Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения, страница 5

Надо иметь в виду, что при атом могут быть потеряны частные решения, обрап(акпцие и нуль произведение д1(у))т(х). К виду (2.4) приводится в уравнение <ф/ ( а х + Ь у ) э (2Л7) где а и Ь вЂ” постоянные. Введем новую искомую переменную з ах+ Ьу. Тогда с(з ау — = а+Ьв ах ах П р и и е р 2Л. Простеншвм уравнеяпем с разделяющимися переменными яшиется уравнение ау — .= 7 (х). (2.9) Вго общнй интеграл имеет внд алемкнтАРныв методы интеГРиРОВАния' $9 27 рассмотренное в арамере 21.

Рассмотрим теперь уравнение М(х, у)ах+Я(х, у)ду=О, (2ЛО) где М(х, у) и Л'(х, у) — однородные функции переменных х, у одной степени. Функция /(х, у) называется однородной функцией переменных х, у степени Й, если имеет место соотношение /(8х, гу) = 1"/(х, у). Заметим, что / ~ — ) является однородной функцией нулевой степени. Записав уравнение (2.19) в виде (2.21) (2.29) мы видим, что при сделанных предположениях относительно функций М(х, у) н Л'(х, у) правая часть (2.21) является однородной функцией нулевой степени и, следовательно, с помощью замены г = у/х, так в~е как в примере 2.2, уравнение (2Л9) приводится к уравнению с разделяющимися переменными типа (2.4).

2. Линейное уравнение первого порядка. Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид — + р (т) у (х) — / (-). ор (2.22) Если /(х) — 'О, то уравнение называется однородным. Как легко видеть, линейное однородное уравнение + + р (х) у (х) = О нриводнтся к уравнению с разделяющимися переменными — + ер р +р(х)с)х О, общий интеграл которого имеет вид 1п ) у ) + ~ р (х) дх = См (2.24) а общее решение— (2.25) Ив в урввпенае (2И7] яерехолвт в уреваевие,~ — — е+М/в/, алв в уравнение Ет ов а+ Ц (в)' (2.18) ОВЩАЯ ТЕОРИЯ игл 3 где СтьО. Очевидно, что частное решение у(х) 0 уравнения (2.23), которое мы потеряли, разделив (2.22) на у, содержится в формуле (2.25) при С = О. Поэтому (2.25), где С вЂ” теперь уже любое вещественное число, является общим решением уравнения (2.23).

Из (2.25) получим частное решение уравнения (2.23), удовлетворяющее начальному условию у(хо) = уз, в виде — ) и*к у.= у,е йе (2.26) где С(х) — функция, подлежащая определению. Подставляя такой вид решения в уравнение, получим гс -,(к*м. — ~вакх - (м~м — е — С(х) р(х)е + р(х) С(х)е = ~(х), откуда — = ~ (х) е~ Интегрируя (2.28), найдем С(х) = ~У(х) е Их+С» (2.28) (2.29) и окончательно Заметим, что по самому способу построения формула (2.26) является докааательством единственности решения начальной задачи для уравнения (2.23), з предположении, что это решение существует. Действительно, подставляя любое решение начальной задачи в уравнение (2.23) и проводя последовательно преобразования (2.24) — (2.26), мы всегда придем к одному н тому же результату — формуле (2.26).

Чтобы докааать существование решения данной задачи, достаточно путем непосредственной проверки убедиться, что для непрерывной функции р(х) функция у(х), определенная формулой (2.26), удовлетворяет всем условиям начальной задачи для уравнения (2.23). Очевидно, нодобные рассуждения можно провести и в случае начальной задачи для уравнений с разделяющимися переменными, рассмотренных в и, 1 настоящего параграфа. Решение линейного неоднородного уравнения (2.22) найдем методом вариации постоянной, который состоит в том, что мы используем специальную замену неизвестной функции -)и мз у(х) = С(х)е ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 29 ап Ба полученного выражения следует, что общее решение линейного неоднородного уравнения (2.22) представляется в виде суммы общего решения (2.25) линейного однородного уравнения (2.23) и частного решения неоднородного уравнения (2.22), в чем легко убедиться, подставив второе слагаемое формулы (2.30) в неоднородное уравнение (2.22). Решение начальной задачи у(хе) = уе для уравнения (2„22) найдем, определяя иа начального условия постоянную С1 в формуле (2.30).

