С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 13

В качестве оцениваемых параметров удобнее всего брать моменты. Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами — математическим ожиданием т„и стандартом и„. Все остальные моменты нормального распределения выражаются через математическое ожидание и стандарт. Для нормального распределения коэффициент асимметрии, определяемыи по формуле (!.28), равен 62 та=ив 'ег=о, (11.!!2) так как рз -0 Коэффициент эксцесса, определяемый по формуле (1.24), также равен нулю та= — — 3=0, Ра (П Д !3) о„ так как для нормального распределения Выборочные коэффициенты эксцесса и асимметрии определяются по формулам: Распределения этих оценок сложны и мало изучены. Однако известны дисперсии этих величин: 6 (л — 1) 12( т1) = (л + 1) (л + 3) где л — обьем выборки.

Зная дисперсии Р(~1) и 2)(уг), можно оценить, значимо ли выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса отличаются от нуля, Если то наблюдаемое распределение можно считать нормальным. Пример !3, Размер частицы никелевого катализатора замерен с точносгъю до ! мкм На выборке объема а-200 проверить, подчиняется ли распределение размероа частиц нормальному закону. В таблице приведены отклонения размеров частиц катализатора от номинального.

Результаты сгруппированы в !О ин гераклов длиной Л -б мкм Ре ш е н ие Проверим гипотезу нормального распределения размера частиц катализатора (случайная величина Х), определив коэффициенты асимметрии и эксцесса, Данные таблицы служат для определения выборочных среднего, дисперсии, третьего и четвертого центрального моментов случайной величины Х для сгруппированных лаипых по формулам. 10 1О 10 в « — « «> в х= ~~', р,х>, з = ~ч~~ р; (х( — х), ра= ~'.~, р( (х! — х), >=1 >=1 >'=1 Границы интервалов пр ып(О п>яп(х> — Р( >> пя(ф пр> 1,12 « 10 « р; (х! — х), >=! где ра — огносительная частота, определяемая по формуле (П 6).

Необходимые для рас. > чета ценные (суммы) приведены в таблице, Вероятности р> вычислены по формуле (164) В качестве параметров взяты их оценки; х-4,3 мкм, зх -2,7! мкм НапРимеР, дла втоРого интеРвала имеем Пг(х> — х>' (х> — Х>' р,'(х> — х> р(», — х (х> — Х>о (х> — хр — х .т = Ф ( — 1,472) — Ф ( — 1,987) = — 0,4292 + 0,4767 = 0,0475, Так как для первого и последнего интерваинтервала объединены в один, Величина >о и после умножения про -200 0,0475-9,5.

лов пр, <5 первых два и последних два определяется следуюшим образом. в Ъ~ (и> — пр!)* Х = йир пр! з=! Число степеней свободы (-8- 3-5. По табл 4 приложения Хо«,о«-11,1 Так как наи. денное по выборке Хо -6,236 <Хо,«о, то критерий Пирсона позволяет наблюдаемое распределение считать Нормальным Для применения критерия Колмогорова определены ршносги п>рп(х) — Р(х>! Дла данного спучаа по = шакп ! Рп(х) — Р(х) 1 = 83.

По фоРмУле (П 108) находим Х- пд (ч' и = 0,59. По табл, 3 дла УРовНЯ зНачимости Р = 0,2, Хо,о = 1, 07. Таким обРазом, наиденное г>о выборке 2-0,59 <Хо,о, и критерий Колмогорова тм(же позволяет считать рассматриваемое распределение нормальным — 114,2 25375 94,92 Суммы 4,295 В результате получим х — 4,30 мкм, з -971 мкм, д",— -114,2 мкмо, и,' — 25375 мкм" Определим коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам (П.115) и (П 116); Рз 7' = — =- — О,! 247, и их дисперсии — по формулам (П.П7) и (П!18): 7' = — — 3 =- — 0,1455 !'а а 4 зх, 18. Критерий согласия >Ог.

В отличие от критерия х Пирсона критерий шг (омега-квадрат) основывается на непосредственно полученных в эксперименте (несгруппированных) значениях случайной величины Х Пусть имеется выборка объема л случайной величины Х. Проверяется гипотеза о том, что функция распределения случайной величины есть Р(х). Построим эмпирическую функцию распределения Р„(х). Лля сравнения эмпирического распределения Р„(х) с предполагаемым теоретическим Р(х) рассмотрим величину ыз = ~ (Р„(х) — Р(х))з ЙР(х), (П.(2 1) Р(,)= " " =О,ОЮ; )('Р(71") =-0,17; (200+ П (200+3) 1 24 . 200 (200 — 2) (200 — 3) — 0,113; ( г) (200 -г 1)'(200 + 3) (200 + 5) (>' Р ( тг) =— 0,34.

Таким образом, имеем 3 ~/ Р ( 7,) = 0,51 и ( 71[ = — О,!247 < 3 )>> Р ( 71) , 5 ~/ Р( 7 ) =. 1,70 и ( т ) =- 0,1455 < 5 )>> Р ( тг) . предполагая, что Г(х) имеет производную, т. е. плотность вероят- ности Следовательно, наблюдаемое распределение можно считать нормальным Проверим полученный вывод при помоши критериев Пирсона и Колмогорова Составим для вычисления этих критериев таблицу.

