Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний, страница 11

(8.4 Прн этом постоянная С определяется формулой о кк|ак 1 С ="' ~ Г (х) г(х -'.= ~ Р (х) с(х — гп (х)гпдк Ш1О о Для системы с симметричной упругой характеристикой хднк = — Хгпгп ==- ! т —. 4 ~ ~ — ~ Е(х) г)х йх. (8.5~ к 88  )1, формул (8.4) и (8,5) следует важная особенность нелинейных систем — зависимость периода свободных колебаний от амплитуды 8 ьдчостве примера нелинейной системы рассмотрим систему с кубической ;ь гг р исти кой кар Р (х) = йх'. тдк кдк характеристика симметричная, используем формулу (8.8): А ) А ) — 112 — А с=4 ~ — ) кзж б =8 1У вЂ” ~ и .

~ 1 2д )г А' — хк д х д 11грейдя к переменной интегрирования с =- х,'А, долучнм 1 и 1 бй =8 2й А . )г" 1 дд Одчеделенный интеграл (выражающийся через зллиптгческий) равен О дд, 1 2 и, следовательно, т =- 7,416 У' итй А 1. таким образом, период снободнык колебаний рассмотренной гнстемы обратно пропорпвонален амплитуде. Свободные колебания нелинешгой системы являются периодпческкзнг, но не гармоническими; соответствующее перемещение может быть разложено в ряд Фурье: х = Ад +А,совы 1+ В,згпгокг -,'— Ад сов 2отк(+ ° ° ° (8.6) Здесь оза =- 2пгт — основная частота колебания, зависящая от ал1П:нлуды.

Среди гармонических коэффициентов особое место занимает А,; этог коэффгщиент характеризует смещение центра колебания от положенгш статического равновесия. Ес:и упругая характеристика снсгемы является симметричной, то, как следует из симметрии фазовых траекторий относительно оси у, А, и все четные коэффициенты разложения равны нулю. Для представления закона движсния в форме разложения в ряд Фурье (8.6) следует предварительно обратить зависимость (8.3) и найти х(1). Вычисления оказываются обычно чрезвычайно затруднительными.

Ноевому для приближенного определения периода т колебания (или основной его частоты), а также нескольких первых коэффициентов разложения (см. формулу (8.6)) оольшей частью используются приближенныс методы. Некоторые из таких методов рассмотрены далее. Системы с кусочно-.чинейной характеристикой (лзетод припасовывания) Среди нелинейных систем, колебания которых успешно могут быт 1* изучены точно, следует указать на системы с кусочно-линейными характеристиками. В качестве примера рассмотрим систему, изображенную иа рис. 8-тш.

Упругая сила Е, воздействующая нз груз (рис. 8.5,6), определяется а зависимости от смещения х следующими формулами: прн ,'х', (а Г(х)=-с,х, ирн ~ х ~ э. а Г (х) =- с,х + сд( ! х ! — а) зйп х. а , а а 2 х —.— а соз р21 + (хо/р,) ь!и р,/, (8. 12) у Р' Ь„==- агсс1п [ — хо/(р,а)1. Рис. 8.5 тх+ с,х+ со(х — а) = (8АЗ) го =-А[' (8. откуда (8.10 бо Здесь зяпх — - знак смещения х (при х ) О зйпх —. !, при х зппх:2 — 1, зппО = 0), с, -- жесткость двух пружин 1, с, — и, кость одной из пружин 2. Очевидно, что если амплитуда колебаний груза меньше зазора а, ( груз совершает свободные гармонические колебания с част 1: С2/«я, не зависящей от амплитуды. П когда амплитуда колебаний А больше а.

Пусть груз отведен в крайнее правое начальной скорости; тогда прп х ~ а буд которое следует проинтегрировать при начальных условиях хо - — -О. Соответствующее решение имеет вид х =- — ' а (1 — сов р,г) + А соз р21, С„+ С2 где 1 Приравнивая х == а, находим значение времени /„при котороо~ ,. груз перестанет касаться пружины 2: а -.= ' а (1 — соз р212) + А соз р.,/„, с, -1- с, 1 1 с,а 1, = — агссоз (8.9) ~ Р2 (с, -1. сД А — с,с 1 Скорость груза в этот момент составит С2 х,=ро[а — ' — А)з!прог„= — р, !А — а со ) х Сг / ( с,-,'.с,, 1[зчпная с э!ого момента груз движется только под дейс!вием г.РУн' ч,!и!ны 1 и уравнение движения имеет вид тх+ с,х = О.

(8.1 1) Обозначив й == / — 1„ имеем для ш!тегрировапия уравнения (8 !!) следУющие Услов!пп пРп О = — 0 х = а; х = хо Следовательно, где р, —. )~ с,/т. Момент прихода груза в среднсе положение йо найдем пз условия - О, откуда Полное время, затраченное грузом на переход из крайнего право.о в среднее положение, составляет, очевидно, челверть периода колебаний и равно т/4 ==.

