Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 11

Режим движения определяется числом Рейнольдса. Гракица устойчивости ламинарного движения характеризуется некоторым значением числа Рейнольдса, которое называется критическим. Для круглых цилиндрических труб критическое значение числа Рейнольдса имеет порядок к = 1000 —: 1300. Ламинарный режим характерен для движений очень вязкой жидкости с малыми скоростями в трубах с малыми диаметрами (например, в капиллярных трубках). Турбулентный режим характерен для двиясений ясидкости с малой вязкостью, происходящих с большой скоростью в трубах с большими диаметрами. Опытные данные показывают, что функция тр (к) имеет две веток, одна из которых соответствует ламинарному, а другая — турбулентному режимам движения. Вблизи критического значения числа Рейнольдса имеется некоторая переходная область.

При ламинарном движении в цилиндрической трубе все частицы жидкости движутся по прямым линиям, параллельным оси трубы, с постоянной скоростью, т. е. с ускорением, равным нулю. Ото движение жидкости в трубе называется течением Гагена— Пуазейля. Свойство инерции жидкости, представляемое параметром р, может сказаться только тогда, когда ускорения отличны от нуля '), поэтому при ламинарном движении сопротивление не ') Как известно, в урзввевяя движеявя плотность и ускореяве входят зол ько в проязведении. подовик, модкливовАник и пкииквы пвиложкпий Ю ~:М О', Ьа и Ф р Е й,Я ~ и и 4 и пи с и ии .и й Ю. О ~! о с~ ФЮ к Р О, Ф ь о и Ф и о г о ~ Ф Ф "Г Ж П и и и в в и о Ф~, к Ж о О", а а1 дви кениГ жидкости В тРуБАх С Ср ф= — =а К рай (3.3) гдо С есть безразмерная постоянная, определяемая геометрической формой поперечного сечения трубы; а — линейный размер сечения трубы.

Для круглой трубы С легко вычисляется теоретически: С = 16. Следовательно, в случае ламипарного движения для сопротивления трубы получается формула Р = — —, Ср1и = Снгаа, х (3.4) где Сг есть безразмерная постоянная, зависящая от формы поперечного сечения трубы. Формулу (3.4) легко получить непосредственно, если взять в качестве определяющих параметров только три величины: а, р, й, и учесть еще, что Р пропорционально й Ксли задан перепад давлений, под которым двинается жидкость, то в качестве определяющих параметров удобнее взять величины р,р,а и 1=— Ра Ра В этом случае режим движения определяется безразмерным параметром — =а.

рааа ра Из формулы (3.1) нетрудно видеть, что 2 (3. 5) Это соотношение дает зависимость а от и через функцию ф (й). Обозначим через е=м объем жидкости, протекающей в единицу времени через поперечное сечение трубы (так называемый объемный расход трубы). Безразмерная комбинация Ф вЂ” = к— ра аа должно зависеть от р. Следовательно, при ламинарном движении правая часть в равенстве (3.1) не должна зависеть от р, отсюда получаем, что при ламинарном движении плотность р в равенстве (3.1) должна сократиться, поэтому функция ар (и) должна пметь вид 46 ПОЛОВИВ, МедКЛИРОВаНИК И ПРИМВРЫ ПРИЛОжВНИН [Гв. И является функцией величины У, т.

е. г,) = — "' /Ю. Р (3,6) Вид функции ) (У) для ламинарпого движения легко определить. На основании формул (3.3) и (3.5) находим: 2 я Гсг гв4 и= =С с где безразмерная постоянная С, зависит от формы поперечного сечения трубы. Для круглой трубы С,= — '. с Формула (3.7) составляет закон Пуазейля, установленный экспериментально Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. Хорошее согласование этого закона с опытами является одним из главных подтверждений правильности закона вязкого трения в жидкости и исходной схематизации явления. в 4. Движение тела в жидкости Схематизация задачи о движении самолета, подводной лодки и т.

п. приводит к задаче о поступательном движении твердого тела с постоянной скоростью внутри безграничной массы жидкости, заполняющей все пространство вне тела. Фиксируем геометрическую форму поверхности, ограничивающей тело; тогда для полного задания поверхности тела достаточно задать некоторую характерную длину г7. Рассмотрим совокупность поступательных движений А-' тела, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Обозначим через в и а скорость движения и угол, который определяет паправление скорости (рис. 5); величины и и а могут быть различнымидля разных движений. Допустим далее, что жидкость можно считать Рис.

и. Движение твердого тела несжимаемой. Свойства инерции и в жидкости. вязкости жидкости будем прини- мать во внимание. Примем для простоты, что массовые силы отсутствуют. Распределение давлений на поверхности тела и суммарные силы, действующие со стороны жидкости на тело, зависят от состояния возмущенного движения жидкости. движвник ткла в жидкости Для тела заданной формы установившееся состояние движения жидкости определяется системой пяти параметров '): А~ п1 се~ р~ И' Все безразмерные механические величины, связанные с состоянием движения жидкости, можно рассматривать как функции двух безразмерных параметров: угла атаки и числа Рейнольдса — = й.

