Арнольд В.И. - Теория катастроф, страница 9

у и об . о «понг* э мав бесааиечпо-глад«ю и и даже авалитпчес«аи выпуааым телом, моагет, иая его оа «в ы"г ои строевым, иметь асобеаассти. А амеаао, гран иа тевп трехмерно о вмауилого есле может пасть разрывы третьей производной, а тела раемераооти 4 в вьяае — д:о«е ь араб (Н. А. Богыэс«ий, 169 6. Мвого новых игперосвых оьобелаошей ва нилы з опгпмиаадповвых аедачах с ограпичепвямп, иаир р В а'ДаЧЕ об Об«ОДЕ иРЕиа Пл Ит И повалив пр„ело г возим Реву штатам а олпом ио стмых алассичесвих обаашей математ а — ге мшр гл д«пх повар«асс й е трехмерпом праотраястве 1г. слАдкие наееРхнастн и их нрпектигиеанин Г 'ладвал «рппаэ ва плоскости может иметь «ыательаую со сколь угодво большиы чиююм точеп насави» (рис.

63), ио ахо ае в случае общшо палогаеапв. Мали» шеееэеюгем врпвой ма«ага добитьоя того, что ви«акая првмая ле будет яасатьса ее более чем в длук точиох. В с«аль«их тачках может касахься прлмай поаерхпгсть абщшо псложелия7 Немного подумав илв пое«сперамеатироеив, читател Р с. зэ тусаю аоа. мавгет убедатьс, что лаийыыже в м пз воа ири- чтло аюч ь ао а»«а рос«юлм. еой ргм. сатрапа» тря тсч«и «асаава прямую иажао двигать, лве — дввгать а двух ваправле- ваях.

Порядок иаса»иа прамой с «ризой или иоаерхлостью таяне пожег быть рашачаым (аапрямер, аордаоа ласа- вив оси х с графа«оч у = х первый, хг — второй и т, Е.) 1Ъ« говея «рпзап общего «олагвеаая ае «мест засательаых иыше второго иарад«а (второй лорвдоа «вселя» вш е- чае тся в отдельных точках «ризой, ваэыоаешах шочгнли ре- пер сиба). Для позертвошв з пргктрэвстве дела ебсп ит ужо ве таи ироато. Н точках, близ которых поверхваьть ве эы- пу«ла, имеются «асательлые выгпе первого поряд«и (ааи аааываются еиюипот«жоли«и касатсльаыии).

Для ш верхаосхи общего положевпя «асательаые трохьего по- рах«а пмеютоя пв пеаоторой лииии, а четвертого — в аг- а л в т точаах, «асательаых выше чювертого парадна обжал ааозрхасохь ве имеет В иа а се газли поверхаасти общего ао агиевпя дел»топ д па рад«вы аесатеаьвых иа следующие 7 «ласса» (рис. 64)г 1) обл ш аь сл.с«ванче «их точек (все «аеатольвме ио- рядез 1); ) облаешь ги»ерболичесюш шочсл (дае аоамптотвчесаие ьасателышс), Зтп дне области разделяе~ общая грапвца; 3) линия параболических юочек (одна аскмптотя геская «асательпая).

Р е. Е4. Ел ы 6 к паа ео к лэ пидкоь поаерхао ш ца бр ° я кривая — множество всех песательпых пслоцпой кж:эой. От» крдэаа яааы аетск дгойсюшггнотг а псхсдяой. Есап ясходяая прльая гльдьая л эьшуклаа, ш даойстаопкая крякая тоже глзющя. села же ксшдпая крппая имеет шчку перогяба, то аа дзойствеапой кршой ей сошветстауат леечка еоаврюпа (рпс. 65). Кривые, даойстленяыв к глвдкам ирпаым общего полюкелая, клеют тапке же особьппооти, как волпоаые Вяутри области гяперболкг- ности выделяется особая ляпал: 7 4) крьеаа шрегпбо е лптото- 6 7 3 ческих локка (есть касателькея третьего порядка).