Го — , 'О,. Г!осле несложных преобразований 1 С„'Со — == — агс сов 4 Рс (1-г с,/со) А/а — 1 с, ~'с2 (1 + с,.'с,) -1- — агсгйп 1 1 Рг )«' [(1+ с, 'с ) А,'с — - 1р 1 с,,'с, 1«,ак легко видеть, прп А- а т †«-2е,'р,, а при А -«.со -. †«-2я/рс. Таким образом, основная частота колебания гоо -- 222/т меняется от р, до р, с изменением амплитуды. График зависимости оо„(А) (так называемая скелетная крисая) показан на рпс. 8.8. Метод, которым мы воспользовались в решении этой задачи, состоял в лом, что на каждом участке движения точно решалось соответствующее линейное дифференциальное уравнение, прнчех! постоянные на каждом последующем участке определялись из условий непрерывности изменения перемещения и скорости. Этот метод называется 2нетодгм2 припасовывания.

Весьма удобной является графоаналнтическая интерпретацияметодз припасовывания. Она основана на том, что в координатах х, х/р ~~ободное движение линейной системы изображается дугой окружности, по которой изображающаяточкадвнжется с угловой скоростью р, Равной угловой частоте соответствующей линейной системы (см. () 2). 1(ля рассмотренной выше задачи графическое построение показано на Рпс. 8,7. Так же как и при аналитическом решении, полагаем, что в на«!алы!ый момент груз отведен вправо на величину А. Этому состояншо отвечают точка 1 на упругой характеристике и точка 1 па г[азовой диаграмме (рис.

8.7,а,б). Отложив по оси ординат о!ношение х/ро (ро =- 1 (С2 -'- со)/т, где с, + е, — уклон упругой характеристики на а) А участке 1 — 11), обнаружим, что фаза портрет движения изображается ду окружности 1 2. Це>п р этой окружное лежит в точке О„соответствующей и ресечению пряхюй 1--П с осью асбци Точка 2 соответствует переходу на уча ток Π— П упругой характеристи Чтобь! и дальше фазовая траектор О р а> изображалась дугой окружности, по о ординат надо откладывать теперь х(рм а 81р! (р, =-)~сс1л>, где а, уклон упругой характеристики на уча ке О -П).

В связи с изменением масштаба начальной точкой дв жсния будет точка 2' (Я2') = Я2)р,1Р!), а движение изобразит дугой окружности 2'3. Точка 3 соответствует проходу груза чер положение равновесия. Построенная часть фазового портрета изображает четверть перно собственных колебаний, р!ри вычислении периода следует учесть, ! зображающая точка движется по дуге 1 2 с угловой скоростью р ! ч т, ч а по дуге 2 3 — с угловой скоростью йь а) Р ! Таким образом, :14 = — юи1Р, + ', >1Р>. Легко проверить, что эта /1 формула совпадает с формулой (8.)3). 0 0 а А В качестве других прпмеров рассмотрим систему' с зазором (рис. 8.8,а) и систему с натягом (рис.

8.8,б). В первой из этих систем колебательное дни>кение возможно, только если амплиту- 8) да превышает зазор а. Упругие характеристики и графические построения для этих систем показаны на рнс. 8.9, а,>8 и 8.!О, а,б; онп не нуждаются в дополнительных пояснениях. Лля первой из этих систем период определяется пз соотношения Рис. 8.8 Рис. 8.8 а! Рс 8>О ЮА, Рис Б >! Рис. 8.7 4 2Р Р(А — и) а основная частота колеба- ния (8.17) '! ,! 1 ! [х] =.

— Р (х) = ре (х+ тхз), иг р , 8дг о Об 2п Р 1 И 2а, [а [,4 — а)! Для второй системы ! а ' Ра' — — — агссоз [л = — "1, Р Р А+а, с 2с пп 2 асс»оь [а,(А .г а)1 В приведенных формулах р .= )»сгт, где с — уклон упру характеристики. Скелетные кривые, т. с. зависимости аа(А), для э систем показаны на рис. 8.1!,а,б. Упругие характеристики систем, показанных на рис. 8.5 и 8,8 относятся к жестким (так как с увеличением х уклон характеристи возрастает), а системы на рис. 8 Я,б — к мягким. Как видно из с ветству|ощих скелетных кривых, для жестких систем с увеличени амплитуды частота свободных колебаний возрастает, для мягких )монин!ветен.

