Bessonov1 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 9

Прнмер 1В. На рнс. 2.20, а изображена схема, в которой выделены трн ветви. В ветвн 1 включен амперметр А !, в ветви 2 — амперметр А2. В ветви 8 нмеются ключ К н сопротнвленне 1?з. Если К разомкнут, то амперметр А ! показывает 1 А, амперметр А2 — 5 А. Прн замкнутом ключе амперметр А! показывает 2 А, а амперметр А2 — 4 А. Прн замкнутом ключе сопротивление 1?з изменили так, что показание амперметра А2 стало 4,5 А.

Каково показание амперметра А! в этом режиме? 51 Рис. 2.21 Р е ш е н и е. Выразим 1, через 12: 1, = а + Ь12. Составим уравнение для опре.,~нии а н Ь: 1 = а + 5Ь; 2 = а + 4Ь. Отсюда а = 6 н Ь = — 1. При 12 = 4,5 А;!1 = 6 — 4,5 ! = 1,5 А. Пример 19. В схеме рнс. 2.20, б сопротивление Р изменяется от нуля до бесконечности.

Вывести зависимость напряжения Ус,~ от напряжения У ь. 3 гХ Р е ш е н и е. При разомкнутой ветви аЬ Б ~ —— — гУ и 0 ь — — —. При коротком си 2 аь 2 3 4 замыкании ветви аЬ У ~ — — — гУ и У ь — — О. Отсюда а = — г3 н Ь = — Следовательно, са 4 аь 3 3 4 1 1'си = г1 + ь~аь. 3 3 ф 2.19. Изменения токов ветвей, вызванные приращением сопротивления одной ветви (теорема вариаций). На рис. 2.21, а выделим ветви 1 и 2 с токами 1, и 1, заключив остальную часть схемы вместе с источниками энергии в прямоугольник А (активный); проводимости д„и д22 полагаем известными.

Пусть сопротивление ветви 2 изменилось на Лй (рис. 2.21, б), в результате чего токи стали 1, + Л1, и 12+ Л12. В соответствии с теоремой компенсации заменим ЛЯ на ЭДС ЛЕ = ЛР(12+ М2), направленную встречно току 1,. На основании принципа наложения можно сказать, что приращения токов Л1, и Л1 вызваны ЭДС ЛЕ в схеме рис. 2.21, в, в которой часть схемы, заключенная в прямоугольник, стала пассивной (буква П). Так как схема внутренних соединений и значения сопротивлений в схеме прямоугольника остались без изменений, то проводимости дд и о22в схеме рис.

2.21, в имеют те же значения, что и в схеме рис. 2.21, а, Для схемы рис. 2.21, в имеем: Л1, = — ЬЕц, = — ддЛИ(1 + Л1); ~12 ~-~ЕЙ22 Я2211'5~2 + ~-~12) Знаки минус поставлены потому, чт ЭДС ЛЕ2 направлена встречно току 1 . Отсюда 422А1~ 2 Й!2А1~ 2 А12 ;М) — —— ~ + А11022 1 + А1~И22 (2.15) ф 2.20. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной. Расчет сложных схем упрощается при замене нескольких параллельно включенных ветвей, содержащих источники ЭДС, источники тока и сопротивления, одной эквивалентной ветвью.

Участок цепи рис. 2.22, б эквивалентен участку цепи рис. 2.22, а, если при любых значениях тока 1, подтекающего из всей остальной, не показанной на рисунке части схемы, напряжение на зажимах а и Ь (У„) в обеих схемах одинаково. Для того чтобы выяснить, чему равняются й, и Е„составим уравнения для обеих схем. Для схемы рис.

