Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения

А. Н. ТИХОНОВ, А. Б, ВАСИЛЬЕВА, А. Г. СВЕШНИКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Докригено дгинистерстеаи виошеео и среднего снедиалъггово обрагованиа ОССР в «ачестве риебника дгл студентов бгагико-.математических снеииавькостей висгаик риебньгк ваведений МОСКВА «НАУКАэ ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИИ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ $080 огллвлкник От редакторов серии Предисловие 9 9 13 Глава 4 1.

$2. 1. Введение Понятие дифференциального урашшввя Физические задачи, приводящие к дифференциальным урав- нениям Глава 4 1. й 2. 24 24 4 5. т 6. 4 7. Глава 4 1. 70 70 76 30 83 4 2. $3. 4 4. $5. $6 $7 105 108 122 4. Краевые задачи Постановка краевых задач и кх физическое содержание Неоднородная краевая аадача Задачи на собственные аваченин 1лава $1. $2.

4 3. 129 129 135 5. Теории устойчивоств Постановка аадачи Исследование на устойчивость по первому приближению Глава $1. $2. 2. Общая теории Элементарные методы интегрирования Теоремы существования и единственности решения началь- ной аадачн для одного уравнения первого порядка, разрешен- ного относительно проиаеодной. Алгоритм ломаных Эклера Уравнение, неразрешенное относительно производной Теорема существования и единственности решения нормаль- ной системы Зависимость решений от начальных значений и параметров Метод последобательвых приближений (метод Пикара) Првпцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке 3. Липейньге дифференциальные уравнения Уравнение движения маятника как пример линейного урав- нения. Основные свойства линейного уравнения с постоянвы- ми коэффициентами Общие свойства линеввого уравнении я-го порядка Однородное линейное уравнение я-го порядка Неоднородное линейное уравнение я-го порядка Линейное уравнение я-го порядка с постоянными козффппп- ентамн Системы линейных уравнений.

Общая теория Системы линейных дифференциальных уравнений с постоян- ными ноэффициентами Построение решения линейного уравнения е виде степен- ного ряда ОглАВлжнпп $3. Метод функцвй Ляпунова 1 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя Г л а в а 6. Численные методы решении обыквовеншкх дифференциальных уравнений 5 1. Численные методы решения начальной вадачи 1 2. Краевые аадачн Глава 7, Асимптетика решений дифференциальных уравнений по малому параметру $1. Регулярные возмущения $2 Сингулярные воамуШения Г л а в а 8. Уравнении в частных производных первого порядка $1. Линейное уравнение $ Х Кввэилиневное уравнение Литература 140 146 152 152 168 177 177 183 2И 211 220 ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ Настоящая книга представляет собой седьмой выпуск серии «Курс высшей математики и математической фязикиз и посвящена теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка.

В начале книги разбирается ряд физических примеров, приводящих к дифференциальным уравнениям того илк иного типа. В дальнейшем наряду с начальной задачей излагаются краевая задача и задача Штурма — Лиувилля, изучение которой имеет важное значение для решения задач математической физики. Большое внимание уделено основным понятиям, идеям и теоремам численных и асимптотических методов решении дифференциальных уравнений. ПРКДИСЛОВИК Предлагаемая книга представляет собой очередной выпуск серии аКурс высшей математики и математической физики» под редакцией А. Н. Тихонова, В.

А Ильина, А. Г. Свешникова. В основу книги положен курс лекций, который в течение многих лет читается на фиаическом факультете Московского государственного университета. Изложение отвечает современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется будущим специалистам по фнаике и прикладной математике, и в то же время достаточно элементарно. Больцюе внимание уделяется в книге приближенным методам решения и исследования дифференциальных уравнений — численным и асимптотическнм, которые в настоящее время лежат в основе изучения математических моделей физических явлений.

Читатель получит представление о различных методах численного решения как начальных, так и краевых аадач, о таких фундаментальных понятиях теории численных методов, как сходимость разностной схемы, аппроксимация н устойчивость. В главе, посвященной асимптотическим методам, содержатся, в частности, сведения из так называемой теории сингулярных возмущений (метод пограничных функций, метод ВБК, метод усреднения), которая бурно развпзается в последние десятилетия в связи с потребностями таких разделов физики и техники, как теория автоматического регулирования, гидродинамика, квантовая механика, кинетика, теория нелинейных колебаний и др. 1~укопись книги была просмотрена Е.