Оно также может быть записано в виде х х -) Р1ФЬН б -)Р1Ч)ЛЧ У(х) = Уре "' + ~ е ь ((ь) с~, (2.31) Хф представляющем искомое решение как сумму решения однородного уравнения (2.23), удовлетворяющего заданному начальному условию у(хо) = уе, и решения неоднородного уравнения, удовлетворяющего нулевому начальному условию. Подробный вывод 1рормулы (2.31) будет дан в гл. 3, однако ее справедливость также легко установить непосредственной проверкой.

Чтобы установить единственность решения начальной задачи для неоднородного уравнения (2.22), предположим, что существуют два различных рептения етой аадачи у1(х) и у2(х), н рассмотрим их разность з(х) у1 (х) у2(х) (2.32) Очевидно, функция 2(х) является решением задачи Коши для соответствующего однородного уравнения с нулевым начальным условием — + р(х)2(х) = О, з(хр) = О.

(2.33) Отсюда в силу единственности реп1енпя аадачя Коши для линейного однородного уравнения следует, что 2(х) = О. Существование решения начальной задачя для уравнения (2.22) при непрерывных функциях р(х) в г'(х) устанавливается непосредственно подстановкой формулы (2.31) в уравнение и начальное условие. Заметим, наконец, что если в уравнении (2.22) функции р(х) и 1(х) на рассматриваемом промежутке изменения независшлой переменной х удовлетворяют условиям 1р(х)! < К, 1~(х)! с М (2.31) то для решения начальной задачи, представимого формулой (2.31), имеет место оценка ~у(х)((~у (е ~"-" + (ел1 -Ра1 1) (2.351 $гл.

3 овшья теОРия Отметим, что оценка (2.35) остается справедливой и для функции у(х), определенной формулой (2.31) с кусочно-непре- рывными функциями р(х) и 7(х). В этом случае под решением начальной задачи для уравнения (2.22) с разрывными коэффи- циентами мы понимаем непрерывную функцию у(х), производ- ная которой кусочно непрерывна и имеет раарывы первого рода в тех же точках, что и функции р(х) н г'(х), а уравнение (2.22) удовлетворяется на общих участках непрерывности функций р(х) и )(х). В заключение этого пункта укажем некоторые часто встреча- ющиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими подстановками могут быть сведены к линейному уравнению.

Рассмотрим так называемое уравнение Бернулли Д+р(х)у=1( )у", (2.36) где п чь1, иначе уравнение уже линейное. Введем новую неиз- вестную функцию э=у' ". Тогда уравнение (2.36) перейдет в линейное уравнение — — + р( )з(х) = 1( ), общее решение которого дается формулой (2.30). Более сложное уравнение Риккати Д+ р(~)у( )+ Ч(х)И'( ) =У(*) (2.37) в общем случае в квадратурах не интегрируется.

Однако оно об- ладает следующим важным свойством: если иазестно какое — либо частное решение у = у~(х) уравнения Риккати, то нахождение его общего решения сводится к решению линейного уравнения. Действительно, введя новую неизвестную функцию з (х) = у (х) — у~ (х), получим для нее уравнение Бернулли — + (р (х).+ 2д(х) у, (х)) з(х)+ д(х) зз(х) = О, ,что и доказывает высказанное утверждение.

$2. Теоремы существования и единственности решения начальной задачи дли одного уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Алгоритм ломаныл Эйлера В предыдущем параграфе с помощью явных формул было доказано существование и единственность решения начальной задачи для линейного 'уравнения (2.22). Перейдем теперь к рас- теОРемы сущестВОВАния и единствюшостн смотрению соответствуютцих теорем для общей начальной аадачи -У- = 1 (х, У), Р (х,) =- Уе (2.38) прн достаточно общих условиях на функцшо 1(х, р). При атом доказательство будет опять проведено конструктивным путем— одновременно с доказательством теоремы существования решения задачи (2.38) будет дан алгоритм построения функции у(х), сколь угодно точно аппроксимирующей решение исходной задачи. Идея этого метода принадлежит Эйлеру. Метод состоит в том, что интегральная кривая, нвляющаяся решенном задачи (2.38), последовательными шагами приближенно заменяется некоторой ломаной — ломаной Эйлера.

