С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 12

)оз) Число ств- пвввя свободы У Числа ст». пенья свободы Г Уравня тпвавмаств Р Уравня внвчнмсатя р О,ге 0,05 0,025 О,О1 0,05 0,025 0,01 0,10 1,412 1,689 1,869 1,996 2,093 2,172 2,237 2,294 2,343 2,387 2,426 2,461 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1,414 1,710 1,917 2,067 2,182 2,273 2,349 2,414 2,470 2,5 19 2,562 2,607 1,406 1,645 1,79! 1,894 1,974 2,041 2,097 2,146 2,190 2,229 2,264 2,297 1,414 1,723 1,955 2,130 2,265 2,374 2,464 2,540 2,606 2,663 2,714 2,759 13 14 15 !6 !7 18 19 20 21 22 23 2,326 2,354 2,380 2,404 2,426 2,447 2,467 2,486 2,520 2,537 2,493 2,523 2,551 2,577 2,600 2,623 2,644 2,664 2,683 2,701 2,717 2,638 2.800 2,670 2,837 2,701 2,87! 2,903 2,932 2,959 2,984 3,008 3,030 3,051 2,728 2,754 2,778 2,801 2,823 2,843 2,862 2,880 3,071 59 (0)— (0)— (о)— (0)— (о)— (о)— (о)— (4)— (4)— (4)— (4)— (4)— (4)— (2)— (2)— (2)— (2)— (2)— (1)— (1)— (1)— (1)— (5)— (5)— (5)— (3)— (3)— (б)— П) = (6) =- (3) = (5) = (1) = (2) = (4) — —.

(7) = (6) == (з) = (5) = (1) = (2) = (7) = (6) =- (з) = (5) = (П вЂ”вЂ” (7) = (6) = (3) = (5) == (7) =- (6) = (3) == (7) = (6) =— (7) =- 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 3,0 3,09 3,12 3,21 3,25 3,29 16. Проверка однородности результатов измерений. Грубые измерения являются результатом поломки прибора или недосмотра экспериментатора, и результат, содержащий грубую ошибку„резко отличается по величине. На этом основаны статистические критерии оценки и исключения грубых измерений. Наличие грубой ошибки в выборке значений случайной величины Х нарушает характер распределения, изменяет его параметры, т. е. нарушается однородность наблюдений.

Поэтому выявление грубых ошибок можно трактовать как проверку однородности наблюдений, т. е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборки хо хз,...,х„получены из одной и той же генеральной совокупности, Будем по-прежнему полагать, что случайная величина подчиняется нормальному распределению. Для решения этой задачи предложено несколько методов.

Имеется выборка хо х,, „х„значений случайной величины Х Пусть х,„Гх„,) — наибольший (наименьший) результат измерения. Величины имеют специальное распределение, которое Зависит только <и числа степеней свободы 7"=-л — 2 В табл. 2 приведены значения р(п') для уровней значимости р -0,10; 0,05; 0,025 и 0,01 при числе степеней свободы от 1 до 23. Величина х „ бхппа) исключается из выборки как грубое измерение (на уровне значимости р), если определенное по формулам (П.102) и (П.103) значение о или о' окажется больше табличного. т а б л н ц а 2 Значения а (вэ дая различных уровней значимости Если сомнение вызывают два или три элемента выборки, поступают следующим образом. Для всех сомнительных элементов вычисляют р(ртХ и исследование начинается с элемента, имеющего наименьшее значение о(гу).

Остальные сомнительные элементы из выборки исключаются. Для этой уменьшенной выборки определяют х, з и новое значение РГр') для исследуемого элемента. Если исследуемый элемент является грубым измерением, еще с большим основанием можно считать грубыми измерениями ранее исключенные элементы, Если исследуемый элемент не является грубым измерением, его присоединяют к выборке и начинают исследовать следующий по величине оГр') элемент выборки, при этом снова вычисляют новые значения х, х и т. п.

Пример 12. При пятикратном определении степени извлечения алкалоидов из растительного сырья получено срелиее значение степени извлечения х — 851ь причем з„-29,. Максимальное значение 9231, полученное в одном из параллельных опытов, вызывает сомнение Проверить, не является ли значение степени извлечения, равное 929Ь грубым измерением. Р е ш е н и е по формуле (п.102) определены г для сомнительного злемента. 92 — 85 7 2 у'475 2 .

0,895 По табл. 2 находим для!"= л — 2-3 гем — 1869 и ~ -3 9> ге за. Следовазельно, на уровне значимости р-0,05 значение степени извлечения, равное 92нь надо считать ошибочным, его слелуег нз выборки исключить и заново пересчитать Х н з„. 17. Сравнение выборочного распределения н распределения генеральной совокупности. Проверку гипотез относительно параметров распределения генеральной совокупности проводили в предположении нормального распределения наблюдаемой случайной величины.

