Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах, страница 4

Согласно !2.4) получим после сокрашения па а слсдуюшу!о систему уравнений: 1 5Хэ+ Хз+ 0 5Хз+ 11Р = 0; Х, + 2Хз+ Хз + 141' = 0; 0 5Хэ + Хз + 1 5Хэ+ 5Р = О. 2! Решая эту систему уравнений при иомоши определителей, получим; В=2; О,= — 8Р; У,= — 12Р; 0,=4Р, Следовательно, Х1= — 4Р; Хб= — 6Р; Хз=+2Р. В соответствии с (2.5) найдем значения опорных реакций; 1'о = — 8Р; )'4 = О; Нб = 8Р. Обратим внимание па то, что все иайдсииыс реакции имеют определенное значение, так как О+ О. Если бы определитель канонических уравнений метода замены связей равнялся иугио, то реакции связей имели бы бсскоиечиыс значения, что, как и в статическом методе, свидетельствовало бы об изменяемости системы. Пример 2.22.

Определить усилия во всех стерэкиях шариириостсржисвой системы, изображенной иа рис. 2.22, а. б б б / Рис. 2.22 б Данная система имеет достаточное количество связей, чтооы быть геометрически неизменяемой, так как согласно (2.2) И= =2 ° 8 — (13+3) =О. Нетрудно убедиться, что выбраииая заменяющая система, изображепиая иа рис. 2.22, 6, является геометрически неизменяемой. В данном случае заменяю|цап связь (3-4) всего одна; поэтому определитель Ь будет выражен одним коэффициентом гги представляющим собои усилие в заменяющей связи 3-4 от сп,ты Х,=1. Найдем 5,, определяя попутно усилия в остальных стержнях.

Вырезая последовательно узлы 1, 2, 7 и 3 и у штывая симметричность системы, получим: ьб + ° ьб бг 1 2 ьб бб + 5,,=вэбб= — 1; 5,,=5,б=+) 2; 5 =5. =О; 5 =5 = — 1; 5 =г =+1. ог б.б ' л7 4-б ' лб и 22 Так как ги+ О, то система является геометрически неизменяемой.

Определим усилие в связи 3-4 от действия внешней силы. Посзупая аналогично предыдущему, получим: 5,.в = О; 5ьг =-5!.в =-О; 5,.в = 5,.г = О; Р Р Р Р Р 5вьв = 5,, ! =- О; 5г.г = 5в.в =- — Р; 5в-г =5в.в = — 1 2Р; 5 г =5ьв =+Р; 5в.! ==К!г — — +Р, На основе (2.4) определим; !!!г Х, = — — — — — Р. гп В соответствии с (2.5) найдем: 5! в —— — Р; 5! в — — 5в - ---- + Р У 2; 5ьг = 5в.в =- — Р; = — РУ2; 5в =5,в =+2Р.

5г.г = 5в.в = О; 5г-в 5,, =-5вв --- — РУ2; Пример 2.23. Определить опорнь!с реакции трехшарнпрпой системы, изображенной на рис. 2.19, а. Определив реакции опорных связей заменяющей системы (рис. 2.!9,в) от действия нагрузки (Рд — — 4 да; Уае=б да; Н~~=О), найдем Р == М =- — 4даг + 14даг = !Ода'. !г с Следовательно, Х, = — =- + бда; !!!г Гм Уд = Ул+ УлХ, = — 2да; Нл= Х, = бда; Ув = Ув + Ув Х! — — 4да; На = На + Рв Х! —— — Бда. Кинематический метод Из заданной геометрически неизменяемой системы устраняется связь, реакция которой определяется.

Взамен устраненной связи прикладываются соответствующие реакции )г. Система таким образом превращается в механизм, которому задается возможное перемещение. Затем в соответствии с принципом возможных перемещений составляется выражение работ внешней нагрузки и искомой реакции: ХР,Л!+ ЯЛл= О, (2.6) зз Опорные реакции от действия единичной силы Х, =-1 равны: — — ! — ! — 1 Н = 1; У = —; У = — — --.Таким образом, г!! —— Л1! = — а— з' ' з' ''' з а — 2а = — — а. з исходя из которого и определяется значение реакции.

Следова. тельно, неизвестная )с определяется из решения одного уравнения. В этом особенность кинематического метода. Покажем использование кинематического метода на примерах непосредственного применения способа возможных перемещений, способа изоа) бражающих точек и в с в способа мгновенных центров.