2.22, а ~, +~,+/а+.1,+~,=~, но ~'1 = (Е~ — ~/.ь)Ф1 = (Š— ~-~.ь)И1 12 (Е2 ~' аЬМ2 (2.16) Соотношения (2.15) позволяют определить изменение токов в ветвях 1 и 2, вызванные изменением сопротивления в ветви 2. Пример 20. В схеме рис. 2.21 д22 = 5/26 См, д1~ = 3/26 См. Токи 11 = 7 А, 1а = ЗА. Определить токи 1~ и 1~ после того, как сопротивление второй ветви возросло иа Лй = 1 Ом.

Р е ш е н и е. По формулам (2.15), Ы ~ — — — 0,29 А, Л1~ —— — 0,483 А: 11' — — 1, + И1 — — 6,71 А, 1~' — — 1~ + Л1~ = 2,517 А. Следовательно, и л !! л ~ =,'Г1» =~,~ »К» + ~~» К»~~я» (2.16а) »=! »=! где и — число параллельных ветвей с источника ми ЭДС, !7 — число параллельных ветвей с источниками тока. Для схемы рис.

2.22, б 1=Е,д, — У„д„ где д, = 1/Й,. Равенство токов 1 в схемах рис. 2 22, а, б должно иметь место при любых значениях У„», а это возможно только в том случае, когда коэффициент при У„»(2.17) равен коэффициенту при У„в (2,!6а). Следовательно, Если слагаемые с У» в(2.16а) и(2.17) равны и токи У по условию эквивалентности двух схем также равны, то л Ч ~;Ед»+~ У»=Е,д„ »= ! »=! откуда т е»д»+ ~ 1» »=! »=! Е = э л ,'у (2.19) Формула (2.18) дает возможность найти проводимость д', и по ней й, в схеме рис. 2,22, б, Из этой формулы видно, что проводимость д, не зависит от того, есть в ветвях схемы рис. 2.22, а ЭДС или нет.

При подсчетах по формуле (2.19) следует иметь в виду следующее: 1) если в какой-либо ветви схемы ЭДС отсутствует, то соответствующее слагаемое в числителе (2.19) выпадает, но проводимость этой ветви в знаменателе (2.19) остается; 2) если какая-либо ЭДС в исходной схеме имеет направление, обратное изображенному на рис. 2.22, а, то соответствующее слагаемое войдет в числитель формулы (2.19) со знаком минус. Ветви схемы рис. 2.22, а, б эквивалентны только в смысле поведения их по отношению ко всей остальной части схемы, не показанной на рисунке, но они не эквивалентны в отношении -мощности, рис. 2.23 0,5+ 0,25+ 1+ 0,2 1 Я 4 ~ Еж — ~ Е,— (1Π— 30)0,5 — 40.

0,25 + 60. 1 — 6 — — 18,4 В. 1,95 Таким образом, для эквивалентной ветви рис. 2.22, 6 Я, = 0,513 Ом; Е, = 18,4 В. ф 2.21. Метод двух узлов. Часто встречаются схем ы, содер жа щие всего два узла; на рис. 2.23 изображена одна из таких схем. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Расчетные формулы этого метода получают на основе формул (2.16а) и (2.16); их также можно просто получить из более общего метода — метода узловых потенциалов (см. ф 2.22).

В отличие от схемы рис. 2.21, а ток Г к узлам а и Ь схемы рис. 2.23 не подтекает. Поэтому если в формуле (2 16а) принять! = О, то из нее может быть найдено напряжение между двумя узлами: 55 выделяющейся в них. Качественно поясним это. В ветвях схемы рис. 2.22, а токи могут протекать даже при 1 =0, тогда как в ветви аЬ рис. 2.22, б при ! = О ток и потребление энергии отсутствуют. Пример 21. Заменить параллельные ветви рис.

