Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний, страница 8

Чем меньше логарифми. ( ческий декремент б, тем больше добротность системы и тем больше амп. '' литуда вынужденных колебаний в области резонанса. Вместе с тем при режимах, далеких ог резонанса (ы (< р или в >> р), затуха-: ние мало влияет на величину коэффициента динамичности. Это дает . возможность расчет таких режимов вести без учета демпфирования. Проследим за изменением угла сдвига фазы сь в зависимости от час. а/ Р таты колебаний и величины логарифмического декремента затухания~, (рис. 5.3). В системах с небольшим трением угол сдвига существен;; только в области резонанса. При переходе через резонанс г(г изменяется~ от О до и тем быстрее, чем меньше трение.

В положении резонанса(' независимо от величины затухания сдвиг фазы всегда равен и/2 и энер-"; гия, доставляемая системе возмущающей силой, максимальна. Проход через резонанс. Большие амплитуды колебаний при резонансе заставляют избегать резонансных областей. При этом часто при-г ходится работать при частоте изменения возмущающей силы, ббльшей С, собственной частоты колебаний системы.

В этом случае система проходит через резонанс во время разгоыа и при выбеге. При проходе через резонанс развиваются меньшие амплитуды ко-1 лебаний, чем при стационарном резонансном режиме, так как( энергия, необходимая для раскачивания системы, доставляется толь-; ко в течение короткого промежутка времени. Для количественного изучения движения рассмотрим колебания' под действием возмущающей силы Р(/) = Расоз/г/а (рис. 5.4,а).

Ско; рость нарастания частоты изменения возмущающей силы зависит от' величины коэффициента и. Мгновенная частота ы = — (ЬР) =- 2/й. (5.12 ()Е В момент резонанса / мгновенная частота ьл равна частоте собст венных колебаний системы р. Поэтому (. = р/(2п). Дифференциальное уравнение движения имеет вид х+ 2пх+ р'х =- (Р,/т) соз/г(а. Решение этого уравнения можно представить в форме (5.1): г х = — е аг ) сов(пкг )е згп,ог (/ — О) г)0.

парк о Интеграл выражается через табулированные функции (интеграл вероятности от комплексного аргумента). Подробности вычислений приведены в работе 152). Ниже ограничимся описанием качественной картины явления и приведем приближенные зависимости, полученные А, М. Кацом. На рис. 5.4,б представлены характерные зависимости смещения х от времени или пропорциональной емумгновенной частоты ы. Эти зависимости построены для системы без затухания. Величины г/, поставленные около огибающих кривых, характеризуют темп роста частоты возмущения. Величина представляет собой число периодов собственных колебаыий, прошедших от начала движения до резоыанса.

Чем больше г/, тем меньше скорость нарастания частоты возмущающей силы. Кривые на рис. 5.4 свидетельствуют о том, что чем быстрее пронсходит разгон, тем меньше максимальные размахи колебаний и тем больше мгновенная частота, прн которой они достигаются. Расчет и эксперименты показали, что как частота, при которой размахи колебаний максимальны, так и величина этих размахов существенно зависят от демпфирования, характеризуемого логарифмическим декрементом б. Частота возмущения ыщ, при которой достигаются максимальные отклонения системы, определяется по приближенной формуле ьр =-р 1т э — (514) л 1 ,/Г з (( 1-ь 0,141/ )С 2щд 4/ 44(( Знак минус в этой формуле относится к движению, происходящему при убывающей частоте возмущения.

В этом случае под г) понимается количество периодов собственных колебаний от момента резонанса до полной остановки системы. Наибольший коэффициент динамичности щр „, г.:а.ч,ч, „~ расгрррр*р ..кр щ. ар 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1,0 г' 1 -р -г'(2дрр) 1,46 1,26 1,13 1,06 1,01 1,00 1,00 В качестве примера возьмем систему, имеющую добротность псб = 100, что соответствует декрсменту б = 0,0314. При стационарном резонансном режиме днижения такой системы коэффициент динамичности [[ = 100 |см. формулу [5. 1О)! При проходе через резонанс со скоростью разгона, характеризуемой величиной и = 10,2, по формулам [5. 14) и [5.