Будем рассматривать (2.38) в замкнутом прямоугольнике Р = (!х — хе! ~ о, !у — рс) ~ Ь) плоскости (х, у) с центром в начальной точке (хс, уе) к поставим своей целью определение пнтегральной кривой у(х), выходящей нз данной начальной точки (хе, ус) и идущей в сторону возрастающих х ) хе, Предположим, что в Р функция 1(х, у) непрерывна вместе с д1 частной производной — (х, р). Отсюда следует нх ограниченность: дх р)~~~м !а (х у)~<К (х у)е Р (2 39) Существование непрерывной частной производной функции 1(х, у) нам потребуется при доказательстве сходнмости ломаных Эйлера к решению задачи (2.38).

В дальнейшем будет показано, что зто требование может быть ослаблено. Искомая ннтегральнан кривая (еслн опа существует) пересечет либо вертикальную х = хе+ о, либо горизонтальную у = ус+ Ь 11 Н Рнс. 3. Ь(М ( а. Рнс. 4. Ь(М)а. 1 — нвтегральная кривая, проходящая через точку (сн ус); 11 — прямые с тенгевсом угла наклона, равным ~ М. или у ус — Ь границу области Р. В последнем случае абсцисса точки пересечения меньше хе+ а и искомая интегральная кривая определена не на всем отрезке хс ~ х =хе + а.

Однако из простых геометрических соображений (рнс. 3, 4) и леммы Чап- Ь лыгина ясно, что до точки х, + М она не пересечет горизонталь- овщля тиорня )гл. з ной границы. Позтому в дальнейшем вместо области Р будем рассматривать прямоугольник Ь = ()х — хв! < Н, )у — ув! ~ Ы, где Н ппп (а, Ь/М) Перейдем теперь к построению ломаных Эйлера. Разобьем отрезок (х«, Х), Х хе+ Н, на и частей точками деления хе= = '"'хв, '"'хи ..., '"'х Х в). Обозначим оох, — оох, 1 'юй, и '"'Ь = п1ах('"ЪД. На первом шаге «заморозимв Дх, у) в точке (хс, ув), т. е. заменим правую часть (2.38) значением )(хо, ув), тогда получим уравнение с постоянной правой частью а (а) — ~ =У( у) его интегральной кривой служит отрезок прямой: '"'у(х) = ус+ ~(хв, уо)(х —.хо), х ш Ьс, '"'х|).

(2.40) „~~ =)(х, у)+ ~у(х), (2.4() еде невязка «)(х) удовлетворяет неравенству ьвр )~)(х)! ( е. егвмХ) (2.42) ч) Здесь и часто в дальнейшем мы будем польвоввтьсв левым верхним ивдевсом <">. Правый верхний индекс оо будет улотребллтьсл исключитвльво для обовлвчввил пролвводлой. В точке < 'х~ зто решение принимает аначенне '"'у1 = ус+ +)(хв, у«Н'"'х1 — хв). На втором шаге примем за новую начальнуго точку ( хи "у1) и~ опять заморозив У(х, у) В втой точке, построим следующее прямолинейное авена, и т. д. В силу леммы Чаплыгина ясно, что полученная таким путем ломаная на отреаке [хв, Х) не выйдет нв прямоугольника Ь. Полученная ломаная и называется ломаной Эйлера.

Примем ее за приближенную интегральную кривую. Для обоснования описанного алгоритма и докавательства теоремы существования решения исходной задачи достаточно докааать, что последовательность ломаных Эйлера ('"'у(х)) при '"'и— О сходится и предельная функция является решением исходной задачи (2.38). Определение. Непрерывная на отрезке (хв, Х) функция у(х) «у с кусочно непрерывной производной в, график которой целиком лелсит в Ь, называется е-приблилсенным по повязке решением начальной задачи (2.38), если !у(х«) — у«! ~ е и при подстановке функции у(х) в уравнение (2.38) последнее принимает вид В 21 ТЕОРВЬГЬГ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ Вз где Обозначим '2'у(х) — '"у(х) = 2(х), (2.47) фзбн — 2)вЫ = кр(х). (2.48) Вычитая (2.43) из (2.44), получим — ' = У (х, " у (х)) — 1(х, н~у (х)) + ср (х).