2.22, а одной эквивалентной. Дано Е!' = 10 В; Е1" = 30 В;Еа = 40 В;Еа = 60 В;й! = 2Ом;йд = 4Ом; Яз = 10м; Я4=5Ом;У=6А. Р е ш е н н е. Находим: д~ = 0,5 См; д~ = 0,25 См; да = 1 См; д4 = 0,2 См; ~Еа~+ ~7~ иЬ И~ (2 20) После определения напряжения (/, находят ток в любой (и-й) ветви по формуле 1„= (ń— И„)д„. Пример 22. Найти токи в схеме рис. 2.23, и сделать проверку баланса мощности, если Е = 120 В, Ез = 50 В, й1 = 2 Ом, йз = 4 Ом, йз = 1 Ом, Я4 = 10 Ом.

Р е ш е н и е. Определим токи в схеме рис.2.23: 120.0,5 — 50 1 10 0,5+ 0,25+ 1+ 0,1 1,85 7 ~ —— (Е ! — И ьЯ К, = (120 — 5,4)/2 = 57,3 А", 7з — — (Ез — У, )/й~ — — (Π— 5,4)/4 = — 1,35 А; з= 554А'!4= 054 А В схеме потребляется мощность Ф + Ф~з + 1~~Яз + Г4~й4 = 57,3з 2 + 1,35з 4 + 55,4з-! + 0,54з 10 = 9647 Вт. Источники ЭДС доставляют мощность Е!7! — Ез7з — 120 57,3+ 50 55,4 = = 9647 Вт. ф 2.22. Метод узловых потенциалов.

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Допустим, что в схеме и узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т.

е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается спдоп — 1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 2.24, которая имеет довольно большое число ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. принять ср4 — — О, то необходимо определить потенциалы только трех узлов: ~р,, ~р,, трз. Для единообразия в обозначениях условимся в ф 2.22 токи писать с двумя индексами: первый индекс соответствует номеру узла, от которого ток утекает, второй индекс — номеру узла, к которому ток подтекает. Проводимости ветвей также будут снабжаться двумя индексами.

Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничего общего Рис. 2.24 или Ю4' — Ь вЂ” Ч')1а ' — 1Е и' — Ь вЂ” Ма "+ 10 — (Ч'! — Ч'))Х Ха "' — 1Е ' — (Чг — Ч!)1а '+ +1Е2! (% %)Ы'!2 + 1Ез! (Ч1! Ч'з)Ы1з = О.

Перепишем последнее уравнение следующим образом: Ч'1 !1 + ~!'2 12 + Ч~З !3 11~ (2.21) где ~11= И4! + й!з+ Й!2 + И4! + Й!2 + 012 6!2 = (Й'!2 + К!2 + И!2 )' ~1з = Й'!з' ~!! = Е4! И4! + Ез1Й'з! + Ег! 'Иг! Е!4 Й'4! Е12Й'!2- Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема имеет и узлов, то ей соответствует система из п — 1 уравнений: Ч!1~!1+ Ч!26!2+ . + Ч! — 1!-'1, — ! = "!!1; Ч!!62! + Ч!2622+ " + Ч'и — Фг,» — ! = "22! (2.22) '4'1 и — 1,1 + Ч!2 и†1,2 + ' + %п — 1 и†1,п — 1 и — !,и — 1' с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рассматривались в $ 2.15. В соответствии с обозначениями токов на рис.

2.24 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла: ~41 ~14 + ~21 ~12 + ~21 + ~З! В общем случае 6, — сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле А; 6, — сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы Й и и, взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока й-узла У„„участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС Е р-ветви направлены к Й-узлу, то ее вклад в формирование У„равен Е,д,, а если эта ЭДС направлена от й-узла, то ее вклад составляет — Ед,.

Если к й-узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в У„, со знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в У„„со знаком минус. После решения системы (2.22) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. В том случае, когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед составлением системы уравнений по методу узловых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить в соответствии с приемом, рассмотренным в Э 2.24. Система уравнений (2.22) может быть представлена в матричной форме записи: и1ы = 1у.1 (2.22а ) гР! Ч~2 611 612 ' 61.п — 1 21 22 2,л — 1 !61 = 6 6 ...