Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 16

3.2.9. Скорость звука в плоскослоистом океане измерена в л точках: с(з ) = с — скорость звука на поверхности, с(г ) = ! ! 2 = с, ..., с(г ) = с, ..., с(з„) = с„— скорость звука вблизи дна. Предложить алгоритм построения лучевой картины, используя кусочно-линейную аппроксимацию скорости звука. Решение. После задания значений скорости в точках в каждом из слоев скорость звука можно аппроксимировать линейным профилем: с(2) = с (1+п„(з-з„)1, з ч 3 к 3 сз,! сз 1 — и,=,—, ~,-г,,-г,. (2) й л 1 ь з В каждом из слоев траектория представляет собой окружность радиусом )Г = гг /соз у, где Մ— угол скольжения на верхней границе Ь-го слоя. Если а = О, то траектории представляют з собой прямые.

Если начальная точка находится в Ь-м слое на глубине г ч ч г ч г , то радиус кривизны первого участка траектории й' = 6 [1 ~ ал(г -з )1/соз уо. Прн построении этого участка возможны три варианта: траектория может коснуться дна или поверхности, либо достигнуть границы следующего слоя. При касании дна или поверхности угол отражения равен углу падения, т меняется на — )(; при переходе в другой слой угол непрерывен. Поэтому алгоритм должен включать в себя условие проверки касания лучом дна илн поверхности. Примеры построения лучевой картины по данному алгоритму приведены ниже. 3.2.10.

Построить лучевую картину для источника, находящегося на оси волноводного канала при г = г = Ь = 200 м, О 2 1 если скорость у поверхности (з = О) с 1500 мlс, на оси 1 1 канала (г = Ь) с = 1470 м/с, скорость у дна (г = з ) с = 1520 м/с. Глубина океана г = 3200 м/с, Ь = з -г = 3000 м. 3 2 3 2 Найти аналитические выражения для длины цикла !э(Х ) при малых углах выхода Х и критические углы Х и т, когда луч п д' касается поверхности и дна. Найти длину цикла для луча, касающегося поверхности. 91 с1г), м)с 1520 К задаче 3 2 1О Ответ. Лучевая картина приведена на рисунке. Из 1ешения задачи 3.1.18 имеем О(Хс) = 2(Н1+ Н2) (к ХО = 196,4 1к ХО (км), (1) (гг-г1)с1( ~ (гз-гг)с2 Критические углы касания поверхности и дна определяются из условий (1.17.1): сов Х = Н/(Н1+Ь), Х = 11,4, О(Х ) = 39,6 км, созХ = Н /(Н аЬ ), Х„= 14,7 .

(3) 3.2.11. В условиях задачи 8.2.10 построить лучевые картины и найти критические углы, если профиль скорости такой же, но глубина г = 1200 м. 3 Ответ Скорость звука у дна с = 1886,6 м/с меныпе скорос- 3 ти у поверхности с,, Поэтому критический угол касания дна ч = 8,6' меныпе критического угла касания поверхности Х = 11,4', и 3.2.12.

Построить профили скорости звука и лучевые картины, используя линейную аппроксимапию для следуюших данных: а) г,= О, с= 1500 м/с; г=: 80м, с= 1500 м'с; г 200 м, с = 1450 м/с; координата источника г = 80 и; 3 О б) г,= О, с= 1450 м/с; г,-- 80 м, с = 1450 и/с; г = 200 м, с = 1500м/с; г - 40м, 3 ' О в) г,= О, с= 1500 м/с; гг= 60 и, с = 1480 и/с; г = 120 м, с = 1440 м/с; г = 200 и/с, с = 1480 м/с; г = 120 м. 3 4 О Ответ, См.

рисунки а, б, в. с, и/с 1450 с, м/с 1450 1600 С,мгс 1400 К задаче 32,12 3.2.13. При физическом моделировании распространения звука в океане используют спиртовые и солевые растворы, обеспечивающие большие градиенты скорости звука. Построить лучевые 93 каРтины, найти длинУ цикла длЯ малых Углов выхода О(3о) длЯ источника, находяшегося на оси канала, найти критические углы касания поверхности у и дна Ж, определить длину цикла п х' для луча, косзувшегося первый раз либо поверхности, либо дна, для следуюших профилей скорости звука, считая вертикальные градиенты скорости звука постоянными: а) г= 0~ с= 1500 м/с; г = 20 см, с 1450 м/с; г =50 см, 1= 1 1= 2 ~ 2 с = 1600 м/с; 3 б) г= О, с=1550м/с; г=20 см, с= 1500м/с; г=50см, с = 1500 м/с.

