Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний, страница 13

8.!9): , ПЬ б'- д Ф ~ ° " 1 ~лгт77Э 11 "" '~п' пересечения (рпс. 8.19,а) и амплитудно-частотная хзрактеристзчкз з 1ьмеет обычный для системы с вязким трением вид. тика 2 прп малом демпфирования !а ( К)73у 11(4т)! точек пересечения нет. В этом случае вязкое трение не ограничивает амплитуды колеба- и прп любых высоких частотах возможны два устойчивых ре- ниЙ И1ИЫЗ „ма ьолебан1гй с малыми и большимп амплитудами (рис. 8.19,6). Рис.

5.20 Для систем с кубической нелинейностью амплитудно-частотные характеристики (см. рис. 8.18 и 8.19) можно было бы построить по формуле (8.29), Однако использованный здесь прием предложенный в работе !29) кажет быть успешно применен и в таких задачах, где получение даже првблпженного решения затруднительно. В кзчссзве еще одного примера рассмотрим колебания системы с упругой характеристикой, имеющей вертикальные аспмптоты (рис.

8.20,а) при возл1ущзющей силе, пропорциональной квадрату час- ! таты. Приблизительно такую характеристику имеют системы с весьма 1кестю1лп1 упорами, ограничивающилш возможные амплитуды колебаний. Скелстная кривая этой системы имеет вид кривой 1 на рнс. 8.20,б. если демпфирование достаточно нелико, то прямая 2, выражающая условие энергетического баланса, дважды пересекает скелетную кри- ! зуго !'прн 1а = га и при а1 = ол ). Соответственно и ал1плитудночзс1олпая характеристика имеет две ветви. Амплитуды, определяемые асрзо11 ветвью 1, столь малы, что нелинейность системы заметно не ароявляется. Ветвь П соответствует колсбаниям с ударами об ограни"1пель, При частоте, большей ьл„возможны как устойчивые колсба"ия с малыми амплитудами, так и колебания с большими амплитудами. 1)ерслод с одно~о режима на другой может быть следствием случайных "11пульсов, получаемых системой.

!! Интересно отметить, что если бы мы проводили расчет системы на осн ! ке с'1ове линейной теории„то получили бы только ветвь 1 и пришли бь 1 киь выводу, что колебания с большими амплитудаьш не возникают. Та- ""1 образом, в данном случае нелинейный анализ позволяет выявить качественно новые свойства системы 73 ! Субгармоиические колебания.

Весьма существенной особенно нелинейных систем является возможность возникновения в них к баний, частота которых отличается от частоты возмущающей с Колебания, частота которых меньше частоты возмущающей силы, зываются субгарлооиическижи. Рассмотрим приближенно субгармонпческие колебания систе кубической нелинейностью и вязким трением. Выше мы видели, что прн свободных колебаниях такой системы д жение содержит третью, пятую и др. нечетные гармоники Поэто если на систему действует возмущающая сила, изменяющаяся так частотой в три, пять и т. д.

раз большей, чем частота колебаний, с оказывается в резонансе с соответствующей гармоникой перемещен При этом она совершает работу, достаточную для преодоления сил ния. Проведем приближенный расчет субгармонического резонанса третьей гармонике. При этом предположим„что закон движения резонансе не отличается от закона свободных колебаний системы трения, который приближенно определяется по формуле (8.19) х = А, сон го Г + А, соз Згоо/, где ооо = Ро(1+ 2/оуА1), А, = А2ТА',/(32 -'- 21ТА',), Если возмущающая сила изменяется по закону Р(/) =-- Росоз(го1+ Е) при оо-.= Зооо, то ее работа за цикл колеба составляет 2. / Е = ~ Р(г) хйг = ЗхРоА2 гйп р. При вычислении работы трения за период колебания 2мо 12'= ~ ахЧ/ о (8.1 — — + 21А,) ~ 1.

9Ро ~ ТА2 74 можно в выражении х пренебречь третьей гармоникой, которая не п вышает боло от первой. Тогда снова получим формулу (4.30) %' = яаАпо = паАоы/3. 2 2 '4 1 Условие энергетического баланса приводит к равенству 2 о паА2 оо/3 =-. ЗпРоА2 з(п Е. Заменив А, его значением, найдем оя 7 Зг сйпЕ = — ( — + 21А, ). 9Ро (~ ТА1 Колебания энергетически возможны, если правая часть равен не больше единицы: Область возможных колебательных режимов в координатах ы, А, опр пределяемая неравенством (8.40), на рнс. 8.21 заштрихована. ГраНица ,ца этой области соответствует значению гр =- и/2, которое реализуется я при резонансных режимах.

