Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения, страница 6

(2.49) Преобразуем разность первые двух слагаемые в правой части по формуле, называемой тождеством Адамара: К(х, '2'уЫ) — ~(х, "'у(х)) = Р'у(х) — н'у(хПр(х), где р (х) = ) — (х, соу (х) + 0 ('"у (х) — н~у (х))) дб. (2.50) г Эта формула легко проверяется непосредственно. Из (2.50) нетрудно видеть, что функция р(х) непрерывна по х на (хг, .)(). Таким образом, для функции 2(х) получается линейное дифференциальное уравнение первого порядка — = р (х) 2 (х) + ~р (х), (2.5$) В Л. Н. Тххонбг г аР Очевидно, точнов решение начальной задачи (если оно существует) можно считать е-приблиигенным по невязке решением при а =О.

Пусть для любого е ~ 0 существуют е-приближенные по не- вязке решения начальной аадачи (2.38). Тогда имеет место следующая лемма. Лемма 2Л. Лля любого сколь угодно малого е ) 0 можно указать такое ев .О, что гсе е~-приблизеенные по нееязке решения задачи (2.38) отличаются между собой на отрезке (хг, Х) не больгие, чем на е. Докааательство. Воаьмем два произвольных епприближенных по невязке решения аадачи (2.38) 'Ву(х) и '2'уЫ. Очевидно, что — е = К (х, ч~у (х)) + вр (х) (2.43) —" =1(х, 2'у(х))+ 2) (х)„ (2.44) ' ~ ~" у (х,] — ~~~у (х,) ~ я:. 2е„ (2.45) зср (в) (х) — ву (х)) «» 2ен (2.46) хи$хв.л3 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ |гл. з в котором функции р(х) и <р(х) являются кусочно непрерывными и равномерно ограниченными на отрезке (хе, Х).

При этом Ь(хэ)! в,"2еп !~р(хН ~2еи (2.52) Тогда в силу полученной в з 1 гл. 2 оценки (2,35) решения начальной задачи для линейного уравнения имаем ! а~)у (х) — Оау (х) ~ = ~ х (х) ~ ( 2з ек<"-ва> + — ~ (еще-в > — 1). (2.ба Отсюда зпр ~ (му (х) — си у (х) ~ «~ ва(~а Х) 1 ««2г ~ек(х "и+ —. (ек<л "а) — 1)~ = 2е 1г, (2.5р. где й)0 — не зависящая от з~ постоянная. Выбирая з,( и мы и получим утверждение леммы.

Пусть ("'у(хП (н= 1, 2, ...) — некоторая последовательность е -приближенных по невязке решений такая,что зпр )~у„(х)! ««з„, !'"~у(хо) — уа! ««г„, зв> О. (2 55) хпзаа,ха Если Пш з„ = О,то последовательность'оеу(х) назовем схоаа-а аа дящейся по не вяз не. Для дальнейшего нам потребуется утверждение об эквивалентности начальной аадачи (2.38) некоторому интегральному уравнению, которое мы сформулируем в виде следующей леммы Лвлгзга 2.2.

Начальная задача (2.38) эквивалентна интегральному уравнению у(х) = у„-(- ~~(ф, у$))с$, хее(х„Х). (2.56~ Ха Докааательство. Пусп существует решение начальной аадачи (2.38) — функция у(х). Подставив у(х) в уравнение (2 38), получим тождество. Интегрируя это тождество от хэ до х ап (О, а1 и испольауя начальное условие, получим (2.56). Следовательно решение начальной задачи (2.38) удовлетворяет. и интегральному уравнению (2.56). С другой стороны, если существует непрерывное решение интегрального уравнения (2.56) — функция у(х), то в силу непрерывности по й функции )(э, уЦ)) интеграл в правой части (2.56) является непрерывно дифференцируемой функцией переменной х (по условию функции ) — непрерывная функция своих аргументов и у(З) — непрерывная функция переменной $). Следовательно, и левая часть (2.56) — функция у(х) — имеет непрерывную производную, которая, очевидно, $2! твогнмы сущаствовлння и Вдннствннности 35 удовлетворяет уравнению (2.38).

