Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний, страница 12

Как видно, эт отношение не превышает 1/21 "= 0,047, что оправдывает сделанное допущение его малости. Величина уАгз == угАт'/(сАг) имеет простой физический смысл -- это отн шение нелинейной части восстанавливающей силы при отклонении Аг к линейно (рис.

8.!5), которое характеризует эффективную нелинейность системы. Рассмотренная задача имеет н точное реп1еиие (см. [291), которое выражаетс * Заметим, что проведение интегрирования не ооязательно. Можно непосред огненно подставить выражение (8.18) в уравнение х + Ра(х + тхз) — — О, восполь эоватьса тождеством созе и,! =-з/т сов и,!+ г/,сох зи„! и пРнРавпнть нУлю сУмм членов уравнения, содержащих множителем сони !.

з эллиптические функции. Разлагая это решение в ряд Фурье, можно уста- через „„ть, что оно содержит не только первую и третью гарь~еники, но и все гарма. нови '" " „„нечетных порядков. При приблпжепнол~ решении для нахождения этих гар. ионгш „„як потрсбоватось бы учесть ббльшее число членов в выражении (8.6). следует отметить, что найденное выше приближенное значение амплитуды г 4 5 )-Л,г Рис. 8.!4 ! т ! Рис. 8.!5 третьей гармоники Аз весьма близко к точному; так, согласно точному решению, при Л1 == со отношенве Аз/Агстремнтся к 0„045, а не к 0,047, как получено приближенно.

Вынужденные колебания нелинейной системы при гармоническом возбуждении. Рассмотрим систему с кубической упругой характеристикой и вязким трением. Уравнение движения имеет вид ЛгХ+ аХ+ СХ+ угла = Рз 81П(Ш! + ю). (8.21) Здесь т — масса, а — коэффициент вязкого трения, Р(х) = сх + —;,ха — упругая восстанавливающая сила, Рзз)п(оэ! + !р) — возмущающая сила. Фазовый угол ф включен в выражение возмущающей силы для упрощения вычислений. Приближенное ре!пение уравнения (8.21) будем искать в форме* х = А з(п ш! (8.22) и используем метод гармонического баланса. Подставим выражение (8.22) в левую часть уравнения (8.21), используем тождество з(пзш! = — з/ев1пш! — '/4з(пйш! и раскроем синус суммы в правой части уравнения (8.21).

Затем приравниваем нулю члены, содержащие з(пш! и созе!! в отдельности: (с — пгшз) А + з/зу,А' =. Рз соз р, аАш =- Р з(п а. (Прн этом член '/,у,А'з(пйш! остается несбалансированным.) Учитывая, что с/гп -'- '/ (у,/гп) А' = го„' (А) Гели бы угол ф не был включен в выражение возмущающей силы следовало бы принять х =- Аз!п(ю/ — ф), что привело бы к несколько более сложным ш кладкам. представляет собой квадрат частоты свободных колебаний (зависящ' от амплитуды), и обозначая и/т —.—. 2п, получаем (а',(А) — аг) А = (Р,/т) соз ю, (8.

2ло>Л . (Р,/т) гйп о. Исключив отсюда фазовый сдвиг, найдем [!в'(А) — ап!2-9 4лга')Аз -(Р„!т)2. (8.2 Разделив уравнения (8.25) одно на другое почвенно, получим зн чение фазы колебаний [и в .= 2пв/(в — вг) . (8. Уравнение (8.26) дает зависимость между частотой возмущающ силы и амплитудой вынужденных колебаний. Решив это уравнен относительно в', получим в' -=- го. (А) — 2п' -+ ~/ [Р,/(тА)]2 — 4л'в. (А) + 4л' . (8.2 При малом демпфировании пп ". в,' и формула (8.28) может б приведена к виду в' = а'(А) -+ [/[Ро/(тА))2 — 4л'в'(А) .

(8.2 ' Построение зависимости а, А, называемой амплитудно-частотно характеристикой, согласно формуле (8,29) показано на рис. 8.16. В к ордннатах а", Л построена ск и) летная кривая, т. е. зависимо А/ А со. (Л), а затем на каждом уро 2 не амплитуды влево н вправо нее по горизонтали отложен отрезки Рис 8Д7 , „,и амплитудами А, и с промежуточными амплитудами Лг. [! авчп, как мы Увидим далее, Устойчивыми ЯвлЯютсЯ только Режим>Я мало. „,1„, а режим А, неустойчив и не реализуется практически. й~' Р алпзацпя того или иного устойчивого режима зависит от началь- з словпй движения. Так, если медленно увеличивать частоту воз* ,,„акпцей силы, амплитуды будут изменяться по линии Кй (рис.

