Bessonov1 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 8

С помощью схемы рнс. 2.14,6 (нсточннк ЭДС удален, н зажимы сд закорочены) найдем токи в ветвях от действия источника тока: кз 6 1'1 — — 1 = 5А; 1'~ — — 1', = 5 = ЗА; 1'з — — 2А. — — — 4+6 з Используя схему рнс. 2.14, в, подсчитываем токи в ветвях от действия источника ЭДС (зажнмы аЬ разомкнуты, так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности): =0; 1" =1" =Е/(Я +Я =2А. Результнрующне токи в ветвях вычислим, алгебранческн суммируя соответствующие частичные токи этих двух режимов: 11 —— 1'1 + 1" ~ — — 5 + 0 = 5А; 1~ — — 1'~ — 1"~ — — 3 — 2 = 1А; 1з — — 1'3 + 1"з — — 2 + 2 = 4А; (р, = ~р~ + 1ф~ + 1,й,; 11,~ — — ! 4 + 5.2 = 14 В.

Мощность, отдаваемая в схему источником тока, 11 1 = 14 5 = 70 Вт. Мощность, отдаваемая в схему источником ЭДС, Е1з = 20 ° 4 = 80 Вт. Уравнение баланса мощности 1101+ 1ф~+ 1зйз сца1+ Е1з. 2 2 2 $2.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивление. На рис. 2.15,а изображена так называемая скелетная схема пассивной цепи.

На ней показаны ветви и узлы. В каждой ветви имеется сопротивление. Выделим в схеме две ветви: т и Й. Поместим в ветвь т ЭДС Е (других ЭДС в схеме нет). Выберем контуры в схеме так, чтобы Й-ветвь входила только в Ф-контур, а т-ветвь — только в т-контур ЭДС Е вызовет токи в ветвях й и т. 1,=Е д,; 1 =Ед (2.8) (2.9) (2.10) О =Л /Л. По формуле (2.10) д „может получиться либо положительной, либо отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что ЭДС Е, направленная согласно с контурным током в т-ветви, вызывает ток в Й-ветви, не совпадающей по направлению с произвольно выбранным направлением контурного тока 1, по й-ветви.

При опытном определении д и д„в т-ветвь схемы (рис. 2.15, б) включают источник ЭДС Е, а в й-ветвь — амперметр (миллиамперметр). Поделим ток 1, на ЭДС Е и найдем значение д, . Для определения входной проводимости ветви т(д ) необходимо изме- ' Входные и взаимные проводимости ветвей можно определить и иначе: входная проводимость т-ветви — это коэффициент пропорциональности между током и ЭДС этой ветви (при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы); взаимная проводимость ветвей А и т — коэффициент пропорциональности между током л-ветви и ЭДС т-ветви при отсутствии ЭДС в друтих ветвях схемы.

Коэффициенты д имеют размерность проводимости. Коэффициенту с одинаковыми индексами(д ) называютвходной проводимостью ветви(ветви т). Он численно равен току в ветви т, возникшему от действия ЭДС Е = 1В (единичной ЭДС): 1.= 1д.. Коэффициенты д с разными индексами называют взаимными проводимостями. Так, д„есть взаимная проводимость в- и т-ветвей. Взаимная проводимость д, численно равна току в А-ветви, возникающему от действия единичной ЭДС в т-ветви'. Входные и взаимные проводимости ветвей используют при выводе общих свойств линейных электрических цепей (см.

$2.! б и 2.18) и при расчете-цепей по методу наложения [см. формулу (2.7)1. Входные и взаимные проводимости могут быть определены расчетным и опытным путями. При их расчетном определении составляют уравнения по методу контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные проводимости которых представляют интерес, входили каждая только в свой контур. Далее находят определитель системы Л и по нему необходимые алгебраические дополнения: Рис.

2.16 (2.11) й„„=Е /1 =1/д =Л/Л Таким образом, входное сопротивление гп-ветви есть величина, обратная входной проводимости этой ветви. Его не следует смешивать с полным сопротивлением т-контура в методе контурных токов. Пример 15. Определить входную д11 и взаимную д12 проводимости в схеме рис. 2.13. Р е ш е н и е. Контуры в схеме рис. 2.13 выбраны так, что ветвь 1 (ветвь сЬт) с источником ЭДС Е1 входит только в первый контур, а ветвь 2 (ветвь са) с источником ЭДС Е, — ° рой.