Выполнение начального условия (2.38) проверяется непосредственно. Итак, эквивалентность начальной аадачи (2.38) и интегрального уравнения (2.56) установлена. Лемма доказана. Имеет место следующая основная лемма Лемма2.д.Если существует сходящаяся по невязке на отрез- не (хо, Х) последовательность з -приблихсенных по невязке решений (ооу(х)) начальной задачи (2.38), то эта последовательность равномерно сходится к (дункции у(х), являющейся решением данной задачи.

Доказательство. В силу леммы 2.1 последовательность (ьоу(х)) удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на отреаке (хо, Х!. Тем самым существует функция у(х), к которой последовательность (ы1у(х)) сходится равномерно, и эта функция будет непрерывной, поскольку '"'у(х) непрерывны. Иодставнм е„-приближенное решение '"'у(х) в уравнение (2.38) и заменим получающееся при этом тождество эквивалентным интегральным соотношением у(х)= гу(х,)+Й)(В, уа)+ ).а1йВ. (2.57) Хю Так как !~) ! <е„и !' 'у(хо) — уо! (е„, то переходя в (2.57) и пределу при е — О, получим у(х) =уз+ ~У(В, у(5))ИВ. (2.58) Из последнего тояодества следует, что предельная функция у(х) дифференцируема.

Дифференцируя, находим Я=1(~, у). (2.59) Кроме того, у(хо) уо. Таким обрааом, предельная функция последовательности (ооу(х)) является точным решением начальной задачи (2.38). Лемма доказана. Для доказательства теоремы существования решения начальной задачи (2.38) нам теперь остается показать, что существует сходящаяся по невяаке последовательность е -приближенных по повязке решений атой задачи. Сейчас мы покажем, что построенные выше ломаные Эйлера образуют такую последовательность. Лемма2А.При '%- О невязки ломаных Эйлера, построенных для задачи (2.38), равномерно на отрезке (хо, Х! сходятся к нулю.

Доказательство. Так как начальные значения ломаных Эйлера оеу(х) по построению совпадают с уо, то достаточно убе- ло игл. в овщая твовия 66 днтъся в том, что при ' а — 0 повязки ф Ь) равномерно на Ье, Х) стремятся к нулю. Возьмем проиаволъное х. Очевидно х-|~х» ~хо хэ ха 1 Йа и 1»~з~п, На атом шаге авена соответствующей ломаной определяетсй как ьоу(х) ='"'у(' 'х )+~алых '"'у('"'х. ~)Нх — ' 'х. 1) (260) ш(ьо (] Подставляя '"'у(х) в уравнение (2.38), найдем соответствующую невязку в точке х: ф„(х) = — ~ — )(х, воу(х)) = )('юх, и '"'у(~юх, ))— — Лх, '"'у ('™'х,) + ~('"'х.

„'" у(пз;,)Их — '"'*,)). (2.61) В силу равномерной непрерывности функции у(х, у) отсюда и следует, что для любого сколь угодно малого е ~0 найдетси такое дс(з), что прн оо)) с йс(з) впр ) ф„(х) ) (зз (2.62) яи$хф,х$ что и доказывает лемму. Заметим, что при докааательстве втой леммы была использована лишь равномерная непрерывность функции Дх, у) и не потребовались равномерная непрерывность и ограниченность в) производной —. (х, у). ве Из докааанных лемм следует Теорема 2.1. (суи)ествооаним]. Если функции ~(х, у), — (х, у) з) непрерывны в О, то на Ьз, Х) существует решение начальной задачи (2.38), к которому последовательность (ьоу(х)) ломаных Эйлера сходится равномерно на (хз, Х) яри оок - О.