8.17). 8 точке / произойдет срыв колебаний и прп дальнейшем увеличении часто- м пипл>пуды будут изменяться по „>пипи .:2!Х. При медленном уменьшении частоты амплитуды меняются по ~7 ~А ппипп Л'С)РК. Следует отметить, что, поскольку в интервале частот в ~ ! о>(с> возможны два устойчивых 0 периодических режима, система, ко- 0 З пеблющаяся в одном из них, может перейти па друго[1 при каких-либо дополцнтелыгых внешних воздействиях. Исследуем зависимость амплитуды колебаний от амплитуды возмущения. Как видно из формулы (8.29), увеличение Р, приводит к увеличению отрезков й, откладываемых влево и вправо от скелетнпй кривой. Таким образом, на рис.

8.16,а штриховая крииая соответстпУ- ет ббльшему значению возмущающей силы, чем сплошная. Обратим внимание на то, что в режимах А, п А, увеличение силы приводит к увеличению амплитуды колебаний (дА/дР, ) О), а в режиме А,— к уменьшеншо амплитуды (дА/дРо ( 0). Как мы увидим далее, нера. венство дА/дР, ( 0 является признаком неустойчивости режима. Исследуем устойчивость периодических колебаний системы, рассмотренной выше. Предположим, что выражение х = хо(/) удовлетворяет уравнению (8/рд) 00222 о>,'. 0) о>„(А) х =хо+62 0 г г г Рис 8/О 68 :9 Ь = )/[Р/(тА!12 — 4пгвг(А).

Лля жесткой системы ампли тудно-частотная характеристи имеет вид, показанный па рис, 8.16,а, а для мягкой - . на рис, 8.16,6. Существенной особенность нелинейных систем являетсЯ возможность реализации нескольких различных периодических режимов прп изменениИ частоты в определенных пред лах.

Так, как видно из рис 8.!б,а, при в ( о> ( о>, уравнение(8.29) дает три режима: с большими амплитудами Л „с Ф (х, х, х, 1) =- пгх + их + сх + у,хз— — Р, ейп (в! + ~7) = О. Рассмотрим выражение где 2 — малое отклонение смещения х от хо, соответствующего с>зционарному режиму Подставляя выражение (8.31) в уравнение (8.30) и учитывая, чго хг удовлетворяет ему тождественно, находим [(дФ/дх) 6+(дФ/дх)й+(дФ/дх)с)„„, — О.

(8.3'-') Если решения этого линейного относительно $ уравнения устойч ь вы, >о малые отклонения от стационарного режима невозрастаютп зто тот режим также устойчив. Если решения уравнения (8.32) неусто(- ""пы, то и режим также неустойчив. ]3 нашем случае уравнение (8.32) имеет вид пло+ о$+(с+ Зу,хо)2 = О, или после подстановки вместо хо приближенного решения (8.22), А и а связаны равенством (8.26), т$ + о$ + (с + ~/27)А' — /27,А'соз 2в/] $ = О. (8 Полученное уравнение есть уравнение Матье, рассмотренное в к х Обозначив а/ =- б и поделив уравнение (8.33) почленно на т, прка~ дем его к виду (7.12): $ + а) $ + (1 + 2)1 соз 28) $ = О, где точками обозначены производные по б. При этом а о-)- о/,т,А2 3 т Ло г ) ) /Ию 22~~2 4 о)~А2 Условием неустойчивости является неравенство (7.16) (1 1)2 до+ 2',(О После подстановки значений 1, )), о) с учетом обозначени, а/пл = 2п и а', = (с+ 2/лу,А2)/т приведем условие неустойчивое к виду [а2(А) — во[ +4пово+ [а.

