Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний, страница 9

нз угол д — гг, Все приведенные выводы основаны из приближенном решении задачи. В слсдмошсм разделе рассмотрено точное решение той же задачи, денное Леа- Гзргогом 12!1. Вынужденные колебания при сухом трении (точное решение). уравнение движения системы с сухим трением при гармоническом воз- буисдении имеет вид тдх+ ах+ Йо здп х = Росах(ог!+ р).

(6. 12) тх+ сх — йе = Р,соз(а!+ гр). Рещение этого уравнения таково: х = С!совр!+ С, гйпр!+ а+ ' соз(а/+ о), 1,г/Рг где с/пт = р'! /со/с = а; Ре/с = А„. Условия х(0) = А, х(0) =- 0 приводят к равенствам С, + а -,'- соз о = А, Аг 1 — м%гг С.,р — " гйп о =- 0 мг/Рг (6.13) (6.14) 1.'ще два условия получим при /= и/а (х = — А; х =- О): С, сох >. -, '- С айп й + а — соа гг =- — А; .4г 1 — мг!Рг (6.15) Расс.иотрим безостановочное стационарное движение системы с периодом возмущающей силы, причем предположим, что в моменты / == О, 2д/а, 4д/а, ... перемещение груза максимально (х = А, х = О).

Соответственно при / = д/а, Зд/ог, 5д/а, ... х = — — А.Таким образом, мы определяем угол ер как фазовый сдвиг между максимумами силы н перемещения. Рассмотрим движение в течение одного полупериода 0 < ! < < д/оь Все это время скорость отрицательна и уравнение движения имеет вид 47 — С,р яп 1, + С,р сов), —, з>п о =- О, (6.1 ! — "о/ро где ), =- кр/в . Система четырех уравнений (6.13)...(6.16) определяет четыре неи вестные: ффА, ~р. Сложив почленно уравненпя (6.13) и (6.16), также (6.14) и (6.16), получим систему, содер>кашу>о только С, и С,' С, (1 + сов)) + Со яп ), + 2а = О, — С, яп ).

+ С. (1 — ', соз),) = О, откуда С! = — а, С, = — а !6()/2). ! Подставив эти значения постоянных в уравнения (6.13) и (6.14)„' приходим к равенствам А= — 'созе. — а!а — ' — ' з!пв, Ао |Р Ао"чр ,оо,'ро 2в ! — о/р' из которых уже легко определить амплитуду: Ао — (а (р/ ) (! — о о/ро) йя (ор/(го )1 ! о А— (6.17) ' Сравнивая эту точную формулу с приближенной формулой (6.11)' устанавливаем, что они различаются лишь структурой второго члена в подкоренном выражении. Впрочем, вблизи резонанса (т. е.

при ~ о> — р) формула (6.1?) переходит в формулу (6.11), так как 1ип (р/о>) (1 — о>о/ро) 1я [яр/(2ы)1 =- — 4/и. ш-+р Таким образом, для наиболее важной зоны больших амплитуд, ~ колебаний вблизи резонанса приближенная формула (6.11) дает надежные результаты. Формула (6.17) справедлива только в том случае, сели характер, движения соответствует принятому прн ее выводе, т.

е, если за полупе- ,' риод 0 а 1 а и/о> скорость хостается отрицательной. Это приводит ! к условию о ар(з!п р/ — !я — ""' соз р!1 — "' яп(о!+ о) (О (6.18) 2ю / ! — шо>'ро при О < !(ч/~. Если условие (6.18) не выполняется,то на самом деле происходит не безостановочное движение, а движение с остановкаош. Характер одного из возможных режимов такого движения, при котором за каждый полупериод изменения возмущающей силы имеет место одна остановка при максимальных перемещениях, показан на рис. 6.1. В этом случае движение начинается при фазе возмущающей силы ч,„когда упругая сила становится равной сумме возмущающей силы и силы трения: ОА = Ро сов е! + Ио.

48 Это движение (с начальными условиями х, —..... А, х, 0) продол,кает ается до тех пор, пока скорость не станет равной и) лю прн смещении х = — А, т. е. фазе возмущающей силы !(,. Таким образом, для описания движения рассматриваемого типа „моются следую>цпе условия: в начале движения (! = О) х, =- А, хо =-- О, ОА = Ро соз е ! + /7о в момент остановки (!! = = я„'со) х = — А, х =- О. Полу!ается шштсма пяти ср авнений с пятью неизвестными (Со Со, А, оо оо), решение которой должно удовлетвоРЯть Условию Оо(",-1-п.

Чрезвычайно трудоемкое шг решение этой системы выполнено Ден-Гартогоз! [21[. Результаты расчета показаны Риа б! на рнс. 6.2, где построены амплитудно-частотные характеристики системы при различных отношениях силы сухого трения Яо к амплитуде возмущающей силы Ро. Безостановочные режимы движения [расчет их выполняе>ся по формуле (6.17)! изображаются точкшп, лежащими выше штриховой линии. Ниже этой линии 05 0 Ог ОА ОА 00 1О /г 1А 15 1О о> р . б.г б) Рис. 7.2 Рис.

7.7 с(1) = с,(1 — РЯ7Рз), 50 изображены кривые, соответствующие режимам движения с о остановкой за полупсриод. одн Возможны также режимы движения более чем с одной остановкгч за полупериод. Соответствующие этим режимам амплитудно-часто~ ные характеристики на рис. 6.2 не показаны -- они расположены( нижнем левом треугольнике рисунка. овк Регпенпе задачи о режимах периодического движения с останов ми изложенным методом является весьма сложным. Кроме того, п некоторых сочетаниях параметров оказываются возможными (т, , пр удовлетворяющими условиям периодичности) различные режнмы с о ной и несколькими остановками.

