Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения, страница 10

Отсюда следует, что если праваячастьуравнения И.6) — функция «~8, у, —,, ..., — „ с" '/ удовлетворяет условиям теоремы 2.5, то решение начальной задачи для уравнения И.б) существует и единственно. Рыс. 7. Особо следует подчеркнуть, что рассмотрекяый метод доказательства теоремы существования с помощью лоианьгх Эйлера представляет собой теоретическую основу аффективных алгоритмов численного решевия начальной задачи для достаточно сложных систем дифференциальных уравнений, приведенным к нормальному виду.

В дальнейшем (в гл. 6) будут рассмотрены и другие, более совершекные з практическом отношении алгоритмы числекиого решения дифференциальных уравнений (улучшающие, например, быстроту сходимости приближений). Сейчас же мы ограничимся примером числекного решения задачи ОБщАя тногия для достаточно сложной нормальной системы, которое практически осуществимо только при использовании современных ЭВМ. Рассмотрим задачу о движении ракеты в межпланетном пространстве, испытывающей тяготение со стороны Земли, Луны, Солнца.

Такая задача возникает при расчете полета ракеты к Луне. Это движение описывается системой уравнений движения четырех тел типа (1.20), где Г» (1=1, 2, 3, 4) — ато равнодействующие снл ньютоновского притяжения, действующих на 1-е тело со стороны всех остальных, причем силами, действующими на небесные тела со стороны ракеты, можно, разумеется, пренебречь. Таким образом, мы приходим к системе 12 уравнений второго порядка или к нормальной системе 24-го порядка, с правыми частями, имеющими сложную аналитическую структуру; формулы для правых частей мы здесь не выписываем.

Для применения алгоритма Эйлера и других численных алгоритмов достаточно иметь возможность вычислять правые части при различных положениях движущихся тел, при этом конкретный вид аналитических формул для правых частей не имеет значения для метода интегрирования. На приведенном здесь рис. 7 изображена одна из проекций траектории движения автоматической межпланетной стан' цин, запущенной в СССР 4 октября 1959 г., с помощью которой была сфотографкрована обратная сторона Луны. $5. Зависимость решений от начальных значений н параметров В реальных задачах, связанных с решением дифференциальных уравнений, начальные значения обычно известны лишь с некоторым приближением, так как они определяются экспериментально или вычисляются, а зто неизбежно связано с появлением погрешностей.'Кроме того, в правые части уравнений могут входить какие-либо параметры, характеризующие физическую природу изучаемой системы (массы, заряды, упругие характеристики и т.

п.), и значения данных параметров также определяются приближенно. В связи с этим воаникает вопрос о том, как изменяется решение начальной задачи при небольших изменениях начальных значений и параметров и зависит ли оно от этих величин непрерывно. Этот вопрос мы и рассмотрим в данном параграфе. Заметим, что аналогичный вопрос можно поставить и для неограниченного промежутка (гс, ), если решение на нем определено. Этот вопрос составляет содержание так называемой теории устойчивости, которой посвящена специальная глава (гл.'5).

ЗАВНСИМОСХЪ РЮПНКНЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ Будем рассматривать начальную аадачу для нормальной системы дифференциальных уравнений ду У = ~(у, 1, р)о (2.131] У = (у ° " ' У ). т = Ф ", У-) о начальными условиями уМо) =Уо. Уо=(уос» -" у о). (2Л32) ло. — „,' = ро (в, т, р, уо, 1.) (1 = 1, "., т), оро( т ) у о»»)и— и )о(у»+э т»»+т )о). При 1=1о новая перемрнная Т= О и начальные значения для х, теперь оказываются фиксированными: г»(О) =у»Мо) — уа=О.

(2Л35) Значения у„н То входят в правые части (2Л34) как параметры наряду с параметрами )оь ..., р.. Задача сводится, таким образом, к исследованшо зависимости з» от параметров уа, 8о. Имеет место и обратная редукция: изучение зависимости от параметра можно рассматривать как некоторый частный вид зависимости решений от начальных значений. В самом деле, поскольку параметры )оь ..., р., в (2Л31) фиксированы и принимают, например, значения роо ()о = 1, ..., э), то к уравнениям (2Л31) с начальными ус»й»А ловкими (2Л32) можно добавить уравнения вида — =О с начальными условиями раМо) =рос. Тогда получим новую систему — = Х(У» 1» )о)» — — — О» Уо(то) = Уоо» )оь(то) = )Аао (2.136) Иу Ф Теперь вопрос о зависимости у» от ро сводится к исследованию зависимости решений задачи (2.136) от начальных значений )о»с» .

» )оо» Здесь р =()оь ..., р,) — вектор, описывающий параметры рь ... ..., )о., входящие в правую часть системы. Нас интересует характер зависимости решения атой задачи от уоо, ..., У„о и рь ..., р,. Заметим, что исследование зависимости решения от начальных значений уом ..., -у о и 1о молоко свести к задаче об изучении зависимости от параметров в правой части системы. В самом деле, сделаем в (2.131) замену у»=уа+з» М=1, ..., т)» Х=8о+т (2Л33) ,и запишем уравнение для новых неизвестных функций эк ОБщАя твогия Ниже мы исследуем зависимость решений от параметров, а заключение о зависимости от начальных значений сделаем, ис- ходя из установленной эквивалентности.