3 Ответ. Используя решение задачи 3.2.10, имеем а) О(Х) ". 17818Хо[м~ Х 14 6 ° О(2.) 4 6 м у =20,7 (Н =бм, Ь =0,2м; Н 2,9м,й =0,3м). б) О(у) 23'6 1иуо[м~' Х 20 ' Х 14,8 , Э(Х„) = =626м(Н =31ч, й =02м; Н =87м, й 03м). 1 ' ' ' 1 ' * 2 ' ' 2 3.2,14. Найти зависимость скорости звука с(г) от вы:оты в неподвижной адиабатической атмосфере. Решение. Изменение гидростатического давления р в злементарном слое тотшиной Иг равно "р = ар "г (1) где р — плотность. В адиабатической атмосфере давление р(г) и плотность р(г) на высоте г и иа горизонте г = 0 (р(4) р, о' р(0) = р ) связаны закоиом р/р (р/р )~. Используя гго соотношение, получаем из (1) уравнение Рву Р' 'Ро'Ф = — Рй (' (2) (4) интегрируя которое, находим ро о~~Е ) 1] 8( (3) ро о Учитывая, что скорость звука ' = 8р/8р = у(ро/р,)(р/а,)~ ,' получаем окончательно с с — д(7-1)г, где с = у — .

2 2 2 РО о ро 3.2,17. Вывести формулу для времени пробега луча в плоскослоистой среде. Решение. Бремя распространения сигнала по влементу дуги 8з равно (см. рисунок к задаче 3.1.10) отс = -~-~ = —, с(г) = — (-).. Из Нг о г~ сы пу' л(г) ' (1) Используя закон Снеллиуса (см. (1.5.2)), для времени пробега луча между горизонтами з и з получаем Т с ~ (Л (3) пйсоз ХО1 Л (а) иа (2) О При л(з) сопз1 1 из (2) получаем очевидное соотношение т (з-го)/(соз|пХО). 3.2.18. Вывести формулу для времени пробега луча в плоскослоистой среде с постоянным градиентом скорости звука (см. (1.12.1)) через начальный и текущий углы скольжения Х и Х(г).

Ответ. Переходя в (17.2) к интегрированию по Х и, используя закон Снеллиуса в виде (1.10.2), получаем 1+з) пХ 1+з!пХ(з) ) 3.2.19. Пусть рефракция луча определяется неоднородностью скорости звука, связанной исключительно с увеличением гидростатнческого давления. Найти длину цикла й(Х ) и время пробега т по этому циклу. Сравнить это время с временем распространения т вдоль горизонтального луча на такую же дальность Р в "однородном океане". Найти длину цикла и времена пробега для углов Х 5, 1О, 20 . Решение. Используя выражение для скорости звука (1.1.1), получаем, что скорость звука линейно возрастает с глубиной: с = с (1+ г/Н), где с = 1474,9 мlс, Н = 92,18 км.

Длина О О цикла определяется формулой задачи 3.1.16: 0(Х ) = 2Н 1пХО, а для времени пробега нз (1,18.1) имеем 1+з) пХО (1) Время пробега в однородном океане на такую же горизонтальную дальность то 2(~/со) 18ХО. (2) При малых углах эти времена близки: т и т и 21(У /с ПодО ставляя числовые значения, получаем а) Х 5, 1) = 16,129 км, т = 10,92 с, т = 10,94 с; б) Х - 10, 0 = 32,508 км, т = 21,93 с, т = 22,04 с; О в) Х 20 , 1) = 6,102 км, т = 44,55 с, то = 45,49 с. 3.2,20. Найти время распространения сигнала по длине цикла луча, вышедшего с оси волноводного канала н состоящего из двух слоев с постояннымн градиентами скорости звука (см.