При сделанных предположениях относительно функции )(х, у) н ее производных решение начальной задачи (2.38) единственно. Имеет место Теорема 2.2 (единственности). При выполнении условий теоремы 2.1 начальная задача (2.38) имеет на Ьс, Х) единстеен ное решение. Зту теорему можно рассматривать как следствие леммы 2.1. Если допустим, что имеются два точных решения задачи Коши, то нх начальные значения совпадают, а нх невязка равны нулю. Поэтому по лемме 2.1 зти реп|ения полностью совпадают на отрезке (хо, Х). % з[ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 37 Кроме введенного выше понятия е-приближенного по невяаке решения часто используется понятие решения, приближенного по отклонению.

Дадим его определение. Ограниченная на (хс, Х) функция у(х) называется е-приближенным по отклонению решением задачи К о ш и (2.38), если точное решение у(х) задачи Коши существует и зср )у(х) — у(х)~(е„з.) О. (2.63) ти[хц,х[ Из предыдущих рассуждений вытекает Теорема 2.3.Если при выполнении условий теорел[ь[ 2.1 некоторая последовательность приближенных по невялке решений сходится к точному решению, то она сходится к нее[у и по отклонению. Заметим, что обратное утверждение неверно: если отклонения приближенных решений от точного стремятся к нулю, то сами решения могут при атом иметь сколь угодно большие невязки, более того, решения, приближенные по отклонению, могут быть не днфференцируемы и даже не непрерывяы. Замечания.

1. Мы доказали существование и единственность решения у(х) начальной задачи (2.38) лишь на отреаке (хе, Х). Если при этом интегральная кривая ие вышла из области Р, где функция ['(х, у) удовлетворяет условиям теоремы 2.1, то, взяв точку х=Х, у=у(Х) за начальную, можно, повторив приведенные вьппе рассуждения, продолжить решение у(х) на новый отрезок (Х, Х[), определяющий прямоугольник Ь[ = Р. Можно показать, что, продолжая этот процесс, удается построить интегральную кривую, сколь угодно близко подходящую к границе области Р, в которой выполнены условия теоремы '2.1.

Мы рассмотрели алгоритм построения интегральной кривой у(х) в сторону возрастающих х = хе. Очевидно, аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для построения интегральной кривой в сторону убывающих х (хь. При этом соответствующий процесс построенвн интегральной кривой можно опять продолжать до тех пор, пока интегральная кривая не дойдет до границы области Р.

2. Требования, накладываемые на функцию )(х, у) в теоремах 2.1 и 2.2, можно ослабить. В частности, для существования и единственности решения в некоторой окрестности начальной точки достаточно потребовать, чтобы в атой области функция Ях, у) бьиа непрерывна и удовлетворяла так нааываемому условию Липшица по переменной у: Ц(х, у[) — ~(х, узН ~6[!у[ — уз!, (2.64) где Ж вЂ” постоянная, не аависятцая ни от х, ни от у. Доказательство соответствующих утверждений будет дано ниже (см. $6). Окшья ткогин 3. Можно доказать существование решения начальной задачи и при одном требовании непрерывности функции )(х, у) (теорема Пеано). Однако одной непрерывности функции ~(х, у) недо.статочно для доказательства единственности решения начальной задачи.

Так, например, задача —" = ~/ у, у (О) = 0„ (2.65) помимо тривиального решения у О, имеет еще решение (2.66) удовлетворяющее нулевому начальному условию. (Как легко видеть, правая часть уравнения (2.65) в окрестности точки (О, 0) имеет неограниченную производную и не удовлетворяет условэиго Лившица.) 4. Если через точку (хс, уе) проходит единственная интегральная кривая, являющаяся решением задачи (2.38) для данного дифференциального уравнения, то точка (хм ус) называется обыкновенной точкой данного уравнения. Точка (х, у) области Э, не являющаяся обыкновенной, называется особой точкой данного дифференциального уравнения. Череа особую точку либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходят по крайней мере две интегральные кривые (череа особую точку может проходить и бесконечное число интегральных кривых). Если в окрестности точки (хс, уз) выполнены условия теорем существования и единственности, то точка (хо, уо) будет обыкновенной.