(А) — во] ЗТ,А'/(2т) (О. (8. Продифференцировав уравнение (8.26), вычислим частную п изводную д(Р22)/д (А') при в = сопз(: — 1) )А) — ) АА '~А-2( )А) А)А д(Ро) д/ 21 д (ло) * д (Ао) Так как д(а~)/с1(А2) = 2/Ау)/т, то д(Ро)/д(А') =- лпо][в„'(А) — во[~ + 4пооло+ + [а (А) — во[ 37 А2/(2лл)] . Это выражение только множителем п22 отличается от левой ча неравенства (8.34). Таким образом, условие неустойчивости (8. можно записать в виде дРо/дА ( О- Итак, стационарное движение неустойчиво, если возрастанию си соответствует убывание амплитуды. Как уже указывалось выше, э условие выполняется на участках 141, амплитудно-частотных харак ристик.

7О д) А о) 0 Рис. 8,/а Точка пересечения этих кривых определяет резонансный режим. Кривая 2 выражает условие энергетического баланса при резонансе, В самом деле, работа, рассеиваемая за цикл силами вязкого трения, составляет (см. формулу (4.30)] ]АА = яаАов. Работа же, совершаемая за цикл силой Р(/) =- Рояп(в(+ о) на перел)ещении х = А япа/, 2АГ ~ 24 ~ Р(1)х(1)81 =аРА ~ Яп(ол(+)7)сезам(=22РоАЯп 7. (836) о о При стационарном режиме /. =- В' нли аАов =. Р А яп 2). (8.37) Так как з]п)]) ~ 1, то энергетически возможны только амплитуды А ( Ро/(ов). (8.38) Так как а/))2 =- 2п, то ясно, что кривая 2 по формуле (8,35) как раз о~ределяет уровень максимально возможных по условию энергетичес- Зиергетическая оценка амплитуд резонансных колебаний нелиней~истем.

Часто нет необходимости в построении всей амплитудновмх с"'т. частотн твой характеристики системы, а достаточно лишь оценить максиьио возможные амплитуды. Как видно из рнс. 8.16, максимальная амплитуда соответствует ке пересечения амплитудно-частотной характеристики со скелетной „ивой а =- в (А). При этом, как следует из уравнения (8.26), резо- точке ансная амплитуда определяется равенством аан ! 4поол (А) А' = (Ро/т)2. Это уравнение удобно решать графически, построив в координатах оь А (рис.

8.18) кривую 1 во(А) (т. е. скелетную кривую) и кривую 2: 2пвА = Ро/)и. (8. 35) 72 Рис. 8.79 кого баланса амплитуд. Зтот уровень реалпзуетсг только при р резо се (о = а1.), когда фазовый угол равеня12 !см. формулу (8.27)), ванное построение дает возможность определить вид амплитудн .1 дно-ч тотных характеристик без их фактического построения, зная тол) скелетную кривую и кривую баланса мощности.

Так, например, для системы с мягкой характеристикой воз ны два варианта взаимного расположения скелетной кривой 1 и вой энергетического баланса. В первом случае (рис. 8. !8,а), когда мущающая сила мала, имеются две точки пересечения кривых, Т Я соответствует резонансная кривая обычной формы. Однако л точки У кривая энергетического баланса снова идет выше скелет кривой и здесь имеет место дополнительная ветвь !',7Л'Я амплиту частотной характеристики (нижняя часть этой ветви соответствует устойчивым режимам). Второй вариант (соответствующий больш значению возмущающей силы) изображен на рис.

8.18,б. Здесь кри энергетического баланса везде идет выше скелетной кривой, след ' тельно, и в этом случае силы трения пе ограничивают амплитуд ко банни и амплитудно-частотная характеристика имеет две ветви: 1. и !'!Я (часть М1т' соответствует неустойчивым режимам). Рассмотрим случай, когда амплитуда гармонической возльуща щей силы пропорциональна квадрату частоты. (Чаще всего это свя но с тем, что возмущающая сила — сила инерции неуравновешен вращающихся масс.) Положим Р (1) — КО) 51п (га1 + Ф), где К вЂ” постоянная. Работу силы Р(1) найдем, заменив в формуле (8.36) Р, на К Тогда условие энергетического баланса (8.38) принил1ает вид А ~ Кга1я (8. и, следовательно, ли11пя энергетического баланса в координатах А представляет собой прямую, проходящую через яачзло координа Возлюжны два случая взаимного расположения этой прямой и с летной кривой системы с жесткой кубической упругой характери кой (кривые 1 и 2, рис.