задачу 3 1 18). Ответ. Из формулы (18.1) получаем время пробега как сумму времен пробега в верхней и нижней полуплоскостях т= т,+т, (1) Н 1~з(п Х (2) 3.2.21. Температурный профиль в Арктике близок к изотермическому, а скорость звука возрастает с глубиной только изза роста гидростатического давления, Пусть температура воды равна 0 С и соленость 35 ",6,. Определить начальный угол выхода луча йш расстояние О(у ) и время распространения сигнала т по лучу, который начинается у поверхности, касается дна и возвращается к поверхности. Глубина л = 2 км Ответ, Из (1.1) следует, что градиент скорости постоянен, скорость описывается (1.12.1), где с = 1449,2 м/с, Н = о = 90,5?5 км Угол выхода у, при котором луч касается дна, определяется нз (1.1? 1), и у = 11,9 .

Длина никла этого луча определяется по формуле, полученной в задаче 3.1.16, время пробега — по (20.2), О(у ) = 38,28 км, т = 26,2 с 3.2.22. Для волноводного канала, приведенного в задаче 3.2.10, вычислить время, необходимое для прохождения пути между двумя последовательными пересечениями осн канала, для лучей, вышедших вверх под углами )( = 5, !О, 20, 40, 80 . Ответ. Для углов т «т .= 11,4 лучи не касаются поверхо и ности и время пробега определяется формулой (20.2).

Соответственно уо — 5, т = 1,19 с; т = 10, т = 2,39 с. При о больших углах время пробе~а т = 2т, где т — время пробега от 1 оси до поверхности и описывается формулой (18.1). Угдл скольжения д у поверхности определяется из закона Снеллиуса: сов| = (1 й/Н ) созхо, (1) о и для времен пробега имеем соответственно: т = 20, т о = 0,86 с; т = 40 , т, = 0,43 с; ( = 80, т! = 0,27 с..

Та, ким образом, рост времени пробега на начальной стадии при Ж ~ Х сменяется при у > т на уменьшение. П п 3.2.23. Вычислить полное время пробега ( импульса от излучателя до приемника при М циклах, считая, что они находятся на осн волноводного канала, образованного двумя слоями с постоянным градиентом скорости звука (см. задачу 3.1.18). Решение. При У ъ 1 (т.е. на достаточно больших расстояниях) искомое время равно УН 1+э|ну ( = М'с = — *1п 1- — — о, (1) с о -э1п~о' где т-время пробега по одному циклу — определяется формулами (20.1) и (20.2), Н = Н + Н .

Если г — расстояние между излучателем и приемником, то с учетом выражения для длины цикла (см. (1.18.1)) имеем ' = 2"" (3~о (~~о ~у)т . (2) решая это уравнение относительно у н подставляя ответ в (1), получим время пробега как функцию числа циклов Ж. Для океана Х к 1 и У ъ 1. Поэтому из (1), (2) имеем ~а 2Зтгг цту "гу') ( ' с (~о " б ха) г 1бг \ 2НН 1 З (3) и, следовательно, (4) Наибольшее время достигается для луча, совершающего осцилляции около оси канала (У -з м), т е для горизонтального луча. Формула (4) получена в предположении, что лучи не касаются дна и поверхности Как правило, лучи, отраженные от дна, затухают, и поэтому время прихода начала сигнала будет определяться лучом, касающимся дна (У минимально).

3.2.24. Пусть скорость звука волноводного канала (см. задачу 3.2.11) у поверхности больше, чем скорость звука у дна. Оценить уширение очень короткого импульса в таком канале, если г =. 14?О км. Решение Согласно (23 4) длительность принимаемого сигнала определяется временем между приходом импульса вдоль луча, касающегося дна (М ), и импульса, распространяющегося по оси канала з д г (1) 24с Н2Н2 Если расстояние от оси канала до дна равно 62, то критический угол у определяется из уравнения (10.3) и при гг а Н д приближенно равен у = 2л /Н2 Из задачи 3 2 23 для числа д циклов имеем У = г/(2лу. ) = г Н /(8Н гг ) Следовательно, г г д 2 2 уширение длительности сигнала определяется выражением г'г 2 Ь 2 Зс гг ° 37г О 2 2 4 Акустика а задачах где 1 г/с -время прихода импульса, с -скорость на оси а О канала.