На рис. 8.22,а на один график нанесены как скелетная кривая для субгармонических колебаний оо — Зоо„ так ак и кривая энергетического баланса. Точки 7И и /о' пересечения кри- а) 0 0 0 Рис. В.27 Риа В.гг вых отвечают двум резонансным режимам, а амплитудно-частотная зависимость имеет вид замкнутой фигуры (нижняя граница этой фигуры соответствует наустойчпвым режимам).

Таким образом, возможные амплитуды субгармонических колебаний ограничиваются условием энергетического баланса как сверху, так и снизу. Амплитуда не может быть больше той, которая соответствует точке /о', в связи с ростом потерь на трение. Колебания с малыми амплитудами невозможны, так как прн этом система приближается к линейнои и быстро уменьшается амплитуда третьей гармоники, на которой совершает работу возмущающая сила. Заметим, что, увеличив демпфирование, можно добиться, чтобы скелетная кривая и кривая энергетического баланса не пересекались (рнс.

8,22,б). Прн этом субгармонические колебания в системе вообще не смогут возникнуть. 2 9. МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ В предыдущих параграфах основным приближенным методом, использовавшимся при исследовании систем с нелинейными упругими характеристиками или нелинейным трением, был метод гармонического баланса. С помощью этого метода можно было рассчитать стационарные режимы движения нелинейных систем. В отличие от метода гармонического баланса метод осреднения позволяет исследовать и процесс установления стационарного режима.

При этом для самого ~~ационарного режима метод осреднения приводит к тем же результатам, что и метод гармонического баланса. Метод осреднения был первоначально применен Ван-дер-Полем дла исследования автоколебаний, а впоследствии развит Н. М. Крыло- 75 (9.8) (9.9) (9.5)::, а.= (а/2я) Ла =- (1/а) В (а, с»), » = (а/2я) Ы =- — [1/(аа)]С(а, <»), (9. 10) (9.6)с< + атсоз(а/ + е) = аа сов(а/+ < ), Вычислим гд, (9.11) 77 тб вым, Н. Н.

Воголюбовым и Ю, А. Мптропольским применительно большому кругу важных задач. Метод основан на предположении, ч движение системы настолько мало отличается от гармонического, ч в течение одно~о «периода» этим отличием можно пренебречь, но периода к периоду амплитуда и фаза колебания медленно меняютс Пусть уравнение движения в виде, разрешенном относительно втор производной перемещения, представлено в форме " =- / (х, х, /), (9.1 где правая часть — нелинейная, вообще говоря, функция х, х и времени Предполагается, что решение уравнения (9.1) мало отличается гармонического колебания с некоторой частотой о>. Лля этого, очевид но, необходимо, чтобы правая часть уравнения (9.1) мало отличала от величины — <а»х.

Следовательно, предположение о близости движ нпя к гармоническому колебанию с частотой а эквивалентно предп ложению о малости функции: Ф [х, х, 1) = Р (х, х, /) -[ шах . (9. Поэтому в дальнейшем вместо уравнения (9.1) будем рассматривать эк внвалентное ему уравнение х -'- а»х =- Ф (х, х, /), (9.3 правая часть которого предполагается малой. Решение уравнения (9.3) [а следовательно, и (9.1)1 отыскивается форме х = а ейп (а/ + е), (9.41 где а и <г — медленно изменяющиеся функции времени (т, е.

функции/г изменением которых в течение периода 2п/а можно пренебречь, учи-:,. '[' тывая лишь нх изменение от периода к периоду). Так как вместо однойг' неизвестной функции х(/) мы ввели две (а, <г), нх можно связать допел 1: ннтельной зависимостью. Положим агйп(а/+ <) -[-а» соз(а/+ -,") = О. Тогда для производной <[х/<[1 получим х =- — [аз!п(а1+»)] = аа сов(а/+е) + агйп(а/+ <7) -'- <!/ х — — а«а з!п (а/+ Ь)+ аа сов(а/+ <») — аа;- з!п (а/+ <») . Подставим значения х, х, х в уравнение (9.3): 3 — чз аасозб — ааргйпб = Ф (аз!пб, аасозб, — '' ). (9.74 ») Здесь обозначено Ь = аг + Ь и в выражении (9.2) функции <р <х, х, /) величины х, х заменены их значениями (9.4), (9.6) и ! б — е)/а. После такой замены функция Ф представляет собой не что иное, как погрешность в выполнении исходного дифференциального уравне- ,н«я <9.

