Глухов М. М. Алгебра том 1, страница 54

е. р ~~ Е (а), и так как ого р ~~ = р = огра, то (а) = (р 1~) С (Я, что невозможно. Отсюда следует, что ехр С = р поскольку ехр ~ < ехр С < ехр С = р™. Таким образом, группа С и элемент ~ удовлетворяют условию леммы 1, и так какЯ = р' 1 < р", то по предположению индукции существует подгруппа Н < С такая, что С = (Я+Й.

Пусть Н = у 1(Й). Покажем, что С = (Д+Н. Для любого д е С имеем: д = К~+ К при подходящих К е Мо и Ь Е Н. Тогда д — 8~ — й = ~а для некоторого ~ е Мо, и так как ~а е е Кег ~р С р 1(Н) = Н, то д = 8~+ (и+ 1а) Е (~) + Н, т. е. С = (Ц + Н. Последняя сумма прямая, так как, если й Е (Д П Н, то К Е (ф П Н = О. Следовательно, и Е (а) и при условии и ф 0 имеем: ого и = р и (а) = = (и) С (Я, что невозможно.

П Отсюда очевидной индукцией по порядку группы выводится (,.>,. )~((р,=р;+ )~(к4>Й;+1)), тЕ11,~ — 1, ( ) (2) назовем каноническим разложением конечной абелевой группы С, а вектор (р ',..., р,') — тпипом этого разложения. Из примера 18.Х1 и утверждения 8.Х1 следует, что существование разложения (1) равносильно тому, что существует изоморфизм: Свг,, е...ег„„, (3) Р1 Р~ который мы также будем называть каноническим разложением группы С.

П р и м е р 1. Пусть С = Ж12 ~ Ж19. Так как Ж12 — — 4Ж12 + 3212 = = Уз Ю У4, У19 = 2Ж19 + 9Ж19 = Ж9 Е Ж2, то каноническое разложение (3) группы С имеет вид: (4) С = ~9 ® ~3 ® ~4 ® ~2~ а ее каноническое разложение в прямую сумму подгрупп можно выписать следующим образом: С = ((0,2)>+ ((4,0)>+ ((З,О)>+ ((0,9)>.

Заметим, что группа С имеет несколько различных канонических разложений. Читателю предлагается проверить, что каноническим для С является также, например, разложение: С = ((4,2)) + ((4,6)) + ((3,9)) + ((0,9)). ~ 2. Тип конечной абелевой группы Хотя конечная абелева группа может иметь много различных канонических разложений, — все они, тем не менее, имеют одинаковые числовые характеристики. Л е м м а 3. Любая конечная абелева р-группа либо являетпся циклической либо раскладываетпся в прямую сумму циклических подгрупп. Теперь доказательство теоремы 1 завершается следующим образом. По теореме ЗЗ.Х1 конечная абелева группа С есть сумма своих силовских подгрупп, к каждой из которых применима лемма .

П 3. П О п р е д е л е н и е 1. Разложение (1), в котором слагаемые упорядочены так, что 308 309 Отсюда 1С~ — 1ор ~р С~ = т(з — 1), з б 1 Й и окончательно "1» й, > з > й„+1 »... й,. (6) гдеогй~ =д г61 т зЕ1 1 1 + +ьи\ и= о. =П''- (8) С(д; ') = (Ы+ "+(Ы 311 310 Т е о р е м а 2. Любые два различных канонических разложения конечной абелевой группы С имеютп равные типы.

П Суть доказательства состоит в том, что параметры произвольного канонического разложения группы С однозначно выражаются через параметры этой группы, не зависящие от выбора канонического разложения. а) Рассмотрим сначала случай, когда С есть р-группа. Пусть ехр С = й = р . Тогда любое каноническое разложение С имеет вид: С = (~1) + ° ° ° + (~1), огпу = р~', Й = Й1 > Й~ > ° ° ° > И~. (5) Для любого з Е Ио положим р'С = (рвд: д Е С). Очевидно р'С— подгруппа группы С, и параметр ~рвС~ не зависит от разложения (5). Пусть т = т(з) — количество показателей й; в (5), строго больших, чем Л е м м а 4. Если т = т(з) = 0 (тп.