6 Накокец,плахой кривой аыдег 5) юо'гка две щего гырегиба ,А. зепы еще особые точки трех тлпоь; з й «а ательпая четвертого порядка); 6) лорггиб обсох епкюовп. шсхих ликой (два касатезьпме третьего порядка); 7) обж е юожп лакай 3) и 4). Дял поаерхпостей общего полюкепия е точках 6) про. исходит пересечеппе двут ветеей ляпая пэрвгпбоа лад пеяулеаым углом, а в точках 7) — касапме (первого порядка) ляля» 3) п 4). Олясапкая клашяфлкацая точек пазерхлостп (О.

А. Нггахопова, Е. Е. Лапдпс) следующим образам сзявава с класшфлкацлея особеякосша волаоных фроптое. )багеызтякя называют юочкомп объекты любой прп- Р оцы. Рассмотрел, например, мпокгество всех певертакальяых прямык пе алосаостп (х, Р). Такие прямые задаются ураапеппямп вада р ах .1- Ь. Саедсьателько, одна праман определяется парол часе.г (а, Ь) п монти рассматриваться как точка плоскостп с ка-- ордплатами (о, Ь). Эт» шюскость паеыаашся деоисюееикай к походной ллоскосюл. Ее точки — это прямые ясходпсб плоскостк. Ешл яа походкой плоскости дана гладкая крякая, та э кажцой ее точке пмеахся ьасагельяая праман.

Пра дшжевш точки вдоль ьрпьоа кзсажльяая ыекяетса, следоэательао, дакгкется точка двойстэеяаой плоскосга. фровтм общего пололюкка ее плоскостя, а гак гке «ере. страяваются прп общей гладкой деформацяк пгхол ой кривой, как перестраппается распрсстраяяющкйса общем образом ло ллссксстп обацгй франт. Точна так аге лоскостп в третыераом простраас зе сбраауют двоасжжкное тршлгрког яр сюрпнсжво, а есе касательаые паослости к гдадаой поаерхпостп образуют Рос.

66. Да Штшал Г С оюрат деойсюеельую поверхность. Особеакостп поверхности, д ойствелкой к поверхности общего положеапя, галле жв, как у волнового фронта, т. в. ребра возврата с ластачьяаыкк хвостамп. Ляпал аараболпчеишх точек походкой покерхвостл еошветстаует и» дволстпеяпой повертяостя ребро воз- рша. Осооыв точки ка этой лялям (где ока квсаетск ча. пап первгпба аспмптотпческих) соотъе стауют ласточякпым хлестам..!паяя свмелересечеппя ласточкквого квос а состоят пв двойаых касательных плоокоохек псходыой поеерхкост . Слелоэательпо, а точке 7) сгшваются шге точк касаема плоск с п с д й поверхностью, чем л зеаакшэается одкопараметрпческое семейотас двойпых кесателькых гиоскостеп.

Классы шчек яа поеерхкоста общего положекпя проз яютятеюкеп ашрш ыхосбепос 6 д о кимура. Есла лаправлвеке кроекхпровапая — обгцеш лю.олгелпя, то особекпсстп — ляжь складал п сборка, по теореме Уптял. Одаако, выбран пзпраюикке проектпрсзаапн с епдальвым обрааоьг, можао пслучпть п аекоторые пе общпе проекцал поверхаостп обпгего положеьал. Окааызаетса, зсе чакке лроекткроеалпя локально прпаолнтся к проекткроааяаям лершкслеппых ниже 3 поверхлсетсй з =) (х, у) ндшь осп х: е ~ т ' е.ь ! "4*э ~ 'щ 'эы*е' ~ '4-*'эт э (поверхности ароектвруютсв на плоскость, (у, «), праведавло осюдсс ел летая аамеаой Х (х, у, «), У (р, «), 3 (у, «)). Видимые контуры, соответствующие этим праекдаям, паображепы аа рве. 66, Соотэетстьяе между класскфикап««ей проектирований п точен аа поеерхаоств состоит в сгедующем.

