Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения, страница 3

В случае малых колебаний, ограничиваясь первым членом разложения функции вш <р, получим —, +юоф =О, ~Р<р (1.24) где череа юо обоаначено отношение оР=ш4т(11. Очевидно, раамерность (в) 1/с, что и оправдывает введенное обоэначение. Заметим, что в случае уравнения (1.24) воавращающая сила пропорциональна величине смещения от положения равновесия. Как легко убедиться непосредственной проверкой, уравнение И.24) имеет периодические решения частоты оп ~р(г) =А соотг+Ввшвс, (1.25) где А и  — произвольные постоянные, определяющие амплитуду периодических колебаний. При учете сил сопротивления, пропорциональных угловой скорости, уравнение (1.24) перейдет в уравнение вида — +и — „, + оР~р =О. Н*ф Ыф (1.26) Как будет покааано ниже (см.

гл. 3), уравнение (1.26) определяет затухающие колебания. 3. Уравнения переноса. Пусть по трубе постоянного поперечного сечения, ось которой совпадает с осью х, движется поток воадуха, скорость которого вдоль оси трубы в точке х в момент времени г есть заданная функция о(х, П. Пусть воадух переносит некоторое вещество, линейную плотность которого в сечении трубы с координатой х в момент времени Г обоаначим и(х, г). В процессе переноса вещество осаждается на стенках трубы.

Будем считать, что плотность распределения осаждающегося вещества задается выражением 1(х, г)и(х, ()(1(х, г) — заданная функция), т. е. пропорциональна концентрации вещества (ато можно рассматривать как линейное приблшкение к более сложному аакону, справедливое при достаточно малых и). Это значит„ что количество вещества, которое осаждается на участке стенки трубы между сечениями х и т+ Лх аа промежуток времени Ь, 1+ М, дается ваконом х+ох н-ы 1(1, т) и($, т) д~дт. ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Для получения дифференциального уравнения относительно и рассмотрим баланс вещества в области между сечениями х и х+ Лх.

Процесс диффузии не будем учитывать, что естественно, если скорость и достаточно велика. За время Лс изменение количества вещества в рассматриваемой области равно сс+Ьх (и($, ~+М) и($, 8)]Щ. Зто изменение определяется, во-первых, равностью потоков вещества: втекающего череа сечение х и равного с+ьс в(х, с) и(х, т)сст с в вытекающего черен сечение х+ Лх и равного с+ьс о(х+ Лх, т) и(х+ Лх, т) с(т„ ,а, во-вторых, убылью количества вещества аа счет осаждения на стенке, равной +ь с+ьс — У ) 1(Е, ) (Е, ) ссьсст.

Таким обрааом, закон сохранения вещества дает (и($, г+ ЛТ) — и($, г)) сЦ = х (Р(х, т) и(х, с) — и(х+ Лх, с)и(х+ Лх, т)) сст— с х+ьх с+ьс — ) У(Е т)и(Е, т)с)Цсбр. ($.27» х с Польауясь теоремой о конечном приращении для подынтегральвых выражений в предположении наличия непрерывных частных производных у рассматриваемых функций н вычисляя интегралы по теореме о среднем, получим д (х*, С))с с ЛхЛГ = — — (сс(х, Схи) и(х, Сих)) ~ „„ЛхЛС дн д — с(х'"*, с"**) и(,г***. С**')ЛхМ, (1.28) 2 А. Н. Тихонов и ир, ВВЕДЕНИЕ где х*, х**, х***, Ге, ~ее, гаев — некоторые точки из отрезков (х, х+ Лх(, (д с+ И1 соответственно. Деля затем равенство (1.28) на ЛЕЛ8 и устремляя Лх и И к нулю, в силу непрерывности всех членов соотношения ($.28) получим окончателыюе уравнение а а — „-1- —,( )+~ =0, (1. 29) или — +и(х, Ф) — +с(х, т)и=О, ('.30) где с(х, с) =- — (х, Й) + ~(х, г). (1.3() аравнение (1.30) является уравнением в частных производных первого порядка.

Для него можно поставить, например, следуюгцую задачу. Пусть известна концентрация вещества при х =хе и(хе, т) = ос(г), (1.32) где ие(й) — ааданная функция. Требуется определить и(х, 1) для и ~ хе. Ниже (в гл. 8) мы увидим, что условие ($.32) однозначным образом определяет решение уравнения И.ЗО). 4. Задача о просачивании воды сквозь песок. Пусть вода яросачивается череа песок сверху вниз. Направим ось х вниа. Через и(х, г) обозначим плотность воды в песке (г — время). Скорость движения воды о, очевидно, зависит от ее плотности, т.

е. и = е(и), где и(и) есть заданная функция, причем и возрастает Вместе с и. Рассмотрим баланс воды в слое (х, х+ Лх1. За время Лг ива+ах менение количества воды равно ~ (и(ь, г+М) — и(3, С)1Ж. Это изменение происходит аа счет разности входящего потока $+М о(и(х, т)) и(х, т) Нт и выходящего потока 1+Ы и (и (х -)- Лх, т)) и (х + Лх, т) Ут. Таким образом, к+ Ь2~ (и (4, Ф + !Я вЂ” и (с, г)1 ~$ = с+ю (е(и(х, т)) и(х, т) — о(и(х + Лх, т)) и(х-1- Лх, т))лт. ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Предполагая наличие непрерывных частных производных у и и дифференцируемость и(и), применим теорему о конечном приращении и формулу среднего апачения для вычисления интегралов.

