Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 9

В ряде случаев таблицу определяющих параметров можно составить, не выписывая уравнений задачи. Можно просто установить те факторы, которые необходимы для полного определения искомой величины, численные значения которой иногда возможно находить только экспериментально. При составлении системы определяющих параметров необходимо, как и при составлении уравнений задачи, схематизировать явление. Тем не менее для применения теории размерности нужно знать меньше, чем для составления уравнений движения механической системы.

Для одной и той же системы определяющих параметров могут быть различные уравнения двиксения. Уравнения движения не только показывают, от каких параметров зависят искомые величины, но содернсат в себе потенциально также все функциональные связи, определение которых составляет математическую задачу. Из этих соображений очевидно, что теория размерности по существу ограничена. С помощью одной только теории размерности мы не можем определить функциональных соотношений между безразмернымн величинами.

Выводы теории размерности не могут измениться, если мы будем изменять уравнения движения путем умножения различных членов уравнений задачи на некоторые положительные или отрицательные безразмерные чгсла клк функции, заввсяпцне от системы определяющих параметров. Подобные видоизменения уравнений могут существенно влиять на характер физических закономерностей '). Всякую систему уравнений, заключающую в себе математическую запись законов, управляющих явлением, моятно сформулировать как соотношение между безразмеряыми величинами. Все выводы теории размерности будут сохраняться при любом изменении физических законов, представленных в виде соотноше- ') Например, если в уравиеииях движеиия рассматриваемой системы изменить знаки у иекоторых скл, то это может отразиться существенно ка запевах движения; все же выводы теории размерности при этой операции сохракяются неизменными.

ПАРАмвтгы, опукделяющи»> клас>> явяв>п!и 35 ппй между одними и теми же безразмерными величинами. Система опроделяющнх параметров должна обладать свойствами полноты. Среди определяющих параметров должны обязательно быть величины с размерностями, через которые могут выразиться размерности всех зависимых параметров '). Некоторые из определяв>щих параметров могут быть физическими размерными постоянными.

В качестве примера к этому требованию рассмотрим параметры, которые могут определять статическое состояние газа. Нользя утверждать, что состояние газа определяется только двумя размерными величинами: абсолютной температурой Т ([Т) = С') и плотностью р ([р[ = МЛ.»), потому что давление р конечно, отлично от пуля и имеет размерность, независимую от размерностей температуры и плотности. Предположим теперь, что состояние газа определяется значениями температуры, плотности и одной физической постоянной, например коэффициентом теплоемкости с„, измеренным в механических единицах измерения ([с„'[ = В»,>То С'). Обозначив через у крл!как механический эквивалент тепла, имеем: е,= Хе„, где с„есть коэффициент теплоемкости в тепловых единицах измероппя ([с„) = кал>ласса.С').

Размерность давления можно выразить через размерности Т, р и е„, поэтому сделанное предполож> ине допустимо с точки зрения теории размерности. Так как размерности Т, р н е, независимы, то из предположения, что р= у(Т, р,с), > разу вытекает справедливость уравнения Клапейрона — =е влм р = рКТ, Р с>аУ гдо с есть безразмерная постоянная, а через г» обозначена размерная постоянная сс„= еУс,.

Таким образом, уравнение Клапейрона можно рассматривать кяк следствие единственной гипотезы, заключающейся в том, что давление, плотность, температура и теплоемкость нееаеисило от .>качений других характеристик связаны между собой соотношепмом, имеющим физический смысл. Ниже на отдельных примерах мь> укажем способы комбинирования методов теории размерности г соображениями, вытекающими из симметрии, линейности задачм, математических свойств функций при малых или больших эпачоииях определяющих параметров и т. п. ') Если система определяющих параметров неполна н ее расширение показз>чается по существу, то это означает, что определяемая величина равна либо и ужо, виб>о бескопечвостк.

С таким случаем мы часто встречаемся прк задании и» п>льп>гх условий»типа источника» с помощью б-фупкцпп. ГЛАВА 11 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ 1. Движение математического маятника В качестве первого примера мы рассмотрим классический пример о движении математического маятника. Математический маятник (рис. 1) представляет собой тяжелую материальную точку, подвешеннуго на невесомой и нерастяжнмой нити, которая закреплена другим своим концом пеподвиигно.

