Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 12

а с2 Ю :4 Р Н о о. юн Б ю о ,О Я о а й й Ф а Я3 О Р И Ю Ф о *а 2 о Э 2 Ю о Я3 Д Г о о о о о х а Ю й ф Ю а а о о $г. и ф~ ~то~~~~й, ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ййЕ~Ы ~~~~~~й~~й о о Ф Р~ ф Р с'3 "Н ф О. 6 ф Ф 3 -О Д В о $ Е ~! Ы Ф П о о движен11е телА в жидкОсти 51 1(ри уменьшении числа Рейнольдса роль сил вязкости увеличннается. Если мы пренебрежем силами инерции по сравнению г силами вязкости, то это равносильно допущению о несущественности параметра р. В этом случае системой определяющих паРпыетров служат четыре параметра с(,а,п,)1, Отсюда очевтщно, что сопротивленке и подъемная сила пропорциональны скорости, коэффициенту вязкости и линейному масштабу с(.

Зтот локон, который можно назвать законом Стокса, хорошо согласуется с опытами при малой скорости движения малых тел, например при оседании мелких частиц в жидкости. Для шара функция )т (а) =. сопя( = с, юг т. е. не зависит от угла а. Теоретическое значение коэффициента с для медленных движений шара при указанных допущениях (которые сводятся к пренебрежению в уравнениях 1)авве — Стокса инерционными членамн) было вычислено Стоксом; оно оказалось равным с =- Зп (если й — диаметр шара). Таким образом, мы видим, что теория размерности позволяет выяснить внд функции ) (а, к) в зависимости от числа Рейнольдса й при весьма малых н весьма болыппх значениях числа 1'ейноль- дса. При й-э- со мы приходим к идеальной жидкости; в этом случае функция г (а, й) стремится к некоторой функции ~1 (а), независящей от числа Рейнольдса.

Режимы движения, соответ- ствующие малым значениям числа Рейнольдса, характеризуются тем, что вязкость жидкости имеет основное значение, а свойство инерции второстепенное — болыпие значения для р, малые— для р. В пределе при р = О справедлива формула (4.3); принимая р ~ О, из этой формулы получим: Ркс. 8. Тпппчкые кривые аавкскмостп коэффициентов подъемной силы Сч = 2А!(рЯее) к сопротивления Со, = 2Ъ7~(рзит) длл крыла от угла атаки сс (Ь' — площадь крыла в плане). )4' = (лечив )т(а) е(р( ' поэтому все безразмерные характеристики будут зависеть также ~ольке от угла атаки а. Следовательно, И' =- )иЩ (а).

(4.3) и 53 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ ~тл. 11 Отсюда следует, что для малых значений числа Рейнольдса должна быть справедлива формула вида 1'с (о) /(а, к) = (4.4) Это соотношение представляет собой следствие из закона Стокса. Сопоставление опытных данных с законом Стокса для шара представлено па рнс. 9. Рис. 9. Коаффицивнт сопротивления шара при малых значениях числа Рей- нольдса.

С помощью теории размерности мы установили, что если пренебречь инерционными членами в уравнениях Навье — Стокса, то закон Стокса (4.3) справедлив для тел любой формы. 11)ункцию ~ (а) можно определить акспериментально или теоре- тически, решая упрощенные уравнения Навье — Стокса, ткплоотдачА телА В потоке жидкости 53 й 5. Теплоотдача тела в потоке жидкости В 1915 г. 1'елей применил теорию размерности к задаче Буссиш;ока о передаче телом тепла жидкости, обтекающей тело "). !1 дальнейшем рассуждения Релея послужили предметом замечапг|йг ряда авторов '), по вопросы, поставленные в этих замечаниях, остались невыясненными.

Рассмотрим подробно все обстоятельства, возникающие при приложении теории размерности к этой задаче. Постановка задачи заключается в следующем: имеется установившийся процесс перехода тепла от тела заданной фиксированной формы к жвдкости, заполняющей все пространство вне тела. Тело неподвижно, жидкость обтекает тело и на достаточно больших расстояниях впереди от тела движется поступательно с постоянной скоростью ш Пусть Н есть количество тепла, отдаваемое телом в единицу времени. Предполагая жидкость идеальной и несжимаемой, Редей рассуждает так: величина Н определяется значениями следующих параметров: характерного размера 1 тела, скорости и жидкости вдали от тела, перепада температуры Т, равного разности между температурой тела и жидкости вдали от тела, причем предполагается, что температура тела поддерживается постоянной, тепло- емкости с единицы обьема жидкости и коэффициента теплопроводности Х жидкости.

Следовательно, можно написать: Н =- 1(1, и, Т, с, Х). В качестве основных единиц измерения Репей выбирает единицы измерения для длины, времени, температуры, количества тепла и массы: 1, Т, С', (), М. Поэтому размерности параметров будут: [11= ), [п[ = Г, [Т1 = С, [с[= 1,6., [Ч = )В.,Г заметим, что все эти размерности пе зависят от массы. Из пяти определяющих размерных параметров можно образовать только одну независимую безразмерную комбинацию !ес Размерность Н будет Г) 'Г ') Ь о г й В а у 1 е 1 6 1Ь ТЬе Рг!пс!р!е о(5(ш)!!1ойе, Магоге, т.