Поделив затем на Ьхйо, устремим Лх и йг к нулю. Получим уравнение — + — — (и (и) и) == О, ди ди д до дх ии ди ди — + р(и) — =- О, (1.33) где дю р(и) = Р (и) + и — „ (1.34) есть задагшая функция и. Уравнение (1.33), так же как и (1.30), является уравнением в частных проиаводных первого порядка. Типичными аадачами для него являются как аадание функции и(х, Ф) при фиксированном значении х = хо: и(хо, г) =из(г) (т. е. аадано распределение плотности воды по разрезу слоя песка в определенный момент времени го).

Отметим, что уравнение (1.33), в котором множитель р(и) при проиаводной зависит от неиавестной функции„сложнее уравнения (1.30), в которое как производные неизвестной функции, так и сама неизвестная функция входят липе(шо. Уравнение (1.33) носит название квазилинейного уравнения. Иаучению квазилинейиых уравнений будет посвящена гл. 8.

5. Колебания упругого стержня. Рассмотрим задачу о малых продольных колебаниях упругого стержня. Пусть в недеформированном состоянии стержень имеет длину 1, ось его совпадает с осью х и в процессе его колебаний под действием внешних сил, направленных по оси х, поперечные сечения стержня смещаются как целое, не деформируясь в своей плоскости. Тогда процесс колебаний стержня можно характеризовать одной скалярной функцией и(х, 8) — величиной смещения в момент времени Г сечения стеряопя, имевшего в недеформировышом состоянии координату х. Будем рассматривать стержень переменной плотности р(х), подчишпощнйся закону Рука: упругая сила, де- 2Ф (т. е. задана плотность воды на границе слоя песка во все моменты времени), так и задание функции и(х, $) для фиксированного момента г = го..

со) = и,(х) сгл. с ВВЕДЕНИЕ формирующая бесконечно малый элемент стержня, эаключенный между сечениями х и х+ Ьх, пропорциональна относительному удлипеииго этого элемента. Коэффициент пропорциональности (коэффициент упругости) также будем считать переменным вдоль стержня и обовначим его череэ х(х), Подсчитаем относительное удлинение е выделенного элемента. Очевидно, длина этого элемента в момент времени $ равна И = (х+ Ьх) + псх+ Лх, с) — х — п(х, с) = =Ах+ и(х+Лх, с) — и(х, $), откуда относительное удлинение Л! — йх и(х+ ох, с) — и(х, С) Лх Ьх (1.35) Лу = [ 1 М, )Лс(т. (1.

36) Кроме того, на грапичньсе сечения выделенного элемента действуют определенные вьппе силы упругого напряжения. Тогда уравнение второго эакона Ньютона запишется в виде и+ах [р $) и, (ь, г + Л~) — р ($) ис (3, с)1 с$ = х с+ас [Ус (х + Лх) и (х + Ьх, т) — )с (х) ах (х, т)[ с(т -[- с с+ю х+л + ) ) [(3, т) сйс(т. (1.37) Это — интегродифференпиальное уравнение колебаний упругого стержня. Предполагая непрерывную дифференцируемость функ- Переходя в выражении (1.35) к пределу при Лх- О, предполагая функцию и(х, С) непрерывно дифференцируемой и воспольаовавшись законом Гука, получим, что сила упругого напряжения в сечении х, действующая со стороны правой части на левую, равна сс(х)п (х, с).

Заметим, что полученное выражение для силы упругого напряисения справедливо лишь в случае малых колебаний, когда можно применять эакон Гука к бесконечно малому элементу стержня. Чтобы получить уравнение колебаний стержня, применим второй эакон Ньютона к выделенному элементу. Будем считать, что внешние силы, приложенные к стержню, распределены с плотностью С(х, С), так что импульс силы, действующей на элемент ' эа промежуток времени ссс, равен с+ж х+ах ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ций, стоящих в квадратных скобках под интегралами выражения И.37), и непрерывность )(х, г), используя теорему о конечных приращениях и вычисляя интегралы по теореме о среднем, по.лучим .р(х*) игг(х", гг)[г; йхйг = = д' тх) и.

(х, 1"")) .Лхй(+ Цх.**, 1""") Лхл~, где хч, х**, х**е, ге, Г**, г"** — некоторые точки из отрезков [х, х+ Лх), [1, г+ Лг) соответственно. Поделив на ЛхЛг и переходя к пределу при Лх- О, М- О, в силу чледенного выше условия гладкости функций и(х, г), р(х), й(х), ~(х, 1) получим окончательно дифференциальное уравнение продольных колебаний упругого стержня р(х)ан(х, г) =[й(х)и„(х, г)[ +1(х, г).

И.38) Это — уравнение в частных производных второго порядка, являющееся математической моделью колебаний в пространстве и во времени непрерывной упругой среды. В статическом случае (и, == 0) стержень под действием постоянной во времени внешней силы, и сил упругого вааимодействвя приникает некоторое состояние статического равновесия, которое описывается обыкновенным дифференциальным уравнением [й(х) и.(хП. + ~(х) = О. И.39) Типичной задачей для уравнения И.39) является краевая задача, когда задаются смещения граничных точек стержня п(0) = ие, и([) = иг„ И.40) или нзгг.г 'ения, приложенньге к граничным сечениям 'к(0)и(0) =~г, гг([)п ()) = — 6. И.41) В ряде случаев приходится рассматривать и другие постановки краевых задач.