Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 10

Формулы (1.5) и (1.6) сохранят свою справедливость и в том случае, если вместо уравнения (1.1) мы возьмем уравнение — = — — ~(р) где 1 (2р) есть любая функция от Ср. Вообще справедливость формул (1.5) и (1,6) вытекает из единственного условия, которое состоит в том, что состояние движения определяется параметрами 'Ро. Для установления этой системы параметров нам послужили уравнения движения, но ее можно указать и не прибегая к уравне- ю истечение тяжелОЙ зкидности 1еэез водослив 39 ~1нпм движения. В самом деле, для характеристики маятника надо указать 1 и т. Далее необходимо указать я, так кан сущность явления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо указать 1Рс и 1, так как конкРетное Движение и состоЯние ДвижениЯ ~1ИРелелнютсЯ Углом кРайнего отклонениа 1Рс и РассматРиваемым моментом времени й 2. Истечение тяжелой жидкости через водослнв Рассмотрим задачу о струйном движении тяжелой жидкости чорез водослнв (рис.

2), который представляет собой вертикальную стенку с треугольным отверстием, расположенным симметрично относительно вертикали, причем угол~отверстия и равен ПО . Жидкость вытекает под папором Ь, который равен высоте уровня жидкости над вершиной треугольника па далеких расстояниях от отверстия водосли ва.

Для простоты мы примем, что сосуд, в котором находится кидкость, очень велик, и по:1тому движение жидкости можно считать установившимся. При струйном двин1еяии жидкости Рвс. 2. Псретскаввс тяжелой жвдосновное значение имеют свой- нсстк через водсслвв, ства инерции и весомости, которые характеризуются значениями плотности р и ускорения силы тяжести д. Установившееся течение жидкости через рассматриваемый водослив полностью определяется следу1ощимн параметрами: Пос зкидкости (), вытекающий через отверстие водослнва в единицу времени, может быть функцией только этих параметров: П помощью теории размерности нетрудно найти вид этой функцни.

В самом деле, размерность() равняется кГ1сек. Комбинация ~1д!1зР фй также имеет размерность кГ1гек, Поэтому отношение О рд'ть'з валяется безразмерной величиной. Это отношение является функцией величин р, д, Ь, из которых нельзя образовать безразмерной 4О 1!ОДОВНЕ, МОДЕЛИРОНАННЕ И ПРНМКРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Га.н комбинации, поэтому можно написатгп 0 „,, ==С, рх '6'' или Е = Срд'эь*'*, (2.1) где С есть абсолютная постоянная, которую проще всего определить из опыта. 11олученная формула полностью определяет зависимость количества протекающей жидкости от напора Ь и от плотности р. Совокупность рассматриваемых движений можно расширить, допуская водосливы с различными углами и.

В этом случае система определяющих параметров дополняется углом а, и формула (2Л) примет вид ~1 = С ([з) рд'эЬ'*, (2.2) т. е. коэффициент С будет зависеть от угла я. Если водослив имеет прямоугольную форму шириной Ь, то система определяющих параметров будет: р~ я~ Все безразмерные величины определяются параметром МЬ. Формула (2.1) в этом случае заменится следующей: О = 1( —," ) рд*аЬ'ч (6 (2 3) Функцию ) (ЬЬЬ) можно определить опытным путем, наблюдая течение через водослив различной ширины Ь, но с постоянным Ь.

Определив таким способом функцию ) (ЬЛ), формулу (2.3) можно применять к случаям постоянной ширины Ь =- сопИ, по с различным напором Ь, т. е. к случаям, в которых опыт не производился. Этот пример показывает, что соображения,полученные с помощью метода размерности, могут приносить большую пользу прн постановке опытов, позволяя ограничивать их количество в получать благодаря этому экономию пс только н средспюх, но н но времени. Изменение одних величин можно заменять н опытах изменением других величин.

На основе опытов, произведенных с водой, можно дать исчерпывающие ответы о явлении вытекания нефти, ртути и т. д. 5 3. Движение я<идкости в трубах Большое значение методов теории размерности и подобия выяснилось впервые с особой ясностью в гидравлике при изучении движения жидкости в трубах. Несмотря па практическую важность и на простоту соображений теории размерности, их примсне- двпл;впнг, жпдгппти в тч твлх 4! Рпс. 3. Движение эесжппаемов жпдкостп е цилиндрической трубе. ') В е у и о 1 6 е О., Ап Ехрег!шепта1 1пчеа68а1)оп о? 1Ье С!гсоше1апсее и!псЬ Ретегш?пе тч!«ет?«ет 1Ье Мот?оп о? И«атее еЬа?1 ее Р!тест ог 8пиюпе, зю! о1 г?«е Ьач о1 ??ез!зтапсе 1и Рага1?е! СЬаппе1з.

