукция Рауса, связанная с сущоствооаписм циклических интегралов и соответствующих им циклических координат.

Глобальное проведение редукции Рауса для канонической гамильтоновой системы, как правило, приводит к неоднозначным гамильтонианам и неточной форме гироскопических сил [129). По предложению Сурьо, для перехода к однозначному гамильтониану гироскопнческио силы вносят в скобку Пуассона, которая прп этом теряет каноническую форму (см. Х 5 гл. 2). Такое включение гироскопических сил в скобку, вызванное соображениями удобства, имеет более глубокое значение при проведении процедуры редукции на алгебраическом уровне (в дальней1пем под словом алгебраический мы будем понимать, как правило, полипомиальный или дробно-рациональный класс функций). Коли исходная система представлена в алгебраической форме с алгебраическим гамильтониапом и структурным тензором, то при редукции разумно преобразовывать гамильтониан и структурный тензор одновременно, не теряя их алгобраичоской формы.

Напомним, что целью алгебраизации (например. продставленно уравнений движения со скобкой Ли Пуассона и позиномназьным гамильтонианом) первоначальной канонической системы является достижение их простоты, возможности геометрического (топологического) анализа и применимость для исследовании условий интегрируемости в классе алгебраических функций. Проведение процсдуры редукции на алгебраическом уровне преследует тс же цели по отношению к приведенной системе, что позволяет в некоторых случаях обнаружить неожиданные изоморфизмы между различными задачами динамики.

Вели в капопичоском случао обязательным условном редукции было уменьшение числа степеней свободы и порядка системы уравнений, то в алгебраическом случае мы должны добиться лишь падения ранга пуассояовой структуры. При этом полное число уравнений может даже возрасти, тем не менее при ограничении редуцированной системы па симлсктичсский лист число псрсмоппых (и ураппспнй) осе раппа упадет. Все известные канонические редукции (в частности понижение порядка по Раусу., редукции по моменту (3., 4, 1б2)) могут быть проведены в алгебраической форме с последующим ограничением на симплектический лист.

70 Глава 1 2. Общая процедура редукции. Рассмотрим процедуру родукцни в общей форме, как составную часть некоторой общей идеи, развиваемой Ли н названной им теариеб функциональных групп (278). Софус. Ли первый указал на важность изучении наборов функций на пуассоновом многообразии, замкнутых относительно скобки Пуассона.