Гипотезу о нормальности изучаемого распределения в математической статистике называют основной гипотезой, Проверку этой гипотезы по выборке проводят при помощи критериев согласил. Критерии согласия применяют для проверки гипотезы о предполагаемом виде закона распределения. Критерии согласия позволяют определить вероятность того, что при гипотетическом закопе распределения наблюдающееся в рассматриваемой выборке отклонение вызывается случайными причинами, а не ошибкой в гипотезе. Если эта вероятность велика, то отклонение от гипотетического закона распределения следует признать случайным и считать, что гипотеза о предполагаемом законе распределения не опровергается. Вероятностный характер критериев не позволяет однозначно принять или отвергнуть проверяемую гипотезу, Критерий позволяет утверждать, что гипотеза не противоречит опытным данным, если вероятность наблюдаемого отклонения от гипотетического закона велика, или что гипотеза не согласуется с опытными данными, если зта вероятность мала.

Чаще всего используется один из двух критериев согласия: критерий Пирсона (критерий Хг) и критерий Колмогорова. Для применения критерия Хз (хи-квадрат) весь диапазон изме- пения слУчайной величины в выборке объема л разбивается на к интервалов.

Число интервалов 1г берут обычно в зависимости от объема выборки в пределах от 8 до 20. Число интервалов можно определить по полуэмпирической формуле (П 24). Число элементов выборки, попавших в 1-й интервал, обозначим через л,. Построенная гистограмма (см. гл. П 1) выборочного распределения или общие соображения о механизме возникновения случайной величины служат основанием для выбора типа закона распределения. Параметры этого закона могут быть определены или из теоретических соображений, или нахождением их оценок по выборке. На основании принятого закона распределения вычисляются вероятности р, попадания случайной величины Х в 1-й интервал Величина, характеризующая отклонение выборочного распределения от предполагаемого, определяется формулой а (л, — лр!)' Х -'=Х (1!.!04) лр! з=! где )г — число интервалов; л — объем выборки.

Сумма (П 104) имеет приближенно Х'-распределение с 2'= уг-с — 1 степенями свободы, где с — число параметров гипотетического закона распределения, определяемых по выборке. Для нормального распределения с-2, если и х, и вк определяются по данной выборке. Гипотеза о принятом типе закона распределения принимается на данном уровне значимости р, если уа (. г (11.! 05) х ~!- (:*) — ь ~ — ' (1!.106) При подсчете теоретических вероятностей р, нужно считать, что крайний левый интервал простирается до —; крайний правый— до+' . Для применения критерия согласия Колмогорова необходимо определить наибольшее абсолютное отклонение выборочной функции распределения Р„Гх) от генеральной РГх)г 61 где Хз г определя!отея по табл, 4 приложения для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы 1: Если Х' )Х' з-ю делается вывод, !то гипотеза не согласуется с выборочным распределением.

При использовании критерия Хз желательно, чтобы объем выборки был достаточно велик: и) 50 —:150, а количество элементов лг ) 5 —: 8. Если какое-либо из и, < 5„то два или несколько соседних интервалов должны быть объединены в один. При этом соответственно уменьшается число степеней свободы. Ве о ероятности р, попадания значений случайной величины в г-й интервал для нормального закона распределения можно определить по формуле (1.64): (Н. !О» (3 =- гпах ~ Р„(х) — Р (х) ! За~ем вычисляется величина Л; Л=ул (3. (11.108) !Ае = Зс (!1.114) рг '! е 5 ла х и ~~)' (х! — х), (!1.115) и ис ! %1 и= — =— як ггкк 4 4 г=! (х; — х ) — 3.

(!1. 116) (11.1!7) 24л (л — 2) (л — 3) (л + 1)з(л + 3) (л + 5) (И. 118) (!1.109) )За и — — пьзх ( Го (х) — г» (х) ~, (11.1!9) (1!.!20) ! тг ! ~ 5 1/ (3 ( тг) 1 З» — х з! Р(х)=- — + Ф 1 — ) 2 3 (11.!!1) 63 В табл. 3 приведены квантили Л, „распределения Колмогорова. Та б л и па 3, Квантнлн распределенип Колмогорова Если вычисленное значение Л. меньше табличного )ь, р, то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения г(х) с выборочным )с;(х) не отвергается, При Л 2с)п „гипотеза отклоняется (или считается сомнительной). Уровень значимости р при применении критерия Колмогорова выбирают обычно равным 0,2 —:0,3 Критерий Колмогорова может быть применен также для проверки гипотезы о том, принадлежат ли две выборки объемов л, и л, одной генеральной совокупности, При этом величина ()„„„, определяется из выражения где Р„,(х) и )гп(х) — выборочные функции распределения, построенные для первой и второй выборок соответственно, а величина Л вЂ” по формуле (П.)!О) Для нормального распределения функция г(х) определяется по формуле В случае выборок небольшого объема и<20 для проверки гипотезы о законе распределения можно использовать простые критерии, основанные на сравнении генеральных параметров распределения и их оценок, полученных по выборке.