А. Гребениковым и Л. Д. Кудрявцевым, сделавншми ряд ценных замечаний. Неоценимую помощь в подготовке рукописи к печати оказал Б. И. Волков. Всем им авторы выражают свою искреннюю благодарность. Авторы 1979 г. ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ 5 1. Понятие дифференциального уравнения В настоящей книге рассматриваются дифференциальные уравнения, т. е. соотношения между неиавестной функцией, ее производными и неаависимыми переменными. Уравнения, содеря<ащие производные по многим независимым переменным, называются уравнен ми в частных производных.

Уравнения, содержащие производные лишь по одной из независимых переменных, называются обынновенн ми ди4Яеренциальными уравнениями. Изучение свойств и методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и составляет основное содержание данной книги, лишь последняя глава посвящена некоторым специальным классам уравнений в частных производных. Неаависимую переменную, производная по которой входит в обыкновенное дифференциальное уравнение, обычно обозначают буквой х (или буквой г, поскольку во многих случаях роль независимой переменной играет время). Неизвестную функцию обоаначают через у(х).

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно ааписать в виде соотношения (1.1) В уравнение (1.1), помимо неиавестной функции, ее производных по независимому переменному х и самого независимого переменного х, могут входить и дополнительные переменные рь ..., р„.

В атом случае говорят, что неизвестная функция зависит от переменных рь..., р„как от параметров. Порядок старшей проиаводной, входящей в уравнение (1.1), называется порядком уравнения. Уравнение первого порядка имеет вид Р(х, у, Д) =О (1.2) 1о .ввкдкник и связывает три переменные величины — неизвестную функцию, ее производную и независимую переменную. Часто зто соотношение удается записать в виде —" = ~ (х, у). (1.3) называется нормальной системой. Вводя векторные функции Р=(у ° ° ° Рп)» У =(1м ° - ~ 1ч)» можем записать систему И.4) в векторной форме — „".

=У( у). ЛР (1.5) Легко видеть, что уравнение и-го порядка И.1), разрешенное относительно старшей производной (1.6) может быть сведено к нормальной системе. Действительно, введем обозначения Р(х) . Р1 (х), — = — =-у,'(х),..., = ==у„(х). (1.у) лу лз, л~-~т лу, , 'Хогда, вследствие очевидного равенства ги лз <Ь" уравнению И.б) колено сопоставить нормальную систему Ву л =ум Фвч г =Р кв —" = ~ (х, у,..., у ).

(1.8) Уравнение И.З) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений мы начнем с уравнении И.З). Наряду с дифференциальными уравнениями И.1) — И.З) для одной неизвестной функции в.теории обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются системы уравнений. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных гф. — „' = ~,(х, у„..., у„) (1 =-1, ..., и), (1.4) %я попятик диффкгкнцилльного тглвнкния В уравнениях И.1) — И.б) независимую переменную будем полагать действительной.

Неизвестные функции могут быть как действительными, так и комплексными функциями действительной переменной. Очевидно, если у(х) = у(х) + (у(х), где у(х) и у(х) — соответственно действительная и мнимая части функции у(х), уравнение И.З) эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений для действительных функций: — У = Ве) (х, у, у), — У = 1ш((х, у, у).

(1 10) Решением системы дифферегщиальных уравнений И.4) называется всякая совокупность функций у,(х) П = 1, ., п), которые при подстановке в уравнения обращают их в тождества. Как правило, и как зто будет видно из последующих примеров (см. $2), если дифференциальное уравнение разрешимо, то оно обладает бесчисленным множеством решений. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения. Обычно рассматриваются системы И.4) с правыми частями, непрерывными в некоторой области Р изменения неизвестных функций у, и независимой переменной х. Очевидно, что при этом решения у,(х) представляют собой непрерывно цифферезщируемые функции. Однако в приложениях иногда приходится иметь дело с уравнениями, правые части которых имеют разрывы (например, при описании ударных нагрузок, мгновенно приложенных сил и т. д.), поэтому и сами решения будут иметь разрывы производных.

Тогда естественно в качестве решения И.4) рассматривать непрерывные функции у~(х) с кусочно непрерывными производными. При подстановке в уравнения они дифференцируются всюду, за исключением точек разрыва (или отсутствия) производных. Всякое решение у,(х) П = 1, ..., п) системы И.4) можно интерпретировать геометрически как кривую в (п+ 1)-мерном пространстве переменных х, уь ..., у, которая называется интегральной кривой. Подпространство переменных у„..., у„ называется уЗ завыл пространством, а проекция интегральной кривой на фазовое пространство — фаговой траекторией. Уравнения И.4) определяют в каяздой точке области 0 некоторое направление, аадаваемое вектором т = И, )и ..., )„).