Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 14

Давление внутри трубы может достигать 2> ак>, а скорость воадушного потока 23 идеек. Рассмотрим в качестве другого примера задачу о моделировании равновесия упругих конструкций. Пусть мы имеем какое-нибудь сооружение из однородного материала, например мостовую ферму. Упругие свойства иэотропного материала определяются двумя постоянными; модулем Юнга БЕГ!мт и безразмерным коэффициентом Пуассона а. Рассмотрим геометрически подобные конструкции и составим таблицу определяющих параметров. Для определения всех размеров модели достаточно задать некоторый характерный ее размер В.

Если в рассматриваемом состоянии равновесия вес конструкции существен, то удельный вес у= ря ЕГ>агв должен фигурировать в качестве опроделяющего параметра. Кроме силы веса частей сооружения, на него действуют еще внешние нагрузки, распределенные некоторым определенным способом по элементам конструкции. Пусть велгичгтна этих нагрузок определяется силой Р ЕГ. Итак, системой определяющих 1 6] ДГГНьЫИЧВСГЯОВ ПОДовия П МоДВЛГГГОВЬНИВ ЯВЛВНПН 61 парамотров будет: о, Е, В, Т=рй', Р.

В этом случае мы имеем п = 5, (с = 2, следовательно, базой для механических подобных состояний упругого равновесия будут три безразмерных параметра: и и,— ' руВ ВВт Критерии подобия заключаются в равенстве этих параметров па модели и в натуре. Прн выполнении этих условий все деформации будут подобными. Если модель в я раз меньше натуры, то на модели деформации (соответствующие перемещения) будут в п раз меньше, чем в натуре.

Если модель и сооружение в натуре выполнены из одного и того же материала, то значения р, и н В одинаковы на модели и в натуре, и поэтому для механического подобия необходимо удовлетворить условиго дВ = сопев. В обычных условиях д =,сопе1; следовательно, для соблюдения механического подобия должно быть В =- сопз1, т. е. модель Ряс. 13. Схеметеческий черте1к цептряфугв для вспытаввя моделей. доля на совпадать с натурой. Иначе говоря, при постоянном гг лгоделирование невозможно '). Изменения д можно достигнуть искусственным путем, если заставить модель вращаться с постоянной угловой скоростью, поместив ее на так называемую центробеннгуго машину (рис.

13). При достаточно малых размерах модели и болыпом радиусе вращения центробежные силы инерции элементов модели можно считать параллельными. Осуществляя вращение около вертикальной оси, мы получим, что в состоянии относительного равновесия модели (по отношению к центробежной машине) на модель будут действовать постоянные массовые силы, аналогичные силе тяже- ') Требуемое аа практике увеличение удельного веса рд врн умевьшеяия размеров модели иногда можно осуществить приложением к элементам моделя дополнительных яагручов.

62 ПОДОВИЕ, МОПЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНПЙ 1Гл. ГГ сти, но только с другим ускорением. Выбором угловой скорости вращения могкно получать любые большие значения для ускорения. Идея о применении центробежной машины для моделировании различных процессов была высказана инж. Банни х) в 1931 г., независимо от пего эту же идею выдвинули в 1932 г. Н. Н. Давиденков е) и Г.

И. Покровский '). Еще до этого в 1929 г. Давиденков4) предлагал пользоваться для этой же цели падающим на жесткую пружину пшиком, однако этот способ неудобен и был оставлен В настоящее время имеются построенные центробежные ьхашины, которые применяются для исследования на моделях различных процессов '), происходящих в грунтах. Рассмотрим напряжение т ЕГ!хчх, возникающее при деформации упругой конструкции под действием веса и заданного распределения нагрузок. Под т мы мои!ем понимать максимальное значение какого-нибудь компонента напряжения или вообще некоторый компонент напряжения для определенного элемента конструкции.

Комбинация т/Е является безразмерной, поэтому можно написать Если модель и сооружение в натуре сделаны из одинакового материала, то Е == сове!; поэтому для механически подобных состояний напряжения в соответствующих точках будут одинаковыми. Если мы примем, что напряженные состояния механически подобны и что разрушение определяется значениями максимальных напряжений, то очевидно, что на модели и в натуре разрушения наступят для подобных состояний. Если величины внешних нагрузок велики, а собственный вес конструкции мал, так что им можно пренебречь, то параметр у =- рд, а следовательно, и параметр Е)ряВ несущественны. В этом случае предыдущее соотношение приобретает вид — = 1(П, —,Вх), ') В п с )х у, Тпе Агоег!сап 1паыспсе о1 М1п1пй апй МесаПогй!са1 Епй)- песте.

