Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 13

2.3.13. Найти критические частоты и поле в плоском слое, когда верхняя граница слоя г = Ь является абсолютно мягкой (коэффициент отражения У = -1), а нижняя — абсолютно жесткой (У = +1). Решение. Представим поле нормальной волны в виде суммы плоских волн (см, задачу 2.3.12), распространяющихся как в положительном, так и отрицательном направлении осн г: ф и 73 Ф, причем 6 е!И(хз! вВ-эсозВ) Отсюда получаем ~ = 1, ~ехр(-2(ИИсозВ) = -1, ехр(- 2(ИИсозВ) = -1, А т.е.

сов В ц(1-1/2)/(И И), 1 = 1, 2, 3„.. Полное поле в слое равно сумме нормальных волн Ф(х,г) = А е!И (жгпйчхсок6) На нижней границе (г О) ф является падающей волной, ф— отраженной; иа верхней границе (г = И) — наоборот. Согласно граничным условиям (Р/Ю, - -1, (Ф /Ф,) „= 1. м Ф !Ияз~оВ ЭхсозВ -жгсоз6 т 4 и 1-1 х ' х гэхм оВ )А !~е ! 1 ! ! Так как з!п6! 1 — (и((-1/2)/ИИ), то критическую часто- 2 ту находим нз условия и (1-1/2 )/ИИ 1. Критическая частота нормальной волны номера ! равна ) = с(1-1/2)/2И.

2.3.14. Вычислить критические частоты первых трех мод (не считая нулевой) для идеального плоского волновода в воздухе толщиной и' = 10 см, если коэффициенты отражения звука на его границах равны У У = 1. Будут ли возбуждены эти моды ! 2 звуком частотой 1, 5, 10 кГц? Построить дисперсионные кривые для фазовой и групповой скоростей указанных мод. Ответ.

Звук с частотой 1 кГц не возбуждает ни одну моду; 5 кГц возбуждает моды 1 н 2; 10 кГц возбуждает все три моды, а также моды 4 и 5. 2.3.15. Определить для мод, рассматриваемых в задаче 2.3.12, направления лучей Бриллюэна, если в волноводе возбужден звук частотой 5 кГц. Решение. Наклон лучей Бриллюэна к границам волновода находим по формуле ейп у = й ! /И Значения критических частот; т 1, ( = 1700 Гц; л! = 2, ( = 3400 Гц; л! 1, т и и 20; т = 2, Х и 43 . Мода ги = 3 при ) = 5 кГц не возбуждается. 2.3.16. Слой воды (без поглощения) толщиной 15 м расположен над абсолютно отражающим плоским дном.

Вычислить собст- венные функции для двух первых нормальных волн. Определить их критические частоты. Решение. Собственные функции имеют вид г з!п(И г), где И = (т-1/2 )и/Иг лг = 1, 2; И = 15 м. Критические частоты т х = (2лг-1)с/4И, л! = 1, 2; с = 1500 м/с. Таким образом, И 1 = и/30 м, И = и/10 м; 1 = 25 Гц, 1 = 75 Гц.

2.3.17. Показать качественно вертикальное распределение амплитуды звукового давления в четырех первых модах, включая нулевую, в идеальном плоском волноводе толщиной г( = 10 см, если коэффициенты отражения на его верхней и нижней границах равны:У =У = — 1;У =У =1;У =-1,У =1. 1 2 ' 1 2 ' 1 ' 2 Решение, Чтобы показать распределение амплитуды давления, необходимо учесть, что давление равно нулю на границе, где коэффициент отражения У = -1, и максимально прн У = 1.

В первых двух случаях по глубине укладывается четное число четвертей длин волн, в последнем — нечетное. 2,3,18. Часто на дне озер залегают осадки, содержащие пузырьки, которые образуются при разложении органических веществ. Поэтому жидкий слой может аппрохсимироваться слоем с двумя квазисвободными поверхностями сверху и снизу: толщина слоя воды И, скорость звука с = 1500 м/с, плотность воды р = 1О кгlм~. а) Определить собственные функции волновода о Е (г), б) найти собственные значения И волновода при И = = 5 м; в) вычислить критические частоты для четырех нормальных волн; г) вычислить горизонтальные составляющие С посто. янной распространения и фазовую скорость с, первой нормальной волны при частоте сигнала 300 Гц Решение. Коэффициенту отражения на границах У = -1 удовлетворяют собственные функции волновода 2 (г) = з!п(И г), собственные значения И = л! и/И, критические частоты норт мальных волн ) = гл с/2И.

Горизонтальная составляющая постом янной распространения = !4 -~~, И 2111/ . Фазовые скорости мод с = 2п)/г, . Следовательно: а), б) Е = з!п(И я), И = гл(п/5) м; в)/ = !50т Гц, пг = 1,2,3,4; г) г, = '((2п)/с)~-(тп/И)~'1' = (и/5)(4-гл ) м, с = 3000/(4-т )122 м/с, для первой моды лг = 1 с = 1730 и/с. 1 2.3.19. Для донного осадка, описанного в задаче 2.3.18, положить с = 50 мlс, р! 1,1 1О кг/м .