Поэтому можно воспользоваться определителем системы 1ъ и алгебраическими дополнениями 611 и Ь12, составленными по данным примера 13: ~12 й'12 — ~— 25 — — ж 0,025Ом = 0,025См, 1009 '~п ~11= ~ 81 — — ж 0,0810м = 0,081См, 1009 ф 2.16. Теорема взаимности. Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в я-ветви, вызванный источником ЗДС Е, находящимся в т-ветви, 1» = Е д равен току ! в т-ветви, вызванному источником ЭДС Е,(численно равной ЭДС Е ), находящимся в й-ветви, 1 = Ещ». Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис.

2.15,а. Как и при выводах в ф 2.15, выделим две ветви схемы: ветвь я рить ток в т-ветви, вызванной ЭДС Е . Частное от деления тока т-ветви на ЭДС т-ветви и дает д Выделим т-ветвь, обозначив всю остальную часть схемы (не содержащую ЭДС) некоторым прямоугольником (рис. 2.16). Вся схема, обозначенная прямоугольником, по отношению к зажимам аЬ обладает некоторым сопротивлением.

Его называют входным сопротивлением. Входное сопротивление т-ветви обозначим Я,„. Тогда Рис. 2.17 и ветвь гл. Включим в ветвь т источник ЭДС Е, в ветвь й — амперметр Л' для измерения тока 1„. Пусть каждая из ветвей й и т входит соответственно только в й- и т-контуры. Поэтому по методу контурныхтоков У, = Е Л, / Л. Поменяем местами источник ЭДС и амперметр, т. е. источник ЭДС переместим из ветви т в ветвь й и назовем теперь Е„а амперметр — из ветви й в ветвь т. В этом случае ток У = Е,й,/Л.

Так как Е„= Е, а Л = Л в силу симметрии определителя системы Л относительно главной диагонали (см. $ 2.13), то ток )' в схеме рис. 2,15, б равняется току 1„в схеме рис. 2.15, в. При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в схемах рис. 2.15, б,в. Так, если ЭДС Е„источника ЭДС, находящегося в й-ветви схемы рис. 2.15, в, направлена согласно с контурным током 1 в схеме рис.

2.15, б, то положительное направление отсчета для тока 7 в схеме рис. 2.15, в будет совпадать с положительным направлением контурного тока по ветви т (ЭДС Е в схеме рис. 2.15,в направлена по! ). Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыполнима. Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, называют необратимыми. Пример!6. В схеме рис.2.17 переключатели Рь Р~, Рз и Р4 могут находиться в первом или во втором положении.

Если они находятся в положении 1, то в схеме включен только один источник ЭДС Е4. Под действием ЭДС Е4 протекают токи 6 = =1,5 А, !~ = 3 А, 1з = 1А. Найти ток й~, если все переключатели находятся в положении 2, полагая, что Е1 = 20 В, Ер = 40 В, Ез = 50 В, Е~ = 10 В. Р е ш е и и е. Для определения тока!4 воспользуемся принципом наложения и принципом взаимности. Если бы в схеме был включен один источник ЭДС Е1 — — 1О В, 1 Амперметр включаем только для наглядности; сопротивление амперметра полагаем равным нулю. Рис. 2ЛЗ а остальные (Е2 н Ез'1отсутствовалн, то в ветви 4 по прннцнну взанмностн протекал 1 бы сверху вниз ток в 1,5 А.

Так как ЭДС Е1 —— 20 В, то в нетвн 4 протекает ток, равный 1,5.20/1О = 3 А. Аналогичным образом найдем токи в ветви 4 прн вклвченнн источников ЭДС Е2 н Е н произведем алгебраическое сложение частичных токов (с учетом нх направлення): 20 40 50 = 1,5 — + 3 — — 1 — = 1ОА. 1О 10 10 ф 2.17. Теорема компенсации. Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораспределения сопротивление можно заменить 1) источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряжения на заменяемом сопротивлении и направлена встречно току в этом сопротивлении; 2) источником тока У, ток которого численно равен току в этом сопротивлении и имеет то же направление, что и ток 1.

Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с сопротивлением Й, по которой течет ток т', а всю остальную часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 2.18,а). Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противоположно направленных источника ЭДС Е, ЭДС которых равна падению напряжения на сопротивлении Й под действием тока 1 (Е = =И; рис. 2.18,6)„то ток 1 в цепи от этого не изменится.

Убедимся, что разность потенциалов между точками а и с в схеме рис. 2.18,6 при этом равна нулю. Действительно, гр, = (р„— !й + Е = гр„— ! К + !К = гр„. Если гр, = гр„, то точки а и с можно объединить в одну, т. е. закоротить участок ас и получить схему рис. 2.18, в. В ней вместо сопротивления И включен источник ЭДС Е. Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображена на рис. 2.18, г. Чтобы прийти к ней, заменим последовательно соединенные 1г и Е на участке ас(рис 2.18, 6) параллельным соединением источника тока У = Е/Я = ~ и сопротивления Й. Так как Номер ветви соответствует индексу ЭДС.

0„= О, то ток через К будет отсутствовать и потому Й можно удалить из схемы. Если ЗДС Е участка Ьс включить в состав источника тока, то получим схему рис. 2.18, Г, где напряжение (/„„= — И. Пример!7. На схеме рнс. 2.19, а даны значения Я(Ом), ЭДС Е~ (В) и токов 7(А). Заменить Яз источником ЭДС н источником тока. Р е ш е н н е. На рнс. 219, б изображена схема с источником ЭДСЕ = 2В, а на рнс. 2.19, а — с источником тока ( = 2А. (2.12) Аналогично, для р-ветви 1,=А,+Е д,. (2.13) Найдем Е из (2.13): = (~ — А„)/а и подставим в (2.12). Получим ~* — — а*+ Ь,/,, (2.14) где а, = А, — Ад,„; Ь, = д„ /д Коэффициенты а, и Ь, могут быть ~ О.

В частном случае либо а„, ( либо Ь„может быть равно нулю. 50 ф 2.18. Линейные соотношения в электрических цепях. Если в линейной электрической цепи изменяется ЗДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида у = а + Ьх. Функцию х выполняет ток или напряжение одной ветви, функцию у — ток или напряжение другой ветви. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно методу контурных токов, общее выражение для тока в й-ветви записывается в виде (2.?). Если в схеме изменяется только одна ЗДС, например ЗДС Е, то все слагаемые в(2.?), кроме слагаемого Е д,, постоянны и могут быть для сокращения записи заменены некоторым слагаемым А„. Следовательно, Рис.

2.20 Равенство (2. 14) свидетельствует о том, что при изменении ЗДС Е токи 1, и1 связаны линейной зависимостью. Из теоремы компенсации известно, что любое сопротивление можно заменить источником ЗДС. Следовательно, изменение сопротивления в т-ветви эквивалентно изменению ЗДС Е . Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами (2.14) имеет место при изменении не только ЗДС Е, но и сопротивления какой-то т-ветви. Если обе части (2.12) умножить на сопротивление 11-ветви 1т!, и проделать аналогичные выкладки, то можно убедиться в том, что напряжение Й-ветви линейно связано с током в р-ветви. Коэффициенты а, и Ь, из(2.14) и вдругих подобных выражениях могут быть найдены расчетным или опытным путем.

При опытном определении коэффициентов достаточно найти значения двух токов (соответственно напряжений) при двух различных режимах работы схемы и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте 1, = 1„и 1 = 1 „а во втором 1„= 1 2 и 1 = 1 2. Тогда 1„=а, +Ь,1„; /2 — — ! й2 ! й! р! 1р2/~р! Если в схеме одновременно изменяются ЗДС или сопротивления в каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме (токи, напряжения) связаны друг с другом линейным соотношением вида у =а+Ьх+сг. Доказательство этого соотношения проводится аналогично приведенному ранее.