Совокупность возможных движений мы ограничим условием, чго движения маятника плоские. Введем обозначения: С вЂ” длина маятника, ср — угол между нитью и вертикалью, С вЂ” время, пс — масса груза и Л' — натяжение нити. Если пренебречь силами сопротивления, то задача о движении маятника приводится к решению уравнений и~% К вЂ” = — — з!п ф, йе сп ( — ~ 1 = АС вЂ” сий соз р С ~р~а ~лс ~ (1.2) с начальным условием при С = О <р = с~с и — „== О, лф еС т. е, за начальный момент времени принят тот момент, когда маятник отклонен на угол Юе, а скорость равна нулю. Из уравнений (1.1), (1.2) и начального условия очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять следующую систему: Рис. 1. Математи ческий маятник.

С, 1, д, сп, сРе. ь1исленные значения всех остальных величин определяются полностью значениями зтих параметров. Следовательно, мы можем з <1 двнжвняк м<ткмлтичгского э<лятннка «э ~шсатгп <1'о и 1 $/ ъ / (1.4) 11со другие безразмерные комбинации, составленные из ц 1, д, <в к <рэ или вообще из любых величьи<, определяемых этими параметрами, будут функциями комбинаций (1,4). Следовательно, можно написать: (1/Р) (1.5") Формулы (1.5), полученные с помощью метода размерности, показывают, что закон движения не зависит от массы груза, ,< натяжение пити прямо пропорционально массе груза. Вти выводы вытекают гакже непосредственно из уравнений (1.1) и (1.2).

11сличину 11/дЛ можно рассматривать как время, выраженное и специальной системе единиц измерения, в которой длина маяткква и ускорение силы тяжести приняты равными единице. Обозначим через К какой-нибудь характерный промежуток кромени, например время движения маятника ме;кду крайним и вертикальным положениями или между двумя одинаковыми (юзами, т. е. период колебания, и т. д.

(существование перноди~оского движения можно принять как гипотезу или как результат, известный из дополнительных данных). Имеем: т = 6 ( р., 1, б, ) = '1< — 6 (р. 1 й, ). -/1 К Функция 1а представляет собой безразмерную величину, а так к«к из 1, д и щ нельзя составить безразмерную комбинацию, то (ц <р„),, <и), Л' = тДУ (1 <Ро 1 й <и) до <р н 1 суть безразмерные функции. Численные зпаченкя функций <р и 1 пе должны зависеть от сит<сны единиц измерения. Вид этих функций моя<но определить либо решая уравнения (1Г!) н (1.2), либо экспериментальным способом. Из общих соображепвй, изложенных выше, вытекает, что пять .< ргументов функций <р и 1 моя<по свести только к двум аргументам, которые представляют гобой безразмерные комбинации, состав.н,кные из ц 1, д, т и <р„так как имеются три независимые едикицы измерения.

Из величин й 1, д, т, и р, можно составить две независимые <юэразмерпые комбинации: 33 подовиг, моделиРОВАние и пРимеРы ЛРиложении нл. 11 очевидно, что функция 12 не зависит от 1, д н т. Следовательно, Г~ '12 (120). (1.6) Формула (1.6) устанавливает зависимость времени К от длины маятника. Получить вид функции 12 (2р0) с помощью теории размерности нельзя. Определение (2 (2ре) необходимо произвести либо теоретически, на основании уравнения (1Л), либо экспериментально. Формулу (1.6) можно получить непосредственно из соотношений (1.5').

В самом деле, для периода колебаний соотношение (1,5') дает: Решая это уравнение, получим формулу (1.6). Коли К есть период колебанж, то из соображений симметрии очевидно, что значение периода Х не зависит от знака 2р„ т. е. 12 (~РО) 12 ( ~20)' Следовательно, функция 12 является четной функцией аргумента р0. Предполагая, что при малых 2р0 функция 12 (<р0) регулярна, можно написать: 2, 4 12 ( р0) —" С1 ~ С2'рэ Г С2 Р0 Т' Для малых колебаний члены со степенями р0 ~и вьппе можно отбросить, и для периода 2 мы получаем формулу (1.8) Решение уравнения (1.1) показывает, что с, =- йп. Таким образом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью теории размерности можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множителя.