В этих случаях, чтобы установит какой из возможных режимов реализуется в действительности, на дополнительно рассмотреть их устойчивость, Значительно быстрее ведет к цели решение задачи гиетодоги лга>пеле>в тического л>оделированая, ставшим возможным в связи с развитиез~ вычислительной техники.

Сущность этого метода состоит в том, ч нетинейнос уравнение движения (6.12) интегрируют на ЭВМ при пр извольных начальных условиях'":. Так как в уравнении движения уч но затухание, через некоторое время устанавливается стационарн режим.

Вычисления прекращают, когда различия между смещения при последовательных периодах становятся меньше наперед заданн допустимой ошибки. Следует еще раз подчеркнуть, что рассмотренный сложный ана1 лиз нужен только при большом трении и малых частотах возбуждения~ При интенсивных колебаниях (вьппе штриховой линии на рис. 6.2 происходит безостановочное движение, при котором достаточно точи формула (6.11). 5 7. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ Сущность явления.

Колебания механических систем могут вызы ваться не только внешними силами, непосредственно совершающим работу на основных перемещениях системы, но и внегнними воздействия ми, изменяющими параметры системы (жесткость, массу). В некоторых случаях прн периодически изменяющихся параметра возникают нарастающие колебания системы, имеет место так называ мый параметрический резонанс. Примером параметрических колебаний является раскачивание на качелях. В этом случае удается увеличивать размахи колебаний тольз ко за счет периодического изменения расстояния центра тяжести сисе темы от точки подвеса качелей. Тот же процесс может быть воспроиз~ веден на маятнике с переменной длиной.

Примером параметрическог возбуждения колебаний является также явление динамической неустой чнвости стержней (рис. 7.1), когда под действием периодически изме няющейся продольной силы стержень совершает поперечные колебания1 ' Учитывая возможную неоднозначность решения, следует опробовать раз личные варианты начальных условий. Т; - же как и при обычном резонансе, при параметрическом резоТак же ,зисе коле ° лебания развиваются в связи с непрерывным поступлением энерг>ш в в систему.

Проследим этот процесс на примере динамической е стойчпвостн стеРжня. Пусть стержень (рис. 7.1) совершает собственные поперечные колей ии» с частотой Р (Рис. 7.2,а): х =- 1" сов р1. При этом верхний шарнир получает небольшие вертикальные перемещения с сипя с с удвоенной частотой (рнс.

7.2,6). Он опускается вниз пРи отклонениях груза х влево и вправо и занимает наивысшее положение, когда груз проходит положение статического равновесия. Если продольная сила изменяется также с частотой вдвое большей, чем частота поперечных колебаний груза (рис, 7.2,в), то опа при каждом цикле совершает работу и энергия системы непрерывно нарастает.

Составим уравнение движения груза т, закрепленного на стержне: тх -( с (1) х = 6. (7.1) В данном случае жесткость стержня с является функцией времени, так как она зависит от величины продольной силы Р(7), приложенной в данный момент. В соответствии с приближенной формулои" где со — жесткость стерни>я при отсутствии продольной силы; Р,— '> "г ' > Р * См.: Ф е о д о с ь е в В. И. Сопротивление материалов. М., Науиа, Щ74, гл. Х!Х>, а 102, Таким образом, уравнение (7.1) может быть записано в в х + р«[1 — Р(/)/Р,) х = 0 (р« =- сь/га) .

(7.~ Если Р(/) является периодической (с периодомт) функцией вре ни, то уравнение (7.2) называется //равненаеги Хилла. Сосредоточим внимание на одном периоде т изменения параметр! Скоцструпруем два решения уравнения (7.2), удовлетворяющие й чальным условиям: х,(0) = 1, х, (0) = 0 (7. х«(0) =.— О, х, (О) =- 1. Очевидно, что построить такие решения можно всегда, хотя путем численного интегрирования уравнения (7.2). Тогда общее ре ш ние уравнения (7.2) получит впд те'и.

х~ и х«явчяются реш"пнями уравнения (7!)' са«ю" . х, +с(1)х, = О, х« — с(1)х«= О. У".пожая первое из этих равенств на хз, второе — на хп вычитая поил очл<чно и интегрируя от пуля до т, находим ~х«х,— х,х,)Ф == [х т,— х,х.~ О, 1 о х (т)х~(т) — х,(т)х,(т) =.= х.,(0)х,(0) — х,(0)х,(0) = 1 Таким ооразом, характеристический множитель определяется разевс гном о =- А + )''А' — 1, где (7.9) х+ [с,/гп+ (с /т) созЫ)х = О. пь х (г) — х (0) х, (1) —, х (0) х, (1), (7. где х(0) и х(О) -- начальные значения скорости и смещения. Вычислим значения х и х в конце периода при 1 = т.' х(т) =-х(0)х,(т) —; х(О)х (т), (7.

х(т) = х(0) х,(т) — ', х(0)х«(т). Если предположить, что выполняются равенства [ х(с) = ох(О), х(т) = о х(0), (7. где и — число, большее единицы, то это означает, что в течение пери да т и смещение и скорость возрастают в и раз. При следующем перно снова произойдет такое же возрастание размахов и т. д. Таким обр зом, при [о[) 1 уравнения (7.6) являются достаточньпш условия неустойчивости процесса и неограниченного нарастания колебани Подставив в уравнения (7.6) выражения (7.5), получим систе линейных однородных уравнений относительно х(0), х(0). Условие нз личия нетривиальных решений этого уравнения приводит к равенств,' х, (т) — и, х, (т) =- О, х, (т), х«(т) — и т.