Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения, страница 8

Однако практическая реализация этой возможности и последующее интегрирование полученного уравнения (2.72) часто выаывают значительные трудности. Поэтому в ряде случаев представляются более удобньгми другие способы интегрирования уравнения (2.67). Начнем со случая, когда уравнение (2.67) легко можно разрешить относительно самой неизвестной функции у(х) =7(х, р'). (2.81) Для дальнейшего удобно ввести обозначения у' = р и переписать (2.81) в виде у(х) = 7(х, р(х)).

(2.82) Предполагая существование решения у(х) исходного уравнения (2.67), мы можем продифференцировать соотношение (2.82) по % з) ъ'РАВнинин Вида у(х, в, т') о независимой переменной х. Тогда получим 69 зу аУ лр — =р(х) = — + — —. лх дх др лх' (2.83) Полученное соотношение представляет собой линейное дифференциальное уравнение относительно р, и его решение легко может быть получено методом, изложенным в 9 1. Общее решение (2.83) можно записать в виде однопараметрического семейства р(х) = ср(х, С). (2.84) Отсюда, используя (2.82), получим семейство решений исходного уравнения (2.67) в виде у=у(х, <р(х, С)) (2.85) и для решения начальной задачи остается определить значение постоянной С иа начальных условий.

П р и м е р 2.4. Рассмотрим уравнение (р )т у + в = О. (2.86) Очевццяо, зто уравнение легко переписать в виде (282): у=ар Р др откуда р = р + (х — 2р),~х, т. е. (2.87) ор (х — 2р) — = О. Их Уравяеиие (2.88) имеет семейство решений р(х) = С (2.88) (2.89) и, кроме того, решение х '()' 2 Отсюда, учитывая (2.87), получим решекия исходного уравнения (2,86) в виде у(х) = Сх — С' (2.91) и =:Р у (х) = (2.92) о хо С= — + — — у.

2 — 4 о (2.93) Для выделения едипствеяяого решения иачалъпой аадачи, пролоджцего чарва точку (ха, уе), должно быть еще задано зпачевие г' (х,) = уо, опреде- Легко проверить, что череа точку (хо, уз), привадлежюцую области существовавия решения уравнения (2.86), проходят две различные интегральные крввые (2.9$), соответствующие двум значениям постояякой С (рис.

6): 44 ОБщАя теогин лякяцее направлевие касательной к интегральной кривой в этой точке. Нетрудно также усмотрегь, что решение (2В2) уравнения (266) обладает тем свойством, что кривая и = вт)4 в каждой своей точке касается какой имбо кривой (2.6т). Это оавачает, что криу вая р = вг(4 представляет собой геометрическое место точек, через которые проходят два решения уравнения (2.86), имеющие общую касательную в втой точке. В точках кривой р = ее~4 нарушается условие б) теоремы 2.4: вр! =гр — *( „.„=О. ди' 1д=счс (Ь64) Тем самым решение и = вс(4 оказывается в опредаленпом смысле особым решением уравнения (2.86).

Прежде чем переходить к рассмотрению общего случая, отметим, что поскольку в исходном уравнении (2.67) пере- Рнс. 6. менные х и р равноправны, то проведенные выше рассмотрения сохраняют силу и в том случае, когда исходное уравнение легко разрешить относительно независимой переменной х. Например, зто имеет место в случае так называемого уравнения Лагранжа х<р(р ) + рддр ) = у(р ), (2.95) линейного относительно переменных х н р. Частным случаем уравнения Лагранжа и являетсн уравнение, рассмотренное в примере 2.4. Перейдем теперь к изложению общего метода интегрирования уравнения первого порядка (2.67), неразрешенного относительно производной, путем введения параметра.

Обозначив р' р, запишем уравнение (2.67) в виде Р(р, р, х) = О. (2.96) Уравнение (2.96) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве (х, р„ р). Как известно, ну~ем введения двух параметров и, о, данная поверхность может быть задана в параметрическом виде х=Х(и,о), у=У(и,п), Р=Р(и,п). (2.97) В нашем случае функции Х, г' н Р связаны соотношением (2.96) и соотношением йр =рйх. Из яоследпего соотношения получим лг а~ (дИ . дХ Зв дв 1 дв — йи+ — йо = Р(и, о)1 — йи + — й ~. (2.96) да тРАВнвния Видх асс. и, ю) з Отсюда следует„что величины и и в не могут быть независимыми.