15) найдем: ы, = 1,3 1р, [3л«„л == !3,3. Таким образом, прн проходе через резонанс амплитуды колебаний увеличя ваются значительна меньше, чем прн стзцнонариом движении. Как видно пз рис. 5.4, возрастание амплитуд колебаний происходит в основном в небольшом диапазоне изменения частоты возмущения,! когда она приближается к собственной частоте. Поэтому приведенные зависимости можно приближенно использовать и при законе измене- ~ ния частоты, отличном от линейного.

В этом случае под «1 следует по- 1 нимать величину Рзс(пв), где е = (с[сост!1) =р — скорость изменения частоты возмущения в момент резонанса. Рассмотренная постановка задачи не всегда соответствует реальным условиям. Процесс разгона, как правило, является нерегулируемым. Закон изменения частоты возмущения задается уравнением движения машины и зависит от затрат энергии на колебания, которые тем больше, чем больше амплитуда колебаний. По мере увеличения амплитуды колебаний все меньшая часть мощности двигателя тратится на разгон, скорость нарве~анна частоты возмущения ззмедляется.

Качественная зависиРис. 5.5 масть частоты возмущения от времени для * двигателей с ограниченной мощностью пред- с 1 ставлена на рис. 5.5. Проход через резонанс в случае ограниченной мощности двигателя| с учетом влияния колебаний на разгон двигателя представляет собой сложную нелинейную задачу. Эта задача рассматривается в работах !16, 31!.

й 6 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМ ОТЛИЧНЫМ ОТ ВЯЗКОГО Гармоническое возбуждение (приближенное решение). Прн трении, не пропорциональном скорости, уравнения движения являются нели- ! ' нейными и их решение становится затруднительным. При гармоничес- ' ком возбуждении эффективным является приближенный способ рас- с: чета, хтравнение движения при произвольной зависимости силы трения ог смещения и скорости может быть записано в виде тх+!««(х, х) — , 'сх = Р соз(ю(+ с,) . (6.1); Приближенное решениеэтого уравнения представим в виде гарма- с нического колебания, отстающего по фазе от возмущающей силы на ~с усол ср", х = А созЫ.

(6. 2), В дапиол«случае фазовый угол ц«включен в выражение возмущасощей силы, а и перемещения. Это позволяет несколько упростить выкладки и не влияет ! из рез«т тзт, так как существенна лишь разница между фазамн силы и перемещеппг. 44 г л.прость движения определяется формулой (6. 6) х = — Ало япшу. Пчсвидно, что сила трения Р(Асозо«1, — Асоз|пюг) в этом случае ,анисе являешься периодической функцией периода т = 2п/оэ, причем „„а обращается в нуль при созшг' -= .+1, когда скорость движения „а;„с,с обращается в нуль. Поэтому функцию 1с можно разложить в с ,яд Фурье": И(х, х) = Я«(А, со) янезу + )«г(А, «о) яп2оэг+, (6.4) где гл«и йт(А, со) =- — ~ й(Асозы1, — Аюз!пшг)япейс[1, (6.5) т. о г;./ Рг (А, ы) =- — ' ( )с (А спашу, — А со яп ю1) 3[п 2ю!с[1 „...

г. о Подставляя выражения (6.2) и (6.4) в левую часть дифференциального уравнения (6.1), получаем Ф (1) =- (с — тсоз) А соню!+ Рс э[волг+ ага!п 2ц«1+ . , |егко видеть, что ни при каком выборе постоянных А и ср это выражение, содержащее гармоники с частотами 2ш, Зю и последующие, не может в точности совпадать с правой частью уравнения (6.1), не содержащей таких гармоник. Это и понятно, так как вырзжение (6.2) яе является точным решением уравнения (6.1).