в ~ 2 Пример 2.24. Опре! ~ь 1 ., ) ь,.~ делить реакцию опорной связи 1, возникающую в системе, з ,-(-ь, Р изображенной на рис. 2.23, а. Устраним опорную связь ! и взамен ее в„ приложим реакцию Рас. 2.2З Лп. Пусть система имеет возможные перемещения, как показано на рис. 2.23, а. Тогда — РЛ +)7,РЛ =О. Из геометрических соотношений найдем: ~)+ь ~ л ь ~ () рь)ь1 ~ в а1 )а1 я с в= я' ь, П + ь) ь, ь, Р о с ~я ас аа ас ) Таким образом, П + ь) ь, ь.

Р гя Ля а1 ас) 24 Способ изображающих точек основан на построении неполярного плана возможных перемещений (скоростей) точек образовавшегося механизма. Перемещение (скорость) каждой точки й; изображается вектором (в определенном масштабе), повернутым на 90' по отношению к действительному направлению перемещения с(зь Конец повернутого вектора й,' называют изображающей точкой или изображением точки я,.

Общее выражение принципа возможных перемещений записывают в следующем виде 2Р; ~Ь; сох (Р,, Из;) = О, (2. 7) где суммирование распространяется на все силы (внешние и определяемые реакции). Учитывая, что проекция длины поверну- гого вектора на ось, перпендпк)лярп)ю липни действия силы Р, представляет собой «плечо» Ь,', этой силы относительно изобра- жения точки А',, выражение (2.7) представляют так. 'М „=. "Р,.),» О. (2.8) Таким образом', искомая рсагппщ 14 опрсдслястгя и ~ э повии равенства пулю чоментоп вс<х дспствующих на механизм снл относительно изображения точек пх приложения.

а) С При применении способа изображающих точек необ сг ходимо знать, что: Ы сс а) изображающая точка лежит на радиусе-вектор с началом в мгновенном Д сС Ы Е псптрс вращения. б) изображение испо. движпой точки совпадает ~ самой точкой; в) всякий отрезок пря 81лы=ОС мой на диске изображается отрезком параллельной прямой. Пример 2.25. Определить С усилие в стер>кис 1-6 раисе 8) С рассмотреннои шарнирно- стержневой системы (см. рис.

2.22,а), Удалим связь 1-6 и ее действие заменим пскомы- 'Ъ ми силами 5 (см. рпс. Е 2.22, в). Данная система является свободной, поэтому а1 2 можно один нз дисков принять за неподвижный, на- 'l д,, пример диск 2-3-7. Изображения указанных неподвижных точек будут совпадат~ с ними самими. Рпс. 2.24 Произвольным отрезком а откладываем изображающую точку 1' на стержне 1-2 (так как точка 2 является мгновенным центром вращения).

Изображающую точку 8' опредс. лим как точку, лежащую на пересечении линий 1'-8' и 3'-В', параллельных 1-8 и 3-8. Затем найдем изображающую точку 4', лежащую на пересечении линий 4'-7' и 4'-В'. Далее, аналогич- ным образом найдем изображающую точку 5' и, наконец, поло- кение изображающей точки б'. «Плечи» сил Х могут быть определены из геометрических соотношений. В данном случае )., = — и; ).7 =.— — "; ), == — и. и 3 2 " 2 Таким образом, согласно (2.8) 'М --- 5). — 5)., — Рл..

=- ~! и, лсдовательно, и Р— 2 РХ . 5 = 37 — 7.„. а — — а ч Полученный результат п гочностн совпадает с найденным ранее (пример 2.22). Данный путь решения значительно проще. чем рсшеннс по методу замены связей. Пример 2.26. Определить реакцию связи СЕ в шарнпрностержневой системс, изображенной ца рис. 2.24, а. Полученный послс удаления связи СЕ механизм, изображен на рпс.

2.24, о. Выбираем произвольно (на радиусе-векторе ЛВ) положение изображения точки В. Затем определяем положение точки Е'. Она лежит на пересечении линии В'Е'~~ВЕ и вертикальной прямой, проходящей через точку Е. Далее находим положение точек С' н Е'. Определив плечи 7.