Тес)хп1са) РПЫ1сапоп, № 425. х) Д а в и д е н к о в Н. Н., Журнал технической физики, № 1, 1933. х) Н о к р о в с к и й Г. И., Журнал технической фианки, № 4, 1933. ') См. П о к р о в с к н й Г. И., Вестник Воен.-инж. академии РККА им. В. В. Куйбышева, № 30, 1940. х) Условие В)рдВ= сова! должно выполняться при моделировании процессов, в которых наряду с другими существенными параметрами встречаются параметры р, у, В и В. Поэтому во всех таких случаях воаможно моделирование с помощью центробежной машины.

е 61 динАмическое пОдОБие и ьгоделиРОВАг1ие яВлений 88 а условия подобия представляется только двумя условиями: Р а = сопз1 и — = соазь. ВВ Отсюда следует, что при моделировании с сохранением свойств материалов внешние нагрузки необходимо изменять пропорционально квадрату линейных размеров. Обозначим через 1 изменение длины при деформации некоторого элемента упругой системы. Для конструкций определенного выше класса имеет место соотношение вида В ряде случаев из физических соображений сразу видно, что величина 11В уменьшается при уменьшении удельного веса элементов конструкции, т. е.

при уменьшении параметра рдВ1Е. Возьмем теперь две геометрически подобные конструкции разных размеров и изготовленные из одного и того же материала (Е и О одинаковые). Допустим, что величины внешних нагрузок изменяются пропорционально квадратам размеров, т. е. Р Г ВВ Очевидно, в этом случае параметр рдВ1Е уменьшается с уменьшением размеров конструкции, следовательно, механическое подобие будет нарушено. На конструкции меньших размеров относительные деформации будут меныпе, поэтому конструкция малых размеров будет иметь ббльшую прочность.

()Днако этот вывод справедлив только в том случае, когда удельный вес материала Т =- ря играет существенную роль. Если собственный вес (7) несуществен, а Р!ЕВт = сонет, то относительные деформации имеют одинаковые значения для тел различных масштабов. Рассмотрим еще случай, когда 7 несуществен, и известно, что для данной конструкции отношение 1111 уменьшается при уменыпении внеп~ией нагрузки Р. Если внешние нагрузки будут пропорциональны кубу линейных размеров, то очевидно, что для конструкции малых размеров отношение 1,'В будет меньше, чем для конструкции больших размеров. Следовательно, в этом случае уменынение размеров также увеличивает прочность.

Интересным примером, в котором определяется однозначно масгатаб модели, может служить пример гидростатпческнх моделей дирижаблей и аэростатов т). г) Сьь В о р о б ь е в А. Г., Гидростатическое испытание моделей аэростатов. Сбориик Ленинградского пиститута инженеров путей сообщения, вып. ~28, 1928; К а т а к с к и й В. В., Проектирование баллоко-такелажных конструкций и т. д. М., 011ТИ, 1938. с4 подовие, моделиРОЕАние и пРимеРы пРилО1кении [гл. 11 На практике очень важно знать форму и деформации элементов матерчатой оболочки баллона аэростата после наполнения ее газом.

Геометрическая форма аэростата определяет его гидростатические и аэродинамические свойства; сведения о деформации материи необходимы для обеспечения прочности баллона. Наметим параметры, которыми определяется статическое состояние аэростата. В пределах разности высот для различных точек аэростата можно считать, что воздух и газ имеют постоянный удельный вес. Внутри аэростата и на его оболочке разность между давлением воздуха и давлением газа (в рассматриваемой задаче существенны только разности этих давлений) определяется величиной уэ, равной разности удельного веса воздуха и газа: 7* = у2222 — 7222.

Опыты по исследованию зависимости между напряжениями и деформациями в материях показывают, что для данной материи относительные деформации одинаковы, когда напряжения одинаковы. В матерчатых оболочках напряжения определяются как силы, рассчитанные на единицу длины сечения. Обозначим через т ИГ/м неъото1юе напряжение, характеризую1цее свойство материала, и через ( — характерный линейный размер.

Далее введем в рассмотрение вес единицы площад~ материи д ЕГ1м2 и внешние заданные сосредоточенные силы Ч ЕГ, приложенные к различным элементам оболочки (направленно этих сил в различных случаях соответственное). Таким образом, для геометрически подобных оболочек, изготовленных из материалов с одинаковыми соотношениями между деформациями и напряжениями, получаем систему определяющих параметров; у*, т, (, д, (~. Условия подобия представятся 21 Г1 11 Ч1 2 ~2 1 '1 ~Л виде Ф 12 У2~1 22 „Ф ~2 Я2 (а) (ь) (с) Условие (с) легко удовлетворить путем соответствующего выбора внешних сил (), которые можно осуществить с помощью грузов и блоков.

Если модель и натура (12 ~ 11) изготовлены из одной и той же материи, то д1 =-- О2 и т, =- т„вследствие чего условия (а) и (Ь) противоречат друг другу. Поэтому рассмотрим случай, когда силы собственного веса оболочки не учитываются, благодаря чему 1 61 ДИИАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕННЙ бб условие (Ь) выпадает.