бР(х) = Р' (х) бх=-) (х) бх. (11.122) 65 3-5 >9 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1Π— 17,5 — 12,5 — 7,5 — 2,5 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 -0,6125 -0,6875 — 0,56'>5 -0,3000 — 0,6125 1,5375 1,6250 1,4875 0,7875 0,4! 25 — 21,8 — 16,8 — 11,8 — 6,8 — 1,8 3,2 8,2 13,2 18,2 23,2 475,2 282,2 139,2 46,2 3,2 10,2 67,2 Г>4,2 331,2 532,2 -!0360 — 4742 — 1643 †3 -6 30 551 2300 6 029 12 487 225 853 79 659 19 388 2138 1О Ю5 4125 30 300 109 720 289702 17,43 15,52 10,44 5,54 0,78 2,09 8,74 14,81 11,59 7,98 — 362,6 — 260,8 — ! 23,2 — 37,7 — 1,5 6,2 71,6 195,5 2П,О 187,3 7904,9 4381,2 1454,! 256,6 2,4 21,5 587,7 2580,6 3840,2 4345,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .

— 15 -15 —: — 1О -10 -' -5 — 5. 0 0-.5 5 —: 1О 1Π—: 15 15+ 20 20+ 25 25 —:+ 7 и 15 24 49 4! 26 17 7 3 4,7 9,50 19,5 31,6 40,3 38,9 29,2 15,6 7,7 3,0 7 18 33 57 106 147 !73 190 197 й)О 4,7 14,2 33,7 65,3 105,6 144,5 173,7 189,3 19 >,О 200 2,3 0,7 8,3 0,4 2,5 0,7 0,7 0,0 0,0 1,18 1,81 1,87 0,11 0,20 0,002 0,001 т а б л и н а 4.

Квантнлн расяреяелення леу х, с к, < ха « ... к„ «! » — 1 е= ~ [Π— У(х)РЙЕ+ д а=! (и. !2з) +с [! — У(х»)Р [ ! Г ( «П а д Р 3 хтскас .. ° сх Таким образом, имеем + [! — У(к„)В (11. 124) (П. !26) утхтуеуак,уехахауа ... хту„. (11.!23) тв = тп/2 (11.!27) и дисперсией аа = т" (т+п — 1), !2 (П.128) 66 67 Преобразуем выборку в вариационный ряд и разобьем всю область интегрирования на интервалы: ( — со, х!), (хт, хД, ..., (х„т, к„) (х», +со). Тогда, принимая во внимание (П.120, получим «А+! + [ — — У(,)~ бр+ ~ [ — У( )1 У, Ге н «! «! « А+! а уа(х) 1 уа(х!) . !' Г 1! Уа(к) бр=в «, [ ( ) — — ~ "' [у( „,) — — ~ [у(,) — — ~ 3 Объединяя члены, зависящие от Г(хе) (с данным )г-[,2,,п), находящиеся в двух суммах (П,124), получим ! ! нет( 2~ — !1а а = — + — д [р («А) — — ~ .

!2' Д~ =1 Равенство (П.125) показывает, каким образом критерий ы' за- висит от отдельных членов вариационного ряда. Точное распреде- ление нэа очень сложно но исследования показали, что уже при 2 и) 40 распределение произведения пнэ„близко к некоторому предельному распределению, для которого составлены таблицы, По этим таблицам определены критические значения для величины поза. В табл.

4 приведены квантили ('пнэ~),, Если вычисленное значение пота меньше табличного (пнэа)е а то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения У(х) с выборочным Ре(х) не отвергается. При пнэ-.л('пнэа), гипотеза отклоняется, Уровень значимости р выбирают обычно равным 0,5, Критерий оэа полнее, чем критерий Пирсона, использует информацию, заключающуюся в данных выборки.

В группировке данных, которая производится при применении критерия Пирсона, имеется определенный произвол. Сама группировка приводит к некоторой потере информации, содержашейся в выборке. Кроме того, распределение пата значительно быстрее, чем Хе, сходится к предельному закону, особенно в области больших значенийнэа,которые только и существенны для вероятностной оценки. 19. Критерий Ввлькнксниа. Крнтернй Вилькокгона применяется для проверки гипотезы принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности Пусть имеются выборки случайных величин Х и У объема т и и.

Преобразуем выборки в вариационные ряды: Ут<уа« - У». Нулевая гипотеза Нс заключается в ранено~не функций распределения У(х) = У(у). Альтернативная гипотеза Н формулируется в виде неравенства Г~х) < Г(у). Критерий Вилькоксона основан на распределении общего числа инверсий, под которым понимается следующее: элементы обеих выборок располагаются в обшую возрастающую последовательность, например; Если какому-либо значению х предшествует некоторый у, то эта пара дает инверсию, Так, в последовательности (П.[26) х, дает одну инверсию с уи х дает три инверсии (суп уа иуа) и т д, При т) 10 и пМ) общее число инверсии и распределено приблизительно нормально с ма! ематическим ожиданием При уровне значимое~и У-005, согласно (П50), критическими значениями для нулевой гипотезы будут и т гля — 1,960„, и > т„+ 1,960„. (П.129) Г Ч . . .