95, 1915, р. 66 — 68 (см. также: Ь о г й В а у ! е 1 6 Ь, Яс1. Рарегв, ю 6, р. 300 — 305). ') В ! а Ъ о и с !г(п в Ь у В. Р., Оп 1Ье Рппсгр1е о1 Я!ш1!11вйе, Ма!псе, г. 95, 1915, р. 105; Ь о г й В а у 1 е 1 6 1Ь Ма!иге, г. 95, 1915, р. 644; В г г й 6- ш а п Р. 1т'., В!шепгйопа! Апа1уввь Ьгеп Вагап, га!е 1)п1тегв)гу Ргевв, 1932 (русскин перевод: Б р и д ж м е и П. В., Анализ равиерпостей.

Л.— М„ ГТТИ, 1934). а4 подовик, модклннованик и пгимкгы пгиложкний 1га. з Легко видеть, что комбинация НМТ представляет собой безраз- мерную величину, поэтому Н .= ХЕУ')1( — ) . (5.1) Эта формула получена Релеем. Из нее вытекает, что расход тепла пропорционален перепаду температур Т и имеет одно и то же значение при различных нис, но Ори постоянном произведении нс. Рябушинский сделал следующее замечание. Так как количество тепла и температура имеют размерность энергии (в кинетической теории газов температура определяется как средняя кинетическая энергия молекул в хаотическом движении), то за основные единицы измерения можяо взять только единицы измерения для длины, времени и массы. Тогда размерности определяющих параметров будут (1) =-?, (н) = Т, (Т) = т,,', (с) = 1,, ()~) =- —,„.

). М1.з Теперь из определяющих параметров можно составить две независимые безразмерные комбинации: Ьс 3 — н сГ. Х Следовательно, в этом случае теория размерности приводит к формуле Н =ит1(('„", сг:'), (5.2) ') )Чатнте, 1915, р. 644.

з) Б р на жме н П. Б., Анализ размерностей. М.— Л., ГТТИ, 1934, стр. 17. которая, очевидно, дает меньше сведений, чем формула (5.1). В своем ответе Рябушинскому Релей пишет '): «Вопрос, поднятый Рябуптинским, относится скорее к логике, чем к способу примененвя анализа размерности, интересовавшему меня. Вопрос очень заслуживает дальнейшего рассмотрения. Мое заключение получено на основе обычных уравнений Фурье для теплопроводности, в которых температура и количество тепла принимаются как величины еп) денег)з.

Мы имели бы дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла в молекулярной теории приводило бы нас к худшему положению, чем раньше при рассмотрении частной задачи. Решение парадокса состоит, по-видимому, в том, что в уравнениях Фурье содержится такое предположение о природе тепла п температуры, которого нет в аргументации Рябушинскогозь Останавливаясь на этом ответе, Вриджмен ') справедливо заметил, что ответ Релея едва 'Гя!ы!ОотдАЧА тглА в потокк жидкости лв кого удовлетворит, но сам разъяснения этого вопроса все же ш; дает. Недоразумение разъясняется следующим образом; в системе !и:повных единиц, принятой Релеем при выводе формулы (5.1), имеются три различные единицы измерения для энергии: эрг = М1 ЧТэ, градус С' и калория О.

Определение теплоты и темпеРатуры как механической энергии дается в кинетической теории газов, Перевод количества теплоты и температуры в механические ! динвцы измерения связан со значением постоянных: механическо'го эквивалента тепла Х= 427 кГэг(клал (У]= М] э!Т'О) и постоянной Польцмапа Й .== 1,38 10 'г грг,'град ((Й] =- М! г~ТэС'). При независимых единицах измерения для механической энергии, количества тепла и температуры эти постоянные необходимо рассматривать как физические постоянные.

Из условий о несжимаемости и идеальности жидкости следует, ш>о поле скоростей определяется кинематическими условиями и явление не сопровождается преобразованием между тепловой и механической энергиями. Механические процессы происходят независимо от тепловых. Отсюда следует, что значение плотности жидкости несущественно для всех тепловых величин, а значение механического эквивалента тепла вообще несущественно ввиду отсутствия перехода текчовой энергии в механическую. Далее, осли принять, что плотность о и величинаХ не влияют на изучаемый процесс передачи тепла, то из теории размерности получается, что величина постоянной Больцмана Й также несущественна, так как размерность постоянной Й содеря!ит символ единицы массы, от которой независимы размерности Н и определяющих величин.

Несущественность величин р, Х и Й при указанных предположениях легко также усмотреть из математической формулировки задачи об определении количества тепла, передаваемого телом жидкости. Эти обстоятельства оправдывают отсутствие Х, р и Й среди определяющих параметров, указанных Релеем ').

Однако если сохранить допущение о несущественности плотности Р ') и не делать предположения, что Х и Й несущественны, что является результатом дополнительных соображений, то к таблице определяющих параметров Релея необходимо присоединить величины Й и Х, что дает следующую систему определяющих параметров: 1,а, т,с,Й,Х,Й. ') Если мы рассмотрим эту же задачу п случае вязкой и сжимаемой жвдкости, то величины р, У и Й становятся существенными, тогда этв параметры пли пх заменяющие параметры пужпс включать в таблицу определяющвх величин. э) В рассуждгнпях Рябушинского это допущевпе сохраняется. 56 ПОДОГКВ, МОДГЛИРОВАВяя П ПГКМЗВЫ ВГВЛСтогиии 1Гз. И Из этих семи размерных величин можно образовать только две независимые безразмерные комбинации: 1зс .Тср — н х з В этом случае формула (5.1) заменяется следующей: (5 3) Полученная формула (5.3) приводится к формуле (5.1), если принять во внимание несущественность механического эквивалента тепла У, а следовательно, н несущественность параметра ,Ус1з Если теперь вместе с Рябушинским воспользоваться определением тепловых величин через механические, то (с и Х будут безразмерными универсальными постоянными, и формула (5.3) превращается в формулу (5.2).