Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, страница 11

Пгнмнг 4. Примером. когда вторая пуассонова структура всегда согласована с первой. являьотся трсхмсрпью систомы. В работе [305] было сделано следующее несложное наблюдение: Теорема 6. Трехмерная система днффгренлиальпых уравнений х = |(х) япляегася бигампльтоновой системой пюгда и пьолько тогда, когда сущвствусот два (почпт всвду) функционально независимых инснггрола двихсен ил. Доказательство. Структурный тензор по двум независимым иатегралам движения К и П строится следуюьцнм образом. Я силу того, что векторное поле Е(х) лежит на ннвариантных многообразиях, определяемых иатег- 5 ое.

Бигаоиили>ионова виетелм оеЗ ралами К(х) = соизг и Н(х) = сопз1, оно ортогонально векторам ИК и >1ЕЕ. Повтому х = Е(х) = >в(х)ЙК х ЙЕЕ = ".)(') = -Н> Кг О К = га(х) — Кз 1) Кг -К> Π— Н = га(х) Иг Π— Нг Н> (5.17) где гп(х) — скалярный множитель> К, = ., Н; = ~ дт' ' дт' Ыатрицы Π— Нз Нг Π— Кз Кг >п(х) ЕЕз Π— ЕЕ>, п>(х) Кз Π— К> — Нг ЕЕ> Π— Кг К> О задают два структурных тензора, как несложно проверить, согласован- ных. Смысл скалярного мнояогтеля т(х) состоит в том, что форма е(к Л ег>г >т г>к га(х) задает инвариантную форму объема. Отметим, что в видо (5.!7) мо> ут бьггь представлены трехмерныс системы. возникающие в механике НамГ>у [2О5), которан, таким образом, в трехмерном случае сводится к гамнльтоповой механикс с вырожденной скобкой Пуассона.

Пгимкг 5. Теорема 6 может быть распространена ва и-мерный случай для систем, имен>щих а — 1 независнмых первых интегралов. Однако, такая ситуация являетсн сильно вырожденной и редко встречается в прильчкспнях (как н соотвстствуи>щис а-мсрпыс системы Памбу> для которых до сих пор не найдено ни одного содержательного примера). При рассмотропии семейств функциональных определителей в известном учебнике анализа М1. Ш.

Валле-Пуссеном было доказано следующее утверждение [41). о4 !йава ! Теорема 2 (Валле-Пуссен). Ясли система зи = е;(х). (5.18) 1= 1,...,н (5.19) д(жы лз,..., л„) Поскольку любая система (ог.20) х = ъг(х), обладающая теми жс интегралами движения, что и (о.18) имеет одни н те жс траектории, но возможно различные законы движения по ним, то векторные поля т(х) и тг(х) совпадают с точностью до множителя т = рта. Прн этом функция р л явлнется плотностью инварнантпой меры системы (5.20). Определим скобку Пуассона, заданную независимыми функциями ° °,де — г по формуле (Г, С)де~ Л...

Л дж„= —,д)) Л... Л ду з Л йР' Л дС., (5.21) где Е., С произвольные функции, а ~ы..., 1е з нвляютсн функцилми Казимира скобки (о.21). Система (о.2(1) явлнстсн мультигамильтоповой с п — 1-параметрической скобкой Пуассона вида (Е С) л, ...л„, дхл Л..., Лдл„= —, ( Лс 4з Л... Л сК„, Л ЙЕ Л ЙС+... —: 12 + Л„г д)~ Л... Л с() в з Л дЕ Л дС) . (5.22) Соответствукнпее семейство гамильтонианов имеет вид ЛлУз т "+ Л -~У -л Лз- ... Лз е — с Л, — сопз1, а множитель р находится из заведомо выполненного условия т =- рте. Ранг скобки (5.22) равен двум.

Из этого. в частности следует, что для пес спраосдлиоо тождество Якоби. с нулевой дивергенцией Йтт = 0 обладает в — 1 независимыми интег- ралами двигленил )л(х),..., гв л(х), то она представимо в виде апре; делателей З о. Бигамиаътоиооы системы 55 Пгимкг 6. В качестве примера, иллюстрирующего теорему 6, рассмотрим трехмерную систему типа Лотки Вольтерра (34). М1 =- ГЗМ1(МЗ вЂ” Мз), МЗ:- 1 ЗМЗ(Мз — М,), ГЗ = сопзв Мз — Гзмз (М1 М2) (5.23) Как будет показано в гл. 4, эта снстома траокторпо изоморфпа задаче о движении трех точечных вихрей в идеальной жидкости. Она имеет интегралы 7"1=~~1 Г; ЗМб ХЗ=~ Г; ")пМ; (5,24) и дво соответствующие им согласовапныо пуассоповы структуры (М М12 "' е уьГ1ГЗМЗМ2МЗ (Ме М )' = еЗ,ЗГ1Г,МЗМ;.

(ое 25) Обо эти структуры (одна из которых кубична, а другая кведратична) но являются структурами Ли Пуассона. Оказывается, что и перваи (кубическая), и вторая (квадратичная) пуассоновы структуры допускают обобщение на них могут быть представлены различные варианты многомерной системы Лотки — -Вольтерра (см. 24, гл. 5). Пгимнг 7. Рассмотрим вопрос о гамильтоновости системы х1= и1(~~1 жь — 2т1), 1', = 1....,п, (5. 26) 2=1 Ф = ~~ оокЗж., ~ои = 0 Зфа и интегрируется в тэта-функцннх.