РЬгй Ттапз. Ноу. 8ос. 1,о~н1оп, 1883, ч. 174, № 3, р. 935 — 982 (см. также: Н е у и о 1 6 е О., Рареге оп МесЬ. авб Р?«уз. 8пЬ?ес1з, ч. 2, 1901, р. 51 — 105; сборнпк вПроблемы тур- ~«улоптностпз. М вЂ” 51., 011ТИ, 1936). е) Мы пмеем здесь е виду учет температуры в предположении, что ее можно очитать постопнной ео всей массе жидкости.

и ~~««к задачам гидравлики, принесшее огромную пользу явившееся крупным шагом вперед в истории гидравлики, произошло только в конце Х!Х в. после работ Осборна Рей~~ольдса '). Долгое время в гидравлике пользовались многочисленными : мпирнческими формулами, предложенными различными авторами, Эти формулы содержали )«ю! размерных постоянных, зпаРз ч«пие которых определялось част ними условнпмн опытов н свои-п«ами жидкостей.

га Сообрюкепин теории размерногтц вместе с более четкой н обо?ой постановкой задачи позвол илн согласовать и объединить ыпогне эмпнрическиеааконы, найдопные для двинтения различных ;пидкостей при разной температуре в трубах с, различными диаметрами и с различными скоростями движения. Схематизнруем и поставим задачу. Класс движений мы определим следугощимн условиями. Трубы — цилиндрические с одипиковой формой поперечного сечения (рис. 3). Следовательно, трубе и ее поперечное сечение полностью определяются заданием площади сечения или задаппем какого-нибудь характерного лппейного размера а.

Для круглых труб в качестве характерного рпзмера обычно берется радиус нли диаметр. Длина труб достаточно велика, поэтому можно не учитывать особенностей движеппи на концах трубы. Идеализируя явление, мы примем, что трубы имеют бесконечнузо длину. Относительно рассматриваемого дэнн!ения жидкости мы предположим, что оно установившееся. Далее мы допустим, что свойство сжимаемости в изучаемых процессах несущественно, поэтому будем рассматривать движеппо несжимаемой жндкостп. Свойства инерции и вязкости жидко«;тн, характеризуемые плотностью р и коэффициентом вязкости ?г, ьпз примем во внимание. Так кэк коэффициент вязкости зависит ~«т температуры, то, учитывая эту зависимость, мы учтем такнге влияние температуры ').

42 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРПЛО>КЕНИЙ 1ГА. П Для определения дви1ьения жидкости достаточно еще аадать либо перепад давления вдоль трубы, либо расход жидкости в единицу времени через поперечное сечение трубы, либо среднюю скорость й я1идкости по сечению трубы и т. п. Следовательно, труба, жидкость и состояние движения жидкости в целом определяются системой параметров р, р, а, и.

Все механические характеристики движения являются функциями этих параметров. Рассмотрим, например, падение давления вдоль трубы. Падение давления на единицу длины трубы представляется величиной Р~ Р1 1 где р„и р, суть давления в сечениях трубы, отстоящих друг от друга на расстоянии й Комбинация Р1 — Ра ри~ 2а является безразмерной величиной и называется коэффициентом сопротивления трубы.

Сопротивление участка трубы длиной 1 представится в виде (Р1 Ра) ~ 'г риа 2 (з.1) где Я есть площадь поперечного сечения трубы. Из четырех определяющих параметров р, р, а и й можно образовать только одну независимую безразмерную комбинацню иар — =й которая называется числом Рейнольдса. Все безразмерные величины, зависящие от указанных четырех параметров, являются функциями числа Рейнольдса. В частности, (3.2) Р = 'Ф (й). Задачи об определении сопротивления трубы нли об определении расхода жидкости в зависимости от ~ерепада давления сводятся к отысканию функциональной зависимости 1р (а). Эту функцию можно найти экспериментальным путем, измеряя сопротивление в зависимости от скорости (или от расхода протекающей жидкости) при движении воды в одной какой-нибудь трубе.

Полученные результаты можно использовать при рассмотрении движения ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ 43 других жидкостей и в трубах с другими диаметрами. Так, например, по опытным данным о движении воды можно в ряде случаев (когда несущественна сжимаемость, т. е. при скоростях, значитя льно меньших скорости звука) решить многие вопросы о движепяи в трубе воздуха и т. п. (рис.

4). Опыт показывает, что движение ясидкости в трубе происходит при двух резко различающихся между собой режимах: ламинарном режиме и турбулентном режиме. При ламинарном движении в цилиндрической трубе частицы жидкости движутся по прямым, параллельным образующим трубы; при турбулентном движении имеется беспорядочное перепешивание жидкости в направлении, перпендикулярном к образующим трубы.

Турбулентный поток можно рассматривать как установившееся движение только в среднем. В ряде случаев ламинарное движение жидкости в трубе обладает слабой устойчивостью или вообще неустойчиво и уступает место турбулентному движению. Свойство устойчивости представляет собой характеристику движения жидкости в целом, поэтому для гладких труб это свойство долясно определяться числом Рейнольдса й. Опыт хорошо подтверждает этот вывод. Для малых зяачепий чисел Рейнольдса ламинарное движение устойчиво, для больших — неустойчиво.