Найти коэффициент 3 3 73 отраженна первой нормальной волны от дна, если частота звука равна 300 Гц; оценнть коэффициент затухания этой волны, обусловленного неполным отражением ее от дна. Плотность воды р = 1О кг/м . Скорость звука в воде с = 1500 м/с.

О о Решение. Представим первую моду через два луча Брнллюэна.: Угол наклона лучей Х, = агсз(п() /1), где ) — крнтическая частота первой моды: )! = с /2)г = 150 Гц, отсюда Х = 30'. Находим коэффициент отражения луча по формуле глз|пХ! л — соз Х! 2 2 Р! О )г = гп = — ! = 11, и = О = 30. 2 2 РО 1 глэ)ПХ э и — соз 1 1 Вследствие неполного отражения звука от дна волна в слое воды постепенно ослабевает. Например, на расстоянии ь луч отражается от дна М = ь/Ь раз, где Ь = 2й/!АХ.

Относительное 1' 2 уменьшение энергии при каждом отражении луча равно 1-))г), а на длине 100 м — (1-))г) )М с учетом разложения волны на два 2 луча Бриллюэна 2 (1-)У) )М; среднее ослабление на 1 и, т.е. 2 коэффициент затухания первой нормальной волны, равно 2у = 2 х х(1-)г') )М/100. Числовые значения: ~)г) = 0,96, у = 4 10 м 2 -3 -1 2.3.20. В сторону берегового шельфа, каменистое дно котоо рого образует с. горизонтальным уровнем воды угол 1,1, распространяется звук с частотой 6 кГц от практическн ненаправленного излучателя. Определить число незатухающих мод, приходящих в точки, расположенные на расстояниях 10 н 50 м от берега. Найти углы наклона к горизонту лучей Брнллюэна на расстоянии 10 м от берега.

Скорость звука в воде 1480 м/с. Решение. Считая коэффициент отражения равным на верхней граннце — 1, на нижней + 1, находим критические частоты т— моды на различной глубине клиновидного шельфа: Ц„м= (2гл-1)х х с/4л ()г = г1цХ = 0,0192г, с = 1480 м 'с). Незатухающие моды образуются, если ) = 6000 Гц ~ ) . Находим значения )г Лт прн г, равных 10 н 50 м, вычисляем для этих глубин критические частоты )„ н определяем незатухающие моды, соответствующие некоторым Значениям лг.

Далее вычисляем углы наклона к горнзонту лучей Брнллюэна на расстоянии г = 10 м от берега: з)пХ = 1„ /). Таким образом, на расстоянии г = 1О м образуются две незатухающне моды; прн г = 50 м — восемь мод. Углы наклона лучей Бриллюэна при г = 10 м: л! = 1, Х = 18,7; 1 лг = 2, Х = 41 7'. 2.3.21, Вычислить объемную плотность энергии и интенсив- ность звука в диффузном поле.

Решение. В диффузном (или изотропном) звуковом поле, т.е. в таком пространстве, где отсутствуют упорядоченные направ- ления распространения звука, объемная энергия равна зп и Е = —, ~'да =, ~ а ~'з'1пй 46 = —,, Аз А~ 2пА~ 2рс 2рс о о где Ай = ып6 г(6 др есть элемент телесного угла, А -амплиту- да давления, не зависящая от направления вектора й, характе- ризуемого углами 6 и (з. Интенсивность звука, т.е. энергия, падающая в единицу времени на единицу плошади, равна 2п пх2 7 = 2 в ~ г(р ) соз6 з|п6 г(6 = 2 в = 4 в . А г пА сЕ рс рс о о 2.3.22.

Вывести формулу для времени реверберации звука в помещении, Решение. Напишем уравнение баланса энергии в объеме, где находится источник звука с мощностью М(Г), а полное поглоще- ние звука (различными предметами, граничными поверхностями) равно а. Энергия не~очипка за вычетом поглощенной энергии в единицу времени идет на изменение энергии поля: Ф(Г) — уа = = а(Е)г)/Ж, где I — интенсивность звука в диффузном поле, т е.

энергия, падающая на единицу площади в единицу времени, Е— объемная плотность энергии, )г — объем. Но Е = 47/с, где с— скорость звука (см, задачу 2.3.20). Уравнение баланса энер- гии: 7+ 4)т 7 4)7 М(г). Пусть источник звука включается в Ж ас с момент г = О. После этого интенсивность звука спадает по эк- споненциальному закону, который находим из уравнения (1) где 7 7 ехр(- Я 1) -формула отзвука. Время, в течение о а которого интенсивность звука уменьшается в 1О раз (на 60 дБ), называется стандартным временем реверберации. Из уравнения (1) находим Г (24/с (де) )Г/а; для воздуха (с = 340 м/с) Г = 0,162)г/а(с).

2.3.23. Вычислить время реверберации 1 в прямоугольном Г зале размером 100х70х20 м, если средний коэффициент затуха- ния стен, пола и потолка равен а = 0.6 м ~. Ответ. г = 0,162 г/а = 1,82 с, а = аЯЗЬ, где 5„— пло- щадь ограничивающих плоскостей. 3. АКУСТИКА НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД 3.1. Геометрическая акустика.