Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний

ББК 22.23 Б59 УДК 534 т — ка да' «Механика и пронесем упре пен аент — 4е р п итехнического института раале аленин» Ленинградсксго полит им. М. И. Калинина. 1 !( Посвящается 180-летию Московского высшего технического училища имени Н. 3. Баумана ('1830 — 19801 Бидерман Б' ' „колебаний: Учебник . Л. Б 59 ТеоРиЯ механич кола 198(1 — 408 для вузов — М Высш школа 1 с., ил. тесан к лабзина лниейных н неликнше юложшгы шипам теор не н й ых механических снстеа, а также . ов броизолзцни др Раша« мзшннострон от едетермйнарован ыми сл , састемы зн р ейными ам кол~ан~ю в з ваемне деш Значительное внимание и, з также уд слепо меиеннем параметро , , на з сисгемы, на ебинка длн меш н~~~юш~ыпз~ Предназначаетсн в качестве уче ин специальностей вузов, ВАДИМ ЛБВОВИЧ БИДЕРМАИ ТЕОРИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕ ОЛЕБАНИЙ Зав.

редакцией К, И. А ношена Редактор Н, Н, ищенко 3, Казакевн нч а Переплат художишш в. и, к. гутор Художественный редактор М равьева Технический редактор Л, А. у Корректор Г, И К о с т р н К о з а ИВ Гй МОВ набор 06.04.79, Поди, в печать ЗКШ.79. Т-16661. Формат 60К90116. Ум.. ° . т а уч,-взд. л. Тираж 10000 зкз Зак. й'д'тельство "Высша" ""' 79714 Москва, К.б!, Неглнннан ул., д.

афпрома зт Союзполнгра ярославский полиграфкомбинат прн Государственном комитете н н книжно издател-те " нграфи 97 160014, Ярославль, ул. Свободы, 331 30100 — 024 ББК 22.23 001(01) — 30 ьство ВЫСШАЯ ШкОлА», 19во © ИЗДАТВЛЬСТВ ~ХРЕд240.2ОВИЕ Основой настоящей книги послужили лекции, читаемые в МВТУ им. Н. Э. Баумана студентам специальности «Динамика и прочность машин». Этим определяется направленностькурса: автор стремился не только познакомить читателей с основными закономерностями теории механических колебаний, но и вооружить их современными методами решения практических задач.

Автор надеется, что эта особенность книги сделает ее полезной как для студентов, изучающих предмет, так и для инженеров и научных работников, встречающихся с расчетом и анализом колебательных процессов. В первых трех главах книги рассмотрены колебания линейных и нелинейных систем с одной степенью свободы, колебания систем с ковечным числом степеней свободы, а также колебания стержней с распределенной массой. В этих главах задача об определении собственных частот и форм колебаний решается традиционными приемами, приводящими к алгебраическому или трансцендентному частотному уравнению.

Для сложных систем такой способ расчета связан с большими трудностями. Пути преодоления этих трудностей освещены в гл. 1У книги. Первый путь, используемый при ориентировочных расчетах, состоит в предельном упрощении расчетной схемы и применении приближенных формул. Второй путь, особенно эффективный при проведении расчетов на вычиш1ительных машинах, состоит в применении специальных численных методов.

Рассмотрено несколько таких методов. В книге также излагаются методы расчета колебаний пластин и оболочек, теория упругого удара, приведены краткие сведения об автоколебаниях и аэроупругих колебаниях. Уделено внимание теории случайных колебаний, которая находит большое применение в практике расчета конструкций. Изложение методов теории колебаний сопровождается примерами их применения к анализу ряда прикладных задач. Более сложные технические задачи, ил«еющие самостоятельное значение, объединены н последней главе книги. Их изучение не требует предварительной проРаботки книги в целом. Так, теория виброизоляции и принципы вибрапиопного перемещения могут быть изучены сразу вслед за гл.1, колебания пружин, вращающихся валов и лопаток турбомашин — после гл 1У, а колебания дисков — после гл. Ъ'.

ГЛАВА 1 Автор Рис. й! 5 ~ее изданно Ра ото" д й б й авторае в настоящую книгу лж рчы меные изменения. Развито из освео еч ых элемент в Б лее воино о и оболочек, изложен ~етод оср асчета, включая метод конечнь ис- Щ ен расчет динамики о ч. При анализе систем с вязким трением введена д нелинейных задач. сипативная функци ия Рэлея. с их колебаний. М., Высшая шк ола, 197з ' Прикладная теория механических к КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Числом степеней свободы механической системы называется число координат, определяющих ее положение. Все реальные деформируемые тела обладают бесконечным числом степеней свободы, соответствующих всевозможным их деформированным состояниям. Однако в зависимости от характера изучаемого явления и требуемой точности можно ограничить число учитываемых в расчете степеней свободы, выбирая в качестве расчетной схемы реальной конструкции систему, обладающую несколькими или даже одной степенью свободы.