е. з > lс1), тпо р'С = О. Если т > О, тпо группа р'С имеетп каноническое разложение: р'С = (р'~1) +... + (р'~„), оЫр'Е; = р~' ', г 61,т. (7) П Произвольный элемент д Е С имеет вид д = с141 + ... + сф. Отсюдар'д = с1(р'~1)+...+ст(р'~1), и, так как р'~; = Одля г Е т+1,1, то р'д = О, если з > Й1, а в случае з ( Й1, элемент р'д принадлежит ПОдГруППЕ Н = (рв~1) +... + (рв~„), т. Е. р'С С Н. Обратное включение очевидно. Остается заметить, что выписанное разложение для Н = р'С есть прямая сумма ввиду (5). П Из (7) следует равенство: 1Жр 1р С~ = Й1 + ° ° ° + Й~( ) — зт(з) для з ~ О, к Пусть т(з) — количество слагаемых порядка р' в разложении (5).

Очевидно тип разложения (5) однозначно определяется набором чисел т(1),..., т(к). Остается показать, что эти числа однозначно определяются порядками ~С~,~рС~,..., ~р~ 1С~. Ясно, что т(з) = т(з — 1) — т(з) для з Е 1, Й. Из (8) имеем 1Жр~Р Я ~1 + + ~т(в) + ~т(в)+1 + + ~т(в — 1) (з 1)т(з 1) Отсюда, ввиду равенств Й„(,)+1 = .. — Й„(в 1) = з, имее~ ~-1С~ ~ + + /~„( ) + з(т(з — 1) — т(з)) — (з — 1)т(з 1) = — /~ +... + Й„(,) — зт(з) +т(з — 1) (9) ,(з) =1оК ~р' 1С~+1оК Ь'+'С~ — 21оК ~р'С~ ~1" (10) б) Пусть теперь С вЂ” произвольная конечная абелева группа, и ее порядок и имеет каноническое разложение и = д™' ...

д„'"". Тогда по теореме ЗЗ.Х1 С(д~*') = С(~') — единственная силовская о;-подгруппа группы С, и С =СИ1 ')+" +СИ."). Произвольное каноническое разложение (1) группы С можно более детально записать в виде: д1»...о,, Й1>.. 'Йи<для1~1 т ° Здесь д1... д„— все различные простые числа из совокупности р1,..., рт в (1). Из (11) ясно, что Следовательно, /с11 +...

+ /сц,. — — т;, и, независимо от выбора канонического разложения (11), сумма (~,1) +... + (~,1,) всех его примарных слагаемых, принадлежащих простому основанию д;, есть подгруппа порядка д~*, т. е. единственная силовская в;-подгруппа С(д~') группы С. В пункте а) доказано, что тип канонического разложения однозначно определяется группой С(д~*), т.

е. группой С. Отсюда следует, что и тип всего разложения (11) определяется группой С однозначно. П О п р е д е л е н и е 2. Тип канонического разложения (1) конечной абелевой группы С будем называть типом группы С и обозначать Сур С = (р",',..., р",*). О п р е д е л е н и е 3. Представление натурального числа т в виде суммы набора невозрастающих натуральных чисел назовем разбиением числа т. Через В(т) обозначим число различных разбиений т. С л е д с т в и е 1. В обозначениях тпеоремы 4 число Т(п) не зависитп от простых делителей дд,..., д„и удовлетворяетп соотношениям: ~ 3.

Перечисление конечных абелевых групп Совокупность всех абелевых групп разбивается отношением изоморфизма на непересекающиеся классы изоморфных групп. Очевидно, для каждого п Е И существует лишь конечное число Т(п) различных классов изоморфных абелевых групп порядка п. Явной формулы для вычисления Т(п) не найдено, однако полученные выше результаты позволяют подсчитать Т(п) в каждом конкретном случае. Т е о р е м а 3. Конечные абелевы группы С и Н изоморфны тпогда и только тпогда, когда Фур С = тур Н.

П Пусть С имеет каноническое разложение (1) и ~р: С вЂ” Н вЂ” изоморфизм. Тогда Н имеет разложение Н = (~рЫ1)) +... + (у%)), и, так как опд ~р®) = ого(;, то последнее есть каноническое разложение Н, и Сур Н = Сур С. Наоборот, если тур Н = Фур С, то Наг „е...ег „и С. И Р1 Р~ тд=к11+ ° ° ° +ки;, кд » ° ° ° Ки, >О, тт=.1,т. (12) 312 Таким образом, Т(п) есть число возможных типов абелевых групп порядка п. С использованием описания (1) канонического разложения абелевой группы получаем следующий результат.

