Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 15

Ответ. 0 = 2Н 13Х. С увеличением угла т длина цикла воз- растает. 3.1.17. Найти длину цикла в условиях предыдущей задачи, если волновод ичеет глубину Ь, Рассмотреть предельные случаи Ь<Н;Х<1, Х=п/2. К калаче ЗГЬ!7 Рещение. В золноводе конечной глубины есть два типа лучей: отражающиеся и не касающиеся дна (см. рисунок). Критический угол т определяется формой критического луча, касающегося дна, и является решением уравнения соз Ж = Н/(Н'Ь), Ж м /2Ь/Н, Ь < Н. (1) При т ~ у, длина цикла определяется формулой 0 = 2Н1ИХ о (см, задачу 3.1.16). Прн Жп О(Хо) = со з т (з! п~о з!п~ ) 2Н (2) где у -угол скольжения у дна, определяемый из уравнения ск соз Х = (1 - Ь/Н) сову .

Длина цикла-немонотонная функция угла. Вначале она возрастает, а при у» у убывает. В частности, при 7 ъ у и Ь е Н Йжо) ч 2Ь с(аХо, (3) т.е. луч практически не испытывает рефракции и длина цикла такая же, как в однородном волноводе глубины Ь. 3.1.18. Волноводный канал образован двумя слоями с постоянными градиентами скорости звука (см. рисунок): Н = Нз при а > О и Н вЂ” Н при з е О. Найти длину цикла 0(т ), а также 1 о' -и 3 К задаче 3.1.18 радиусы кривизны луча в верхней (Й ) и нижней ()( ) полуплоскости в зависимости от угла наклона Х луча на оси канала.

Ответ. Используя результат задачи 3.1.16, находим О = 2(Н;Н ) 13ХО Ь' Н1/созХО )7 — Н1/созХо (1) С увеличением угла Х длина цикла возрастает. 3.1.19. Показать, что траектории луча в среде, в которой с = с (1 - азх2) 1т2 л = л (1 — а2 2)1/2 О О представляют собой синусоиды. Найти длину цикла В(Х ) и исследовать случай малых углов Х для приосевых лучей. Решение.

Из уравнения (4.4) для лучей в плоскослоистой среде получаем Ы г/Нх = — а г/соз Х (1) С учетом начальных условий (4.5) находим (51ОХ /а) 5!П(ах/созХ ). Длина цикла 0 = 2псозХ /а при малых Х не зависит от угла О Такой же результат можно получить, вычисляя интеграл (7.2). 3.1.20. Рассчитать траекторию луча в плоскослоистой среде с показателем преломления л = л (1еазгз) 221тз О Ответ. г = (з(п Х /а) зп (ак/соз Х ).

Луч экспоненциальио быстро уходит от оси канала (2) 3.2, Лучи в неоднородных природных средах 87 3.2.1. При определении скорости звука часто используют различные эмпирические формулы, которые позволяют по измере. пням температуры 7 (в градусах Цельсия), солености з (в промнллях; 1%о = 0,1%), глубины г (в метрах) расантать скорость звука с (в м/с). Формулы различаются точностю опредслення скорости. Одной нз ннх является формула с = 1449,2 + 4,61 — 0,0551 + 0,000291 + (1,34 — 0,0101)(з-35) + 0,05г. (1) Она обеспечивает точность до 1 и/с в диапазоне темпертур от 0 до 35 С, солености з от 0 до 45%о, глубины з оэ 0 до 1000 и. Пусть судно находятся в широком устье рекн, несущей прес- ную воду в море. Верхние 5 м — это пресная вода прн тыпера- туре 20 С. Ниже находятся толша морской воды с соле,'остью 20%, и температурой 15 'С. Макснмальная глубина и = 20 м.

Найти и построить профиль скорости звука. Необходнмо лн учитывать добавку к скорости звука, вязан- ную гндростатнческнм давлением, — последнее слагаемое ~ (1)? Найти коэффициент отражения по давленкю У от скачка скхростн. (14816 0016з, 0 г ч 5 и, Ответ, с = (~ Поправка, свя- 1489,2+0,016г, 5 < а ч 20 м. ванная с гндростатнческнм давлением, меньше точности ворму- лы.

Коэффициент отраження равен У = Ьс/2с = 2,5 10 з. 3.2.2. Температура воды на поверхности океана г = 20 'С, соленость з = 10 %„. На глубине Н = 100 м соленость = 30 %,, а температура воды Г = 6 С. На глубинах, боаьшнх 300 м, температура постоянна н равна 1 = 6 С, соленость = 35 %,. Считая, что градиент скорости звука постоян'.н на глубинах Ь < 100 м и Ь ~ 300 м, найтн радиус крнвнзны )? лу- ча, вышедшего горизонтально, на глубинах Ь = 99 и, Ь 1 ' 2 = 500 м. Куда будет загибаться луч? Ответ. Согласно (1.10.4) радиус крнвнзны определяется от- носнтельным градиентом скорости звука )? = с/)йс /Из), а тра- екторня загибается в сторону уменьшения скорости звука.

