Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 10

импедансу пло! ской волны; коэффициент отражения на конце трубы близок к нулю. На самом деле на конце трубы происходит преобразование плоской волны в сферическую, и картина поля будет сложнее. 2.1.10. Вычислить коэффициент отражения звука от открытого конца круглой трубы без фланца и найти распределение максимумов давления в стоячей волне внутри трубы. Частота звука ! = 200 Гц, радиус трубы г = 2 см, скорость звука в воздухе 3 с = 340 м/с, плотность р = 1,3 кг/м .

Импеданс на конце трубы определяется выражением 252 2, = "-~~ — + Р4яр)го' 3 "го' (1) Решение. Коэффициент отражения звука от открытого конца трубы равен (8.1): У У е = (2 -5рс)/(Я !-Яре), а модуль кг Р ! и фаза определяются (7.3). Максимумы давления внутри трубы отстоят от конца на !! = (о/2п+гп) й/2, гп = О, 1, 2, ... Лолагая 2 = Брс()?1+(У!), находим 2 2У ()? 1) У ()? +1) +У )? +У 1 В данной задаче )2 ц [ т /с, У = 4[го/с.

Подставляя числовые значения, получаем У - "1, 1до н -8[г /с — 0,1, о п-0,1 м 3,04. о Максимумы давления внутри трубки отстоят от конца на рассто- яние И = Л/[2(гл+о/2п)) = 0,85 (гл+0,48), гл = О, 1, 2, 2.1.11. Вычислить импеданс и присоединенную массу откры- того конца длинной круглой трубы в среде без поглощения на частоте [ = 100 Гц.

Площадь сечения трубы 5 = 1000 см . Оце- 2 нить коэффициент отражения от конца трубы и вычислить излу- чаемую мощность, если амплитуда скорости на выходе из отвер- стия трубы и = 10 смтс, скорость звука с = 3,4 10 см/с, ! рс = 44 г/(см .с). Решение. На низких частотах импеданс отверстия вычисляем по приближенной формуле (10.1) Я = )7+( 2п[М = (1,2э( 9,2) х х 10 г,тс. Величина М = 2рг = 14,8 г имеет размерность мас- 3 3 О сы и называется присоединенной массой.

Излучаемая мощность Ж = ли /2 = 6 10 эрг/с. Из (7.3) имеем У = 0,95, а = п — 0,4. 2.1.12. В конце трубы (см. задачу 2.1.10), заполненной воздухом, вставлена пробка из материала с входным импедансом (кгдс) Е, = 0,5 э 1 0,1. Найти коэффициент отражения звука от материала и распределение в трубе максимумов и минимумов звукового давления. Частота звука равна 1000 Гц Ответ.

Коэффициент отражения 2,-5рс 0,5+ПО,1-н 4 1О .440 У 1'е' я 2 е5рс 0,5е( 0,1+н 4 10 440 ! Максимумы внутри трубы находятся на расстоянии от конца г( = [о/2пе гн) А/2, т = О, 1, 2, ..., А = 0,34 м; минимумы— И' = [о/2п+ гл + 1/2] Х/2. Подставляя числовые значения, име- ем )У( = 0,11, о' 1,88, И = 0,17(гл+0,31), Н' = 0,17(т+0,81) 2.1.13.

Труба (см, задачу 2.1.10) закрыта материалом с импедансом Л = 2 э 1. 2. Вычислить коэффициент поглощения энергии на конце трубы. Ответ. Коэффициент поглощения энергии на конце трубы а связан с коэффициентом отражения очевидным соотношением а = 1 — )У), и для приведенных данных а = 0,42.

2.1.14. Коэффициент отражения звука иа конце трубы выра- жается следующим образом: У (Я1-1+(У1)/()(14+(У1) = (У) х х ехр(та), где Я )7/(рс), У, У/(рс) -безразмерные актив- ное и реактивное сопротивления на конце трубы. Показать, что на плоскости комплексного переменного тс, У, кривые равного поглощения а - 1- )У) и равной фазы тг представляют семей- 2 ство окружностей. .

Решение. (тс -1) +У 4)7 1. )У)~ =, а = ! . Отсюда находим ()71+1) +У2 ()71т1)~тУ, уравнение окружности в плоскости )71 У, с центром на оси И1: [ =1', 2-а1 У2 4(1-а) а)'1 а 772,.У21 1.24У, 2У 2. У - ', 1)го' = = Ь. Получаем урав(тт - 1) +У )7 +У +1 пение окружности с центром на оси У,: Кривая равного поглощения изображается окружностью с центром в точке с координатами ((2-а)/а,О) и радиусом 2((1-а)/а) Кривые равной фазы изображаются окружностью с центром в точ- ке с координатами (0,1/Ь) н радиусом (1-Ь ) 72/Ь 2.1,15. Амплитуда давления измерена в трубе длиной 100 м в зависимости расстояния х от возбуждаемого конца Значения максимумов н минимумов давления (в относительных единицах) вдоль трубы даны ниже: Расстоянне от нвлунателя Х, м 50 62,5 75 87,5 25 37,5 Максимум давления 1,478 1.204 Минимум давления 0,489 Рассчитать по этим данным длину волны, коэффициент поглоцгения звука (м ) и амплитуду давления в начале и конце трубы.

Решение. Обозначим через Ьр разность давления соответственно между ближайшими максимумом или минимумом, т.е. на расстоянии Ы - А/2 = 28 м. Находим среднее значение ноэффи- кт циента ослабления звука на отдельных участках трубы: 1 По всей трубе среднее значение (3 = )т' Я И, где )У 5 — число участков. Зная Р, можно оценить давление в начале и конце трубы. Таким образом, й = 50 м, Й = 0,012 м . Давление в начале трубы около 2,1, в конце около 0,9.