Пусть правые части ~»(у, м, )»), определенные в некотором (т+ д+ 1)-мерном параллелепипеде В Пд — дз! ~а, )у — уа! <Ьь )р» — )»ю! ~с»), непрерывны в») по совокупности аргументов у», ..., у д)» )»», ..., )», вместе с частными производными — (», 1=1, ..., т). дд, Из непрерывности следуют справедливые в») неравенства !Л(у»», р)! <~)!1, д„' (у,(, р) <~)У. (2.137д Определим величины Н и Т как ю»од,) Н=шш а,— ',.

), Т=д,+Н. (2.138д При каждом фиксированном наборе значений рм (р,— р»г! <с„ для (2Л31), (2Л32) выполняются условия существования и един- ственности решения и условия применимости алгоритма Эйлера.' Ломаные Эйлера в силу равномерности всех оценок при»"»й 9 будут равномерно относительно р,и..., р.,д сходиться на сегменте (гм Т! к решению начальной задача. При этих условиях сами ломаные Эйлера будут непрерывно зависеть от р», ..., р., по- скольку на любом г-м шаге (1, », 1,) (1 ( г~ и) они записывают- ся в виде »">цА) =»"'у(Х»)+Д»"»У(Ф, »), г.-», )»Нд — 1, »), (2.139)' 1„» <1<(.

(»-1„..., т), а у»(у, М, р) зависят от ри ..., )». непрерывно. Поэтому и предель- ные (при»юй — О) функции, являющиеся решением задачи (2Л31), (2Л32), непрерывно зависят от параметров р», ..., р.. Иэ проведенных рассуждений следует справедливость теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров дг Теорел»а2.Т.Если у)ункции»», — „($, у = 1,..., т)нспрерые' дд» ны по доем переменным у», ..., у, 1, р», ..., )», в А), то решение начальной задачи (2.131), (2Л32) непрерывно по Ф и параметрам йи р„при Эж(дм Т), ((»~ — р»с! К си Пусть теперь начальные значения Вм у»о являются параметра- ми, меняющимися в области )1,— 4~~6,!У»о — У;о!~(ВР Не- трудно видеть, что если потребовать выполнения условий теоре- мы 2.7 в параллелепипедеО=((С вЂ” 1~э~."» а+6» (у» — у»е~ч~Ь»+ ЭАВИСНМОСТЬ РВШЕННН ОТ ПАРАМЕТРОВ + бо ~ рь — рьэ ) ~ сь), то решение начальной задачи (2ЛЗ1), (2ЛЗ2) будет непрерывным по Ф,Фо,рц,-".у э,дь ...,р, при ~~ 4~ -и ~у1э — ртэ)~(бо ~Ф,— Тэ~~~(б, ) рд — рьэ)~(сь, Попределяетсв выражением (2.138), где М вЂ” постоянная, ограничиваяпцая ф(у, 1, )А)) в.б.

Доказанная теорема имеет существенное значение для возможности использования начальной задачи (2.131), (2.132) в качестве математической модели многих естественнонаучных задач. Действительно, как уже отмечалось, на практике начальные данные и параметры, входюцие в правые части уравнений, как правило, заданы не точно, а лишь с некоторым приближением. Однако в силу теоремы 2.7 малое изменение начальных данных и правых частей уравнений системы приводит соответственна к малым изменениям решения. Это и оправдывает использованве полученных решений задачи (2ЛЗ1), (2.132) для интерпретации того реального процесса, математической моделью которого служит данная система. Перейдем к исследованию возможности дифференцировании решений по параметрам и начальным значениям.

Не ограничивая общности, достаточно рассмотреть этот вопрос для какой- либо одной переменной а, которая по~нет совпадать с любой иэ переменных уеь ..., р„э или дь ..., р., зависимость решения от которых мы исследуем. Отмечая явно зависимость решения лишь От этой переменной а, эапшпем систему (2Л31) в виде д =Ь(У(1,а),э,а) (1=1,...,т). (2Л40) Будем считать, что выполнены условия теоремы 2.7. Тем самым решение начальной задачи для системы (2.140) существует и является непрерывной функцией параметра а при !а — ас!~с.

Построим конечно-раэностные отношения — функции э,(Ф, Ла): Р,. (б а + Ьа) — Р (ю, а ) э, (Ф, Ьа) = которые являются решениями системы дэ, д ' = Аа (~~ (я (Ф„аэ + Ьа), 1, а, + Ьа) — 1, (р (1, а,), Т, а,)). (2Л42) Иэ (2Л41) имеем у,(1 аз+ Ьа) = у,(1 а)+ц(1, Ьа)Ла. (2.143) Предположим, что дополнительно к условиям теоремы 2.7 функцви )1(р, Ф, ахи';области Ъ обладают непрерывными частными производными по а. Тогда, пользуясь поедставлением ОБщАН твовия (2Л43) и тождеством Адамара (2Л22), запишем (2Л42) в виде до. ~ ' — — ~л~~ ам (с, Ьа) гд (й, Ьа) + срс (г, Ьа), (2Л44р »=1 где р дгс осд (1, Ьа) = ) — (У1 (г, сс,),..., Уд (Х, а,) + ОгдЬа,...