° (рис. 2.24,о), получим в соответствии с (2.8): 3 5 8 Р— а Х, — А, 3 2 с 8 3 Р 7 5М, йр,=б. (2.9) Обратим внимание на то, что как в этом, так н в предыдущем примере значения г. ° для концов устраненного стержня пс равны. Поэтому значение искомой реакции связи имеет определенную величину. Если бы изображения концов устраненного стержня лежали на прямой, параллельной стсржщо, то 5=- и, следовательно, система была бы мгновенно изменяемой.

Так, например, если р=а (рис.2.24), то 7.с,=Х„.,(С'Е'~~СЕ), т. е. система мгновенно изменяема. Способ мгновенных центров основан на следующей записи уравнения (2.7): Здесь М вЂ” момент внешних сил, действующих на к-й диск, о* относительно его мгновенного центра врашения; //г/х — бесконеч. но малый угол поворота соответствующего диска.

Если мгновенный центр вращения диска удален в бесконечность, то произведение Мог/9>х должно быть заменено па /гЛ, где /с — равнодействующая сил на диске, а б — бесконечно чалое перемешение по направлению силы //. При применении указанного способа необходимо знать, что а) если два диска соединены шарниром, то он является ценгром вращения; б) если два диска соединены двумя тержнями, то эпнове>о ным центром вращения будет точка пересечения этих стсржнсй: в) три взаимных мгновенных центра враШения трех дисков механизма лежат на одной прямой. Пример 2.27.

Определить реакшпо горизонтальной опорнои связи !/и трсхшарнирной системы, изображенной на рис. 2.19,а Образовавшийся после удаления опорной связи механизм (рис. 2.!9,г) представим в виде четырех дисков, последовательно соединсннь:х шарнирами (диск !// — «земля>к а диск /1'— вертикальный опорнгнй стержень).

Дадим механизму возмо>кпое перемещение, повернув диск // относительно Оьа на угол гпр. Положение диска / при этом будет определяться поло>копием шарнира С и мгновенного центра вращения О,, Последний найдем как точку псрссечепня линий Оз,-Ом-Ом и ОамОинОм (на основе отмеченной выше теоремы о трех мгновенных центрах) . Пренебрегая перемешеннями высшего порядка малости, получим в соответствии с (2.9): /7 йр+ М йр, + //, р, йр, = О, где /« = д ° 2а — равнодействуюшая распределенной нагр) зки, «/% = 2«/% поскольку ~йр, = —, а Йр = — ~ а ' 2а р = — а (из геометрических соотношений). 2 Отметим, что здесь каждое слагаемое берется с положитель.

ным знаком, поскольку моменты сил и угловые перемещения совпадают по направлению. Сократив все члены уравнения на г/гр, получим //. 2а' + 14па' 2 + баР = О, откуда /т = †б, что в точности совпадает с результатами, полученными ранее на основе других методов расчета. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК И ПЛОСКИХ РАМ НА ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ Пример 3.1. Постропт1 линии влияния изгибающих моментов М и поперечных сил 1,» в сечениях а, Ь, с и с1 многопролетной статически определимой балки (рис. 3 !.а) от вертикальной силы Р= !. Решение Статический метод построения линий влияния Многопролгтная балка, в сечениях котороп требуется построить лшшн влияния ви»трениях сил, состоит пз ряда дисков (АВ, ВС, СР, РЕ, ЕЕ и Еб), соединенных между собой шарнирами. Для решения поставленной задачи целесообразно выделить основныс части балки, т.

с. такие, исполвн>кность которых относительно земли пс зависит от налн шя остальшях дисков При этом необходимо иметь и впд», что поскольку речь идет о воздействии па систему только вертикальной силы, то усилия г горизонтальных связях между дисками равны нулю и перемещения дисков по горизонтали происходить не могут. При таком условии основными частями балки будем считать диски АВ, СР и Еб. Последние два не являются, строго говоря. основными, так как невозможность их горизонтального перемещения относительно земли обеспечена горизонтальной связью с землей в диске ЛВ, т.

с. самим диском, по, как указывалось выше, при отсутствии горизонтальной нагрузки эти два лиска оказываются независимыми от диска АВ. Диски ВС и ОЕ не могут перемещаться относительно земли вследствие наличия дисков АВ и СР, неизменяемо связанных с землей; диску ЕЕ в свою очередь нс позволяют смещаться относительно земли неизменяемо связанные с не о через основной диск СО диск РЕ и диск Еб (см.