2.1.16. Безразмерный удельный им педанс в некоторой точке (х = 0) трубы, заполненной воздухом, Е с1И = 1+1 при частоте 340 Гц. Каков будет удельный импеданс в точках, лежащих на расстоянии 12,5 и 25 см далее вдоль трубы? Скорость звука в воздухе с - 340 м/с. Поглощением звука пренебречь. Решение. Удельный безразмерный импеданс в точке с коорди. натой х равен (см. задачу 2.1.2) 1+1с1)аи, ° с1ц()ах) 2 = с1(а(то-1йх) = О Отсюда находим 2 = 0,5-1 0,5.

Ответ. х = 0,2 м, Л = 0,4+ 00,2, х = 0,4 и, 2 = 1+ Р0,26. 2.1.17. Возбуждающий звук поршень помещен у одного конца трубы (х = О), наполненной воздухом (с = 3,44 1О см/с, рс = = 44 г/(см с)), у которой площадь поперечного сечения равна 2, 1О см, второй поршень помещен у другого конца трубы 2 (х = 30 см) Измерение звукового давления показало, что максимальная амплитуда давления в точках х = 3, 15, 27 см равна 10 дин/см Минимальная амплитуда давления 5,57 дин/см, получалась в точках х = 9, 21 см Найти нз этих данных механический импеданс второго поршня 2,, частоту звука 1 и амплитуду колебаний возбуждающего поршня ео Решение.

Напишем выражение для импеданса Е через коэффициент отражения от поршня У: Л, = барс ((1-У)/(1+У)1 (см. задачу 2 1 7) Представим коэффициент отражения через его модуль и фазу У = )1')ехр(1о). Модуль можно найти, зная значения давления р и р )р) 1 - )1'(, )р) = 1 — )У) (для волны единичной амплитуды) Отсюда папа Р па~в Фазу коэффициента отражения найдем, оцределнв расстояние от второго поршня до последнего максимума.

Расстояние от поршня до максимумов выражается формулой (см, (8.4)) В случае по- следнего максимума гл = О, !! = 3 см, Л = 24 см, а и/2. Отсюда У = 0,207, 2, 5рс ~+2()7 = 440 е дй г/с, 19(в= , 1-РО 207 = — 0,43, / с/Л = 1440 Гц. Амплитуду колебаний возбуждающего поршня находим по давлению, развиваемому поршнем Так как в среде нет поглощения, это давление равно ро = (р +р )/2 = 8,285 дин/см . Тогда 2 = ио/ы = р /(рс 2п1) = 2 10 см. 2.1.18.

Найти резонансные частоты узкой трубы длиной 1, замкнутой на чисто реактивный импеданс 2 1)( !8рсу . ! !' Поглощением в среде пренебречь. Решение Резонансными называются частоты, при которых система дает наибольший отклик на внешнюю силу, т е частоты, на которых входной импеданс трубы (см (3 8), (3.9)) миннма. лен В слабо поглошающей среде входной импеданс трубы, замкнутой на чисто реактивный импеданс, равен соэ(й1).~5рсз! п(И) О рссоэ !.у шп (1) Резонансные частоты находятся из условия Я = 0 и определя- о ются из трансцендентного уравнения (9(А,1) = — Х!/(Фрс) = -У,. В общем случае Л, также может зависеть от частоты. 2.1.19. Найти резонансные частоты длинной узкой трубы длиной 1, возбуждаемой при х = 0 колеблющимся поршнем в случаях, если труба закрыта н открыта жесткой перегородкой. Решение Если труба закрыта жесткой перегородкой, у = 0 ! и из уравнения (18,2) находим резонансные частоты '(гл - 2) ~7, гл = О, 1, 2, ...

!хлнна трубы при резонансе 1 = (гл+1/2) Л/2. Если труба открыта, )( = 0 и = глс/21., ! = глЛ/2, гл = 1,2,3,... (2) 2.1.20. Показать, что при наличии небольшого, чисто реактивного удельного безразмерного импеданса !У! на конце трубы ее резонансная частота !' по сравнению с резонансной часто- l той открытой трубы ! увеличивается при У «О и уменьшается Г ! при у >О. Решение.

Резонансная частота трубы, открытой с одного кон- ца, равна лгс/2!. (см. (19.2)). Реактивный импеданс можно пред- ставить в виде где (Гпы — инерционное сопротивление; ш-приведенная масса, включая присоединенную (Гп = М/(5рс), М вЂ” полная масса); -(/(ыс) — упругое сопротивление; с — приведенная гибкость, которая определяется через гибкость с (с = с5с). Введем величину Ьй = й' — л, отвечающую изменению резонансной часто- Г Г' ты. Тогда из (18.2), (19.2) следует (д(дМ) =- У,(й,с).

Отсюда получаем, что при У м О и й' м й частота — ГпЛ/!. При У «О и Й' «й, частота )', ~ (. Первый случай может быть реализован путем присоединения к трубе коротной узкой трубки, содержащей среду с массой М; второй— присоединением замкнутой полости (практически неподвижного объема) с гибкостью с. 2.1.21.

Вывести волновое уравнение для распространения звука в трубке с непрерывно изменяющимся сечением. Ответ. Распространение квазнплоской волны в трубе, разме. ры поперечного сечения 5 которой малы по сравнению с длиной волны, описывается уравнением Вебстера: (1) 5дх д с д! 2.1.22. Найти критическую частоту экспоненциального рупора. Решение.