Со- ответственно получаем: прн Ь = 100 и Я = 5 10 и, луч заз 1 1 гнбается ко дну; прн Ь = 500 и )? = 9.10 м, луч загибается 2 2 к поверхности. 3.2.3. Каков минимальный радиус кривизны луча, рефракция которого определяется изменением скорости, связанным нсклю- чнтельно с увеличением гндростатнческого давления. Насколько снльно изменится этот радиус, если глубина равна Ь = 1000 м? Температура постоянна и равна 6 С, соленость з = 35 %о. Решение Из формулы (1.10.4) следует, что для слоя с постоянным градиентом радиус кривизны минимален для горизонтально выходящих лучей в точке, где с минимально, т.е. у поверхности океана.

Используя (1.1.1), получаем, что радиус кривизны у поверхности, где с = 1475 м/с, равен Я = 93 км, о на глубине й = 1 км Й = 94 км. 3.2.4. Считая, что температура ( спадает с глубиной по линейному закону с градиентом 0,5 Кlм, найти радиус кривизны й звукового луча, выходящего горизонтально из точки, лежащей на глубине 25 м. Скорость звука в этой точке с = 1475 и/с. о Определить, на каком расстоянии ь звуковой луч отклонится на величину Ьй = 50 м. Ответ. го о 'гд 7д~ггус уд~ )д)'732)- = 641 м, )77(1 -((й-ЬЬ)/К~ ~~ = (2НЬЬ)~ и 250 м. 3.2.5. Градиент скорости звука в слое постоянен и равен дс/дз = 0,05 с , скорость звука у поверхности с 1500 м/с, о глубина слоя л = 200 м. Источник звука находится у поверхности. Найти уоризонтальное -л расстояние, иа котором луч, скользнувший по диу, и выйдет на свободную поверхность (см рисунок).

Решение. Используя ре- 0 Э шение задачи 3.1.16, для к а а луча касающегося дна (у = = О), имеем ОО = 2Н(6)(, (Н =с /(дс/дг( = 30 км) а критический угол опреде- К задаче 3 2,0 ляется из (1.17.1). Используя условие И и Н, находим т = (2л/Н) к 1, и, следова- 1/2 тельно, 00 - "2Н197 "- 2Ну = 2(2НЬ)/. Подставляя числовые значения, имеем т - "0,115, 0)9 -" 6,93 км.

3.2.6. Узконаправленный источник, расположенный на глубине г = 200 м, излучает звук в угловых пределах т = + а (а = 0 = 3 ) относительно горизонта (см. рисунок). Определить, на каком расстоянии (по горизонтали) х звук выйдет иа поверх- ность. Какова будет длина Н озвученного участка на поверхности? Градиент скорости звука постоянен и равен дс/дх = 0,03 с 1, скорость звука на горизонте излучателя с = 1500 м/с. Решение. Считая, что начало ха К задаче 3.28 90 координат находится в точке вы- К задаче 3.2,6 хода луча, получаем, что ско- рость звука описывается выражением (1.12.1), где с 1500 м/с, Н = со(дс/дх) 1 = 50 км, а расстояние, пройденное лучом, имеющим начальный и конечные углы скольжения т и Ж, описывается выражением (1.13.2).

Угол выхода на поверхность определяется из закона Снеллиуса Спзх Спза с (Т-'г 777')' С учетом малости г,/Н получаем для граничных лучей 1 и (а +2х/Н) . Таким образом, для х1 и И имеем х = (Н/сова)(5(пу — з!па), Ы = 2Н!да. Подставляя числовые значения, получаем' т. 5,9, х 2,42 км, д= 5,24км 3.2.7. Слой воды имеет постоянный отрицательный градиент скорости звука — а = )Н) 1 = 5 10 5 м 1. На каком расстоянии луч, направленный у поверхности горизонтально, достигает глубины и = 200 м. Найти угол скольжения )( в этой точке, фактическую длину луча й Ответ.

созХ = (Н-и)/Н, 1( = 8, 1. = 2784 м, 1 = 2792 м. х' 3.2.8. Найти поправку на 1 х глубину объекта вследствие ха и рефракции луча в среде с постоянным отрицательным градиентом скорости звука — а = = 1/Н = 6 10 ~ м 1 (см.рисунок). Кажущаяся глубина объекта в однородной среде рави на Ь; при угле скольжения уп = 10 й = 50 м.

Решение. В предположении, что вертикальное отклонение луча з < Н, его траектория описывается выражением, полученным в задаче 3.1.14. Пренебрегая рефракцией для кажущейся глубины, имеем Ь = х !д ХО, откУда к! = Ь/!и у.. Поправка, связанная с рефракцией, ЬЬ = к /2) Н) = 24 м, т.е. истинная 2 глубина объекта примерно в 1,5 раза больше, чем кажущаяся.