Поэтому мы вынуждены ограничиться требованием, чтобы совпадали только слагаемые, измеИШОщНЕСя С ОСНОВНОЙ «1аетатай «О В ЛЕВОЙ И ПраВОй ЧаСтяХ ураВНЕНИя (6.1). (Этот метод приближенного решения задачи называется методом гармонического баланса.) Таким образом, приходим к двум уравнениям: (с — лтюг)А = Р,соз р, )«т(А, ю) =- — Р,яп р. (6.6) Уравлзенгся (6.6) позволяют, зная зависимость )4«(А, ю), определить амплитуду стационарных колебаний А и фазовый угол о. Как видно из уравнений (6.6), в приближенном решении существенна лишь одна основная гармоника т««с силы трения.

Рассмотрим физический смысл этой гармоники. В фОрМуЛЕ (6.5) уЧтЕМ ЗаВИСИМОСтЬ Х = — А«нянь!, тОГда яхт ссс (А, ю) — -- — | Р (А сов«с«у, — А ю япю[) хе[В о Предполагается, что слагаемое, «ропорциопальное со ыг, в разложении Ю.4) о., ««г Юот, Учет этого слагаемого привел бы к изменению эквивалсптссой жссгкосгп г.

Г Интеграл в этом выражении представляет собой работу ((усилы с противления за цикл (площадь петли гистерезиса). Вводя вновь ко фицнент поглощения ф = Ж'/(/, получаем хл /с(А соха/, — Аа айна!) хс(/ =-- тр(/ =- фсАг/2 й и окончательно Я! (А, а) = — сАф/(2п). (6. Подставив значение /сг в формулы (6.6), приведем их к такому вн', ду: А (1 — ор/р') =- А„сох о, (б.~ ,' Аф/(2к) = А, гйп сп. 1 Здесь дополнительно обозначено: Рз/с = А, — равновесная амп | литуда и г/ли —.

Рг. Из уравнений (6.8) находим амплитуду колебаний: А = Аз/У(1 — юг/рг)е ! фг/(4к ) (6. н тангенс фазового угла: 1йф = ф/(2к) (6.10 „,гсрг Этн формулы, являющиеся приближенными при любом законе тр ния, совпадают с точными формулами (5,6) для вязкого трения. Таким образом, с расчетной точки зрения произвольный закон тре ния может быть приближенно заменен эквивалентным вязким трепи с таким же коэффициентом поглощения.

Следует отметить важное отличие формулы (6.9) от формулы (5.6~' для вязкого трения. Тогда как при вязком трении формула (5.6) опре деляет амплитуду колебаний в явном виде, при певязком трении коэф( фициент поглощения ф также зависит от амплитуды и последняя апре( !, делястся формулой (6.9) неявно. В качестве примерз рассмотрим нынужденные колебания при сухом трении.! В этом случае (см. формулу (4.34)1 коэффициент поглощения обратно пропорцио-! пален амплитуде и ф = 8а/А, где и .

- Рг/с — полуширииз зоны застоя. Под-1 стзвив указанное значение ф в формулу (6.9), найдем А =- ! 1' (! — ге/Рг)г, !6п-':(сгАг) Отсюда )' Ао — (4п/с)г А= (6.1!) 11 — гн/Р' ! Полученная формула позволяет сделать следующие выводы: !. Колебания возникают, только если Аг> (4/п)п, т. е. если змппиттдз зоз- , гошев свлы Ро достаточно велика по сравнению с силой трения Рг'. Рг ) „„щзю ' < (4,'п)ям г, Вглн Рг ) (4/л)/(г, то наличие сухого трения не ограничивает амплитуду и и ~ резонансе н при ы -~ р А -~ со, Игормулз (6. !О) для фазового сдвига после подстановки значения ф и змплиприннмзет впд тгд' " 1 ггг !йт = зйп(1 — — ) У (вР„)г/(4/(„) г — 1 ! Р' 7 опгзде ,. -з ввдно, что абсолютная величина фазового угла не зависит от частоты, во;ри переходе через резонзнсную частоту знак !йф меняется, Таким образом, нрп ~п р,г пг ( р перемещение отствет по фазе от возмущающей силы на угол гр, а при ~ Р—.