Закономерности, устанавливаемые в этой главе, для систем с одной степенью свободы, имеют большое значение, так как задачу о колебаниях системы с произвольным числом степеней свободы часто удается свести к ряду задач о колебаниях систем с одной степенью свободы (см. ~ 12 и 16). Ф К РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Ограничение числа учитываемых в расчете степеней свободы может быть выполнено различными способами. Часто в реальной конструкции можно выделить массивные элементы„деформацией которых можно пренебречь, и упругие элементы, массу которых можно не б) учитывать. В этом случае расчетная схема представляет собой Ряд жестких массивных тел, соединенных упругими связями.

напав Так, например, система, представленная на рис. 1.1,а, может Рассматриваться как система с одной степенью свободы, если масса пружины мала по сравнению с массой груза, если нас не интересует поведение отдельных витков пружины а груз может перемещаться только в вертикальном направлении.

Другим примером систем с одной степенью свободы может служить диск, закрепленный на упругом валике (рис. 1.1,б). Если масса валика пренебрежимо мала по сравнению с массой диска, а диск может перемещаться только поворачиваясь в своей плоскости вокруг оси валика, то положение этой системы фиксируется единственной координатой— углом поворота диска. На рис. 1.2 представлены системы с двумя степенями свободы. Положение грузов (рис. 1.2,а), масса которых значительно больше масри движении в вертикальном направлении определяется ' на ис.

1.2,б, двумя координатами: х„и хх Системы, изображенные на рис. в, могут рассматриваться как системы с двумя степенями свободы, а) «г х, 'Ркс. Пу если собственные массы балки и рамы малы по сравнению с массой колеблющихся грузов, а размеры грузов невелики, так что массы их можно считать сосредоточенными. В случае больших поперечных размеров груза (рис. 1.2,г) положение его определяется смещением центра массы х, и углом поворота груза х,. Такая система имеет две степени свободы.

Выше были рассмотрены примеры, в которых ограничение числа ' степеней свободы достигалось путем пренебрежения массой одних частей системы (пружин, стержней) и деформируемостью других (грузы, ~ диски). Другой способ состоит в том, что на основе тех или иных сооб- ( ражений заранее задается форма движения системы. Так, например, при изгибе балки ее положение в данный момент, '' как и положение любого деформируемого тела, определяется бесчис-,' ленным множеством координат. Однако уже в сопротивлении матерна- ! лов число степеней свободы балки ограничивается благодаря исполь- ~ зованию гипотезы плоских сечений.

Согласно этой гипотезе, положение всех точек балки определяется положением точек, лежащих на ее оси. Благодаря принятию гипотезы плоских сечений задача существенно упрощается (становится одномерной), но число степеней свободы оста- ~ ' ется бесконечным. Дальнейшее упрощение достигается на основе предположения, что; в процессе движения соотношения между прогибами различных точек балки не изменяются. В этом случае при определяются равенством 5 (з, у) = х (у) 1(з). Здесь х(1) — неизвестная функция време и, г(з) абсциссы г Так как перемещение пеРь единственной переменной х(г), получ я те одну степень свободы (см. а 2б гл 1„«) Необходимо иметь в виду, что возможность схематизировать реальную упругую систему и представить ее в виде системы с одной, двумя и большим числом степеней свободы зависит не только от вида системы, но и от характера воздействующих на нее снл.

Так, например, если в системе, изображенной на рис. 1.1,а, оттянуть пружину в сторону, а затем отпустить, то возникнут ее боковые колебания, при которых нельзя пренебречь собственной м " массой пружины, как бы мала она ни была. При исследовании такого рода коле- свободы. баний систему уже нельзя рассматривать как имеющую о г с ую одну степень Таким образом, выбор той или иной расчетной схемы может быть сделан только в результате изучения физической природы рассматриваемых явлений н в зависимости от требований, предъявляемых к точности расчета. Уравнения движения. После того как на основе тех нли нных соображений выбрана расчетная схема системы, имеющей одну, неоды, нес ходимо сколько нли бесчисленное множество степеней свобо ы б составл для этой схемы составить уравнения движения.