!) решением вида (9.4) прн постоянных во времени а и <г. Решив совместно уравнения (9.5) и (9.7), найдем: ! <, ( а —. Ф [асйп Ь, аасоз Ь, — )соз б, з — чз р = — — Ф [а гйп Ь, аа соз Ь, ) з!п Ь. »а Ы Выражения (9.8) — точные; они получены путем замены в исходном уравнении переменной х(/) переменнымн а, <р. ': 11зменение амг<литуды и фазы за один период, в течение которого Ь изменяется па 2п, можно подсчитать по формулам 2 Ла = [ а — <[Ь, Л» = )' ь — <(б.

ш, ' <!< 'о << Так как б == а1 -'-,— -, то <[1/<[Ь вЂ” — 1/(а ]- е). Г!рп вычислении интегралов (9.9) используем основное предположение метода осреднения — будем пренебрегать изменяемостью а и <[ в подынтегральных выражениях. Тогда 2» ! ь — тт Ла =- — ~ Ф (а гйп б, аа соз б, — ) соз Ь<]б, о Ь тЗ Ле =- — — ! Ф[агйпб, аасозб, — ) ьйпб<[б. ю<< з ~» и' < редине за цикл скорости изменения амплитуды н фазы составляют [читателя не должно вводить в заблуждение то, что этн осредненные величины обозначены так же, как и истинные в уравнениях (9.8)]: 2.. В(а, -) =- — ~ Ф !/аьйпб, аасозб, т) созб<[Ь, 2".., Ю о < 2-. ь — т з С(а, -) =- — ~ Ф [агйпб, аасозб, — ) гйпб<[Ь, 2« .

Ю 'о причем в подынтегральных выражениях а, гр считаются постоянными. Выражения (9.10) представляют собой дифференциальные уравне. ния, определяющие «медленное» изменение амплитуды и фазы. Если нас интересуют такие стационарные процессы, при которых в амплитуда и фаза остаются постоянными, то следует принять а =0 = 0 и стационарные значения амплитуды А и фазы гьо определятся уравнениями (А, Ро) = О, С(А, ~Ро) = 0 Эти уравнения совпадают с уравнениями, к которым приводит метод гармонического баланса.

Исследовав поведение интегралов уравнений (9,10) при начальных условиях, мало отличающихся от А и гр„можно определить, устойчив или неустойчив стационарный режим. Для автономных систем, т. е. для систем, в уравнения движения которых время явно не входит, Ф(х, х, /) =- Ф(х, х). В этою случае коэффициенты В и С от фазы гр не зависят и уравнения (9.10) получают вид а =- (1/ой В (а); р — — [1/(о!а))С (а), где (9. 12) В(а) = — ( Ф(аз!пЬ, ~~созЬ) созйлЬ, 1 2х о С(а) = — ( Ф(а рйп д, ого соя 8)з!и ЬАЬ 1 (9.13) 2г . 'о При применении уравнений (9.12) для расчета стационарных режимов автономной системы возможны два путв. Во-первых, можно из условий а == О, гр:= 0 определить значения амплитуды и частоты стационарных колебаний (А, юэ). При этом расчет не отличается от расчета методом гармонического баланса. Во-вторых, можно принять некоторое фиксированное значение ю„(например, равное частоте колебаний порождающей льшейной системы) и определить амплитуду А нз условия а == 0 [т.

е. В(А) == 0]. Тогда частота стационарных колебаний определяется равенством б 1 т) = ю! + р =- го, — — С (А) бр м»А Рассмотрим примеры применения метода осреднения к некоторым задачам, которые уже решены выше другими методами. Пример 1. Свободные колебания системы с сухим трением. Дифференциальное урэвненне дпижения (4.15) предстэвим в форме х+ м х = — (/Ро/т) ьйп х, х где, = )' с/т — частота колебаний консериэтивной системы. В денном случае 78 Ф (аз!п Ь, оа со» д) = — Оьа/т) ьйп ( (/р /т) ьйпх; агап, оа 9 18) Подстановка этого вь.рэжевия в формулы г ° /Р« В (а) =- — — ' [ ьйп (соь д) соь р 8Ь = — — —, 2хт « г-,. С(а):= — — ~ ьйп (со»Ь) Впйбэ = 9 2пт о ю формулэм (9,12) нэхо!ш»!' У=О.