Метод гармонического баланса. Разраб|отано много прпближенн методов для расчета периодических движений нелинейных сист Остановимся на методе гармонического баланса. Уравнение движения нелинейной консервативной системы мож записать в виде х — ', ) (х) = О [ у(,) = р (х) ггп [ (8.! Искомое периодическое решение может быть представлено в ви ряда Фурье (8.6) х =- Ао-',,— Л,сова„! 1-В,япсо„!-,'— Аа 2а„!+ где а„ вЂ” неизвестная основная частота колебания. Г1одставив это выражение в левую часть уравнения (8.14), получи периодическую (периода 2х!аз) функцию времени Ф(!) =. — а.(А»сова,!-, 'В,япа !) — 4а„'(Ае соз2ав! —; - В, яп 2ач!) + ° ° + ) (Л, + А, сов о»„.! --, 'В, яп ае! + .. ) .

Для того чтобы функция Ф(!) тождественно обращалась в нуль, н обходимо, чтобы равнялись пулю все коэффициенты разложения в ряд Фурье. Это требова|ше приводит к серии равенств: 2 ! !" (х) |[! —.= О, о 2. |, 1;ео| Ла .. — * [ )(х)созйаа!г[1, (8.1 о 2;.и „ /;"-а В|, — — ' [ Г(х) яп дат!г[! !/г —. 1, 2, ..). о йргумепт функции !(х) под интегралами должен быть заменен выра.

учается бесконечп, я система нелинейных ур ||нем (8.6). авТакпм ооРазом, полУчает „еннй отиоситечьно коэффициентов Л В При приближенно»! расчете в выражении (8.6) удерживают только сколько гарма | н |к и приравнивают нулю такое же количество гармо|чсгких коэффициентов функции Ф(!). Чаще всего ограничиваютс я инчсгких ко выр ~»|генно»! х =- Аа |- А! сов аз!+ В! 8|па„! ° 1ак как в уравнение движения (8.14) время явно не входит (система автономна), то, вы и ая ),, бирая соответствующим образом начало отс рмеш|, можно добиться, чтобы коэффициент В, обратился в нуль. Тогда х = А, + Асоза,|, нонче»! А, и Л определяются из уравнений а ! !" (Л, — ',- А совая!) ![1.= О, з.".; А — — ( [(Ае л Асоза !) созаа(г[1 = О.

о Эти два уравнения позволяют установить связь между А„А и о| ., т. е. построить приближенно скелетную кривую для нелинейной системы, »для системы с симметричной характеристикой Аа .=- О и сохраняется () только второе пз уравнений (8.17). с В качестве примера рассмотрим систему с гцбпчсской велипейностью. Пусть упругая си[за Г[х) связана со смещением зависимое. що Р(х) = ох+ т,»а. Прп у» ) О характеристика является к»с коп, при у» ( Π— мягкой (рис.

8.121. !!»~»с»~ 'де Р .: )~сргг — собственная частота линейной систс»|м (при т» = О), т = т»|с. иствки А =- О и за- В данном случае в связи с симметрией упругой характеристики ле =- и за- (8.18) ~!»! по»равнению [8 1г) А — — ( рз (А соз „! +,Аз созе,О соз « „!ч! =- О. Выполняя интегрирование", находим А — (рз/ег) (А+ з/ПЛз) =-О, откуда Л! х =.= Лг сов и,! ж Лз сов Зи !.

(8.1 А 8 !г Рис. 8.!8 „,г Рг (1 1 з ТЛг) ,1 4г Лз = Лг 32+ 21!Аз (8.20 (8. 23) (8.24) иг =- рз (1 -1- з/етАз). Таким образоеи мы сразу получаем приближенное уравнение скелетн 1 кривой (рис. 8. 18). Однако мы не имеем епге информации о форме колебани~ так как в выражении (8.18) цреиебрсгли всеми гармони кеми, кроме первой. ~ ~.-п Для того чтобы определить првближенно и треть гармонику колебания, примем При этом полагаем, что Аз « Аь Подстановка принятого значения х в выражение уп ругой силы приводит к равенству а! с Э / (х) = — (х+ тх') =-Рз (Лг созе,! -!- ТЛ соевы +Аз соззез!+ ЗТАггАзсоззы !соззм !-ь ), где в связи с малостью Аз опущены слагаемые, содержащие Лзз и Азз.

Используя тождества соззе з! = з/з соз м,! -1- ',', соз Зы,!, соз из! соз Зез ! — ~/з соз ыз! + /з соз Зыз! + т !4 соз 5ы находим в соответствии с равенствами (8.15): ыгй т [Л ! з/ Аз+э/ (г(~ 9ыгАз Рз [з/еТАз! + Аз ь з! ТА!Аз~ Пренебрегая в первом нэ этих уравнений малым последним членом в пр вой части, получаем прежнее уравнение скелетной кривой и, подставив это значение во второе уравнение, находим Завнсимость отношения Аз/Аг от ТАгз показана на рис. 8.14.