Пусть и=и(и). Тогда из (2.98) получим, что свяаь параметров и и и представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции ш дХ Л. А> ' ди дь Р(и, и) — —— Ж др дХт (2.99) — — Р(и, и)— до ' до причем это уравнение — разрешенное относительно производной. Семейство решений уравнения (2.99) можно записать з виде и=ср(и, С). (2ЛОО) Тогда в силу (2.97) получим семейство интегральных кривых уравнения (2.67), ааписанное з параметрической форме т Х(и, «р(и, СИ, р У(и, <р(и, С)), (2Л01) что и решает задачу интегрирования уравнения (2.67). Очевидно, что в том случае, когда исходное уравнение легко раарешить относительно переменной у (переменной л): у )Ь,р), (2Л02) в качестве параметров и, и в параметрическом представлении (2.97) дледует выбирать оставшиеся переменные я, р (или у, р): х х, р 1(х, р), р=р.

(2ЛОЗ) Как легко проверить, получающееся при этом уравнение (2.99) для определения функции р(л) будет совпадать с уравнением (2.83). 3. Особые решения уравнения первого порядка, неразрешенного относительно производной. В рассмотренном выше примере 2.4 мы получили особое решение у =хЧ4 уравпения первого порядка, неразрешенного относительно проиаводяой (2.86), обладающее тем свойством, что во всех его точках нарушена единственность решения начальной задачи Коши. Рассмотрим теперь в общем случае условия существования особого решения. Множество точек (х, у), з которых нарушается единственность решения уравнения (2.67), будем называть особым множеством этого уравнения.

Ясно, что з точках особого множества не выполнено по крайней мере одно из условий теоремы 2.4. Чаще дР' всего нарушается условие б), т. е. д, = 0 Тогда прз выполнении в точках особого множества условия а) з нарушении условия б) в этих точках одновременно имеют место соотношения Г(р р х) 0 — (р, у, л) = О; др (2. 104) Овщля твогия Исключив р из соотношений (2Л04), получим неявное уравнение так называемой р-дискримияаягкой кривой 6)(з, у) О. (2Л05) Будем называть особым решением интегральную кривую, во всех д)» точках (з, у) которой —, = О. Если какая-либо из ветвей р-диду скриминантной кривой представляет собой интегральную кривую уравнения (2.67), то она является его особым решением, Заметим, что не обязательно всякая р-дискриминантная кривая представляет собой особое решение уравнения (2.67), она может н не являться интегральной кривой этого уравнения.

Так, например, как легко проверить, в случае примера 2.3 р-дискримияантная кривая у =2х уравнения (2.76) не является интегральной кривой, а тем самымиособым решением этого уравнения. Найденное. в примере 2.4 особое решение р =х94 уравнения(2.86) является его р-дискриминантной кривой. В тех случаях, если множество решений уравнения (2.67) может быть записано в виде однопараметрического семейства (2Л06) Ф(з, у, С) =О, в котором значения постоянной С определяют различные интегральные кривые, и семейство функций (2Л06) имеет огибающук» у = у(х), то, очевидно, эта огибаклцая также является интегральной кривой уравнения (2.67) и через каждую точку огибающей проходит интегральная кривая семейства (2Л06), имеющая в этой точке общую касательную с огибающей.

Тем самым огибающая семейства интегральных кривых (2.106) представляет собой особое решение уравнения (2.67). Как известно, огибающая одкопараметрического семейства (2Л06) может быть найдена путем исключения параметра С из соотношений г)»(з, у, С) = О, — (з, у, С) = О. (2Л07) дФ Полученная при этом кривая Ч»(х, у) =0 называется С-дискриминангной кривой. Так, найденное в примере 2.4 особое решение у=хЧ4 уравнения (2.86) является, как легко проверить, С-дискриминантной кривой семейства решений (2.91). В заключение заметим, что система соотношений (2Л07) определяет не только огибающую семейства (2Л06), но и множество кратных точек этого семейства, в которых частные производные дФ дФ вЂ” и — или не существуют, илк одновременно обращаются в нуль.

Поэтому условием существования огибающей семейства (2.106), а тем самым и особого решения уравнения (2.67) явля- ТЕОРЕМА СРШЕСТВОВАВИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ дФ ется существование ограниченных частных производных — и дз —, удовлетворяющих условию дФ ад ' ( —,Ф) +ф) +О. (2 108) 5 4. Теорема существования и единственности решенш1 нормальной системы з- (2.111) Для построения ломаной Эйлера на отрезке (д~, Т) н1от отРезок на л частей точкамв Деленин '"'(с = гм ..., 1"аз = Т и так же, как и в 5 2, обозначим (а1д 1 1д 1ю ь (юй (оч) 1 разобьем ( 1д ь Основные идеи метода ломаных Эйлера могут быть исполь- зованы для конструктивного доказательства существования ре- шения начальной аадачи не только в случае одного уравнения, разрешенного относительно производной, но и в случае нормаль- ной системы.