Т е о р е м а 4. Если п = д~~' .... д~" — каноническое разложение числа п, то число Т(п) различных классов изоморфных абелевых групп порядка п равно числу различных наборов (дд",..., д "', д2~",..., в„"'") тпаких, чтпо Т(п) = Т(д™д') ... Т(д™„) = В(тд) ... В(т„). С1 = ~9 Ю ~4 = ~361 С2 ~3 Ю ЖЗ Ю ~4~ ~урС = (3,2 ); сурС = (3,3,2 ); сурС = (3',2,2); СурС = (3,3,2,2).

СЗ =.г9 ЮЖ2 ЮЖ2) С4 = .г 3 Ю ЖЗ Ю ~2 ® ~21 Как уже отмечалось, явных формул для вычисления числа В(т) не найдено. Методами теории функций комплексного переменного можно получить следующее асимптотическое равенство для В(т). При т — оо: В(т) ° е~~~ 4т1ГЗ Дп) ®и) д(п) означает, что 1пп = 1) и- со д(п) Полезно заметить, что для любого простого р среди абелевых групп и порядка р", п Е И всегда содержится циклическая группа порядка р, т. е. группа типа (ри), и группа экспоненты р, т. е. группа типа (р,..., р), называемая элементпарной р-группой. 313 П р и м е р 2.

Пусть т = 36 = 32 22. Тогда Т(т) = Т(36) = В(2) В(2), и, так как В(2) = 2 (возможные разбиения: 2 = 2 и 2 = 1+ 1), то Т(36) = 4, т. е. число классов изоморфных абелевых групп порядка 36 равно 4. Любая абелева группа порядка 36 изоморфна единственной из групп: (15) С вЂ” С1 х С2 х . ° ° х С (13) д = П1' п2 ' ° 'п~ тл тл ТТ тт, ТТ с'Ь*. т=1 1=1 где Ь; Е С;, г = 1, т, полагаем У(д) У1(61) ' Р2(62) ' ' ' ' Р (Ь ).

Ст С~ С ~(У1 У2 ' ' ' Утп l ХС11С2з лн1' Р'(д, ) = е , тт тт Х~т,~~,...,~„. = Хд (14) 315 314 ~ 4. Характеры конечных абелевых групп О п р е д е л е н и е 4. Характером конечной абелевой группы называется любой гомоморфизм группы С в мультипликативную группу С' поля комплексных чисел. Любая группа С имеет тривиальный характер, отображающий все элементы группы С в число 1 Е С. Иногда этот характер называют также главным.

Для описания всех характеров группы (С; ) мы воспользуемся следующим из теоремы 1 фактом о возможности разложения любой конечной абелевой группы в прямое произведение циклических подгрупп. Пусть — одно из таких разложений, ~С;~ = и; и С; = (д ),г = 1,т. Если ~р — гомоморфизм группы С в С', то ограничение ~р; = ~р ~ С; есть гоморфизм ~р;: С; — > С'. Наоборот, если задан набор гомоморфизмов ~р;: С; — + С',г = 1,т, то по нему естественным образом определяется гомоморфизм у группы С в С' такой, что у; = ~р ~ С,". для элемента д Е С вида При этом различным наборам гомоморфизмов групп С; будут соответствовать, очевидно, различные гомоморфизмы группы С.

Таким образом, для описания всех характеров группы С достаточно описать все характеры циклических групп С;. Если ~р; — гомоморфизм С; в С', то Рт(дт)"' = Р'(д,"-*) = Р;(е) = 1, поскольку д,"' = е — единица группы С;. Следовательно, ~р;(д;) есть корень и;-й степени из 1 в С.

Обратно, если е — некоторый корень и;-и степени из 1 в С, то равенства й = О, и; — 1, задают гомоморфизм группы С; в С'. Следовательно, существует ровно и; различных гомоморфизмов С; в С', и каждый из них определяется выбором корня е из группы Г„,. всех корней и;-и степени из 1 в С. Из (14) видно также, что все они являются гомоморфизмами в группу Г„, В итоге доказана Т е о р е м а 5. Пусть С вЂ” абелева группа порядка и, и (13) — любое ее разложение в прямое произведение циклических подгрупп. Тогда С имеет ровно и различных характеров, каждый характер Х определяется набором (е1,е2,...,е ), где е; — корень П-й степени из 1 в С, ~ = 1, т, и задается равенствами: Х(У1 'У2 ' '' Утп ) ~1 ~2 '' ~ттт lс; еО,п,— 1,г Е1,т. Множество всех характеров группы С обозначим через С (или через СЬах (С)).