е еЛр Обозначим через И' силу, действующую со стороны жидкости ца тело (для дальнейших рассуждений безразлично, будем ли мы понимать под Иг полную силу сопротивления или же одну из ее составляющих: лобовое сопротивление, направленное противоположно скорости движения, илн лодъемную силу, направленную перпендикулярно к скорости). Из общей теоремы теории размерности вытекает, что безразмерная величина ИЧрсРиз является функцией угла а н числа Рейпольдса к.

Поэтому И' = рснпт~ (а, й). (4.1) Определение функции ~ (а, к) составляет важнейшую задачу теоретической и экспериментальной аэродинамики и гидромеханики. Очевидно, что для взятой системы параметров влияние вязкости на движение сказывается только через посредство влияния числа Рейнольдса. Из вида формулы й =- гл~р/д можно сделать некоторые общие заключения о роли вязкости жидкости при увеличении скорости или размеров тела.

Например, прп увеличении скорости движения или линейных размеров тела число Рейнольдса увеличивается. ') Давление в бесконечности р„ которое можно задать произвольно, пе вводитсл в эту систему параметров по следующей причине. Жидкость несжимаема, поатому изменение р, не может оказать влияния на поле скоростей. Вместо величины полного давления р всегда можно рассматривать только разность давлений р — ре. Отсюда очевидно, что величина р, несущественна, й поэтому ее не нужно вводить в качестве определяющего параметра, Однако, когда движение жидкости может сопровождаться явлением кавитации, которое связано с возникновением испарения жидкости в областях пониженного давления, то в число определяющих параметров необходимо включить величину ре — р', где р' есть упругость паров жидкости при данной температуре.

Для сжимаемой жидкости в число определяющих параметров необходимо включить величину ре или другой параметр, который может аамеиить ре. При движении, сопровождаемом кавитацией, существен еще один безРс Р размерный параметр к = 2 т . В опытах при изучении влияния числа ры кавитации к иаменение числа и можно осуществлять либо за счет рр, либо ез счет е, тибо искусственным обрааом за счет р'. Можно также применять различные жидкости и менять плотность р. 43 ПОДОШ1В, Меди!!ИРОВЛНКК П ПР!!МКРЫ ПРПЛОЖКБПЙ [Гвй!! Но для сохранения роли вязкости число Рейнольдса должно оставаться постоянным, так как всякое изменение числа Рейкольдса можно относить за счет изменения коэффициента вязкости; если произведение Рс! р увеличивается, то для постоянства числа Рейнольдса необходимо увеличить коэффициент вязкости !г. Следовательно, при одной и той же скорости тела движение меда (большое фр), вызванное движением болыпого тела, аналогично движению воды (малое р р), вызванному движением малого тела, или движение тела в меде с болыпой скоростью аналогично движению того же тела в воде с малой скоростью.

Аналогия дви!кений выражается в том, что все безразмерные величины для этих двих<ений одинаковы. Далее, из этих соображений очевидно также, что при движении тела в одной и той же жидкости эффект вязкости падает с увеличением скорости и размеров тела '). Теоретические исследования и экспериментальные данные показыва!от, что при больших значениях числа Рейнольдса роль вязкости жидкости уменыпается и в некоторых случаях становится несущественной.

Пренебрегая вязкостью, т. е. полагая (с = О, мы приходим к понятию идеальной жидкости. В задачах о движении тела в идеальной жидкости число определяющих параметров сокращается до четырех д, а, р, и. В идеальной жидкости все безразмерные характеристики определяются углом атаки а, поэтому формула (4Л) заменяется формулой (4.2) Иг = р!Рп'7! (а). Следовательно, при движении тела в несжимаемой идеальной жидкости силы, действующие на тело со стороны жидкости, пропорциональны квадрату скорости. Для вязкой жидкости при достаточно большом значении числа Рейнольдса этот закон справедлив приблш!<енно. Для тел различной формы функции г' (сс, к) и 7! (а) в формулах (4.1) и (4.2) зависят, помимо угла атаки, существенным образом от отвлеченных параметрои, определяющих геометрическую форму тела. На рис.

6 и 7 представлены экспериментальные данные о зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса. На рис. 8 показан характер влияния угла атаки на сопротивление и на подъемную силу крыла. Рассмотрим теперь случай весьма медленных движений тела, соответствующий малым значениям числа Рейнольдса. !) В данном случае мы принимаем, что при прочих равных условиях аффект вязкости падает с уменьшением коэффициента вязкости. Ло~пккннк ткл~ в ~кидйогти о й 4 й Р, у й д В 3 Р.