! — э о ороекп«роьанае яо не«с кптотпческому лапраьлеа«по («ьледкв Уптш«). Преентярова«ше но аскмптотнческому лаправлепя«о в общей точке пшерболической области принадлежит «кпу 2. Это проектврованне немет особенностью сб,рку Уптпн. Прк малом шевелею«м вапраалеамя проектпро. нанял особая точяа лишь пенного перемещается но поверхаостп: новое вапрааленяе оваеываотсн аспмпхотаческям в бш«экой точке. Такам обрааом, чшобм уи«деля сборку, доспи ет о «юлю«ужь на об «ую юмсрююпль ло чан«огяическому яелраел кию, Прм движения ковер«нос««~ нлп наблюжтеля а отдельные моменты появятся особенности 3, 4 н 6. Проектлровэпяя 6 (п 8 илв 6) соотвехстауют ганербоэпческой об«шота (а нчевпо асамнтотлчесннм касатшьвыч третьего л четвертого норнаьов соотвежтьеиво).

Во шаве двугорбого верблюде (см. рве. 43) яро«сдпг лнщш порем ба есннлтотпческвх. Касшельвыс триьего порядка, прплшкенпые в ее точках, обре«уют лавер«по.ть. Пр . од вм ерб да, м д жд ере ь, е»! е . в рхност . В момент пересечена» ьндпьый контур сна .ы имеет особенность юше р« = х', а проектьрааакве — * и 6 Остютьные особенаостп воанвкаки прн нроеьтироеанпэ ао напраплевлю, асямптотнчесяаму е нараболпческоя юш ке. Простеажае ва внх — особеявост» 3 п 4.

Преектн! анапе 3 реаляеуетс«е момент, яогдп мы, сп«кансь с бугра, начинаем видеть его нонтур (см. рао. 4!) (!ерная поввлп .- щаася хо«ка контура — саработ«ячесь я, й 6 6 й М м ,~~ о оо ° а Ф~йпп~па о па кран 1 нный крп Кампра Пвп Р» Рв вппвппвлува 10-11 В ~ "У Р Р с йй Гнйпрнапш првпак р в в й: лу вй 11 Рв .

00, В фурквпвв рвнпв1юваввй: в упай 10, ° + у й на.вв д рй П ри провождевиа особенвости 4 происходит слияние вли равделвпне двух компоиевт видимого контуре. Особенности 5, 7, 8 и 9 рввливуются лить прв аво. пнровввпыл ваправленных проектирование, в вх нужно спетгальпо искать, (8 и 9 — проектирование вдаль касательной чтвертого иарлдка, 7 — вдоль ыараболвчесаой квсвтелыгой третьего порядка, 5 — тачка вивраллвльвоспг асимптотических в бесиоаечао близких параболических точивгв). Прн праектаровапввх иа отцельпыл тачек реалвауются еще 4 асобвгшоста 10 — 15, * = л' ~ «у', г = л' + к'у — , 'яу', г = л' + лу (риа. 66 — 69).

13. ЗАДАЧА ОБ ОБХОДЕ ЕРЕЦНГСГНИЕ Рассиотрам в тра«меркам еввлндовам прострекотав препятстпие, ограниченное гладкой поверлиостью (рас.70). Ясно, что кратчайший путь яе л е у ° обход преиятствпя состоит вв отреакав пряных и атревков геодезических (кратчайших линий) ие лавер«вости препятствия. На геометрвго крвтчайтпл путей сильва испинав 'Р ус' (Т у раевичвыс перегвбы повар«ности иреавтстввя, Предполоясим, что начальная точка пути, ж зафиксирована, а Р с. 7Е.