По теореме С прн в = 3 система (5.26) является бигамильтонооой с двумя согласовашпими скобками Ли — Пуассона (и обладает ипвариантной мерой). Несложные вычисления показывают (классификация которая также принадлежит к классу систем тина Лотки Вольтеррв (см. З 4 гл. 5) и прн п = 3 была рассмотрена С. В. Ковалевской в письме к Г. Миттаг-Леффлеру (172).

Она показала. что в этом случае система обладаог двумя независимыми квадратичными иптограламн вида раааа 1 В 6. Уравнения Пуанкаре — Четаева 1. Уравнения Пуанкаре. Рассмотрим уравневия движения лагранжевой динамической системы. определенной обобщенными избыточными координатами ды..., ен (вообще говоря. зависимыми. то есть наложены гп < и голономных связей вида Д(с1) = О, 1 = 1,..., гя) п квазискоростями ыы ..,,ыь, которые выраа1аются через обобщенные скорости по формулам у, = ~е,'(а)ы,, = 1,...,п; з =1,...,йг (6.1) Ю При этом предполагается, что все голопомпыс связи учтены, то есть (17Д:с1) = ~~~ 'е;(с1)ыз. ' =-О, 4'=1,...пз. ПД д% й В случае й > а это условие приводят к тому, что между князискоростями выполнены липсйпыс по ай соотношения.

Величины ы, называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы и псголопомпом базисо векторных полей о д ' ага (6.2) Бьянки (61]), что каждая скобка пучка изоморфна алгебре ао(2,1), а уравнония (5.26) представляют собой некомпактную версшо вращения свободного твердого тела. При п, = 4 система (5.26) обладает тремя независимыми квадратичными интегралами вида г1 - (хз — хз)(хг — хл), гз - (хг — хз)(хз — хк) т'з —— (х1 — х4)(хз — хз). По теореме 7 в этом случае система является мультигамнльтоновой с линейными скобками Пуассона.

При и > 4 вопрос об интегрируемостн, гамильтоновости н существовании ннвариантной меры системы (5.26) остается открытым. Ыожно только показать, что прн и > 4 больше не существует ни одного квадратичного иптограла (а стало быть н структуры Ли — Пуассона). Том пс менее, все показатели Ковалевской (см, з 7) являются рациональными, что вообще говоря. не препятствует интегрируемости. 4 о.

Уравяекян Пуанкаре — Четсево Предположим, что векторные полн образуют замкнутую систему (6.3) [о', а' [ = су(Ч)о". 1.1. л = 1,.... 1ь В случае й < п это условие нвляется следствием интегрируемости связей [61[. Если всс с,"" явлнются постоянными, то поля о' определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения двилгенпя в переменных (ды ..., дьч ьп,...,ыь) в лагранжевой форме были полученгз Л.Пуанкаре [607): — с,'.;щ„, + о'(1), 1 = 1,...,Й., (6.4) где дифференцирование вдоль векторного поля о' определено с помощью формулы (6.2). 2. Гамильтонова форма.

Уравнения Пуанкаре — Четаева. П, Г. Четаев преобразовал уравнения Пуанкаре [164), введя новые перемоппыс М; = НЦдьь (квазиимпульсы) и осуществив преобразование Лежандра: ;М„. — А [...,м= 11(М,...., Мь, дг, ..., д„). (6.5) При этом ьй = дН/дМг и уравнения (6А) можно записать в виде: ЛХ; = ~с„", ̄— о'(Н), 1=-1,...,й. (6.6) Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (6.6) уравнения (6.1): Система уравнений (6.6), (6.7) нвлнется гамильтоповой, вообще говоря, с выролгденной скобкой Пуассона, определяемой длн произвольных функций 1'(М,Ч), я(М.,с1) формулой [143., 164) Глава 1 Нетрудно проверить, что эта скобка удовлетворяет всем необходимым условиям ~1. Из соотношения (6.8) легко получить структурнукг мат- рицу,УО: (М.М1) = ЕФЧ)мг [уп щ) —.

О, (уб Мг) .= гг~(Ч). (6.9) '!'аким образом„компоненты У, в общем случае, являются нелинейными функциями (хотя и линейны по квазиимпульсам М;). Наиболос содоржатсльпымн в динамика яолпются примеры, когда структурный тензор с! не зависит от координат.

Обсудим наиболее типичные ситуации. 3. Уравнення Пуанкаре — Четаева на группе Лн. Пусть конфигурационное пространство системы группа Ли. тогда удобно в качестве базиса векторных полей в' (6.2) выбирать левоинвариантные вскторньк. поля из ее алгебры Лн. Прн этом тензор сь, нс зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли.

Скобка (6.8) при этом опродоляст так называемую каноническую структу ру на кокасатсльном расслоении с базой -- группой Ли. Если гамильтониан 11 не зависит от рлг (вг(Н) = 0), то уравнения длн Мы..., ЛХь замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции (константы с,'; определяются алгеброй во(3)). Для произвольной алгебры со структурными константами с,' такого рода уравнения с квадратичным гамнльтонианом цазываютсн уравяеягтлги Эйлера — Пуанкаре. Если гамильтопиап П зависит от координат, по удастся выбрать избыточные координаты такг что все компоненты левоинварнантных полой и„"(с1) линейны по Ч, то скобка (6.9) становится обычной скобкой Ли Пуассона, а все связи будут ее